Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 21
Текст из файла (страница 21)
48). Двум ветвям гиперболы здесь соответствурис 48 ют две не связанные между собой части ("полости") поверхности, в то время как при построении одно- полостного гиперболоида вращения каждая ветвь гиперболы описывала всю поверхность. Асимптотический конус двуполостного гиперболоида определяется так же, как и для однополостного. 6. Эллиптический параболоид. Вращая параболу х~ = 2р~ вокруг ее оси симметрии, мы получаем поверхность с уравнением т +д =2рх (13) Она называется параболоидом вращения.
Сжатие к плоскости д = 0 переводит параболоид вращения в поверхность, уравнение которой приводится к виду 9 2 —,+д, =2х. (14) ег Поверхность, которая имеет такое уравнение в Рис. 49 некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется эллиптическим параболоидом (рис. 49). 7. Гиперболический параболоид. По аналогии с уравнением (14) мы можем написать уравнение х д — — — = 2х. а' 62 (15) Поверхность, которая имеет уравнение вида (15) в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется гиперболическим параболоидом.
Исследуем форму этой поверхности. Для этого рассмотрим ее сечение плоскостью х = сг при произвольном а. В этой плоскости выберем декартову прямоугольную систему координат О', е2, ез с началом в точке О'(сг,О, О). Относительно этой системы координат линия пере- ~~. Поверхности второго порядка сечения имеет уравнение — У, =2 (16) в системе координат О, е1, е~, ез. Эта линия — парабола в плоскости у = О.
Вершина параболы находится в начале координат, ось симметрии совпадает с осью аппликат, а ветви параболы направлены в ту же сторону, что и вектор ез. Теперь мы можем построить гиперболический параболоид следующим образом: зададим две парабо- еа д лы и будем перемещать одну из е2 них так, чтобы ее вершина сколь\ зила по другой, оси парабол были М -с~- параллельны, параболы лежали во Р Я взаимно перпендикулярных плоскостях и ветви их были направлены в противоположные стороны. Я ПРи таком пеРемещении поДвиж- Рис бО Оц — неподнижняя пара ная парабола описывает гипербо- бола, КЕМ, ХОР и ЯВЯ вЂ” разные лический параболоид (рис.
5О) положениЯ подвижной паРаболы Предоставим читателю проверить, что сечения гиперболического параболоида плоскостями с уравнениями г = о при всевозможных о — гиперболы. Эти сечения нарисованы на рис. 51. Гиперболический параболоид, как и однополостный гиперболоид, имеет два семейства прямолинейных образующих (рис. 52).
Уравнения одного семейства Л вЂ” — ~ =р, р — +Р =2Лг, Эта линия парабола, в чем легко убедиться, перенеся начало координат в точку О" с координатами (О, а~/(2а )). (Координаты этой точки относительно исходной системы координат О, е1, е2, .ез в пространстве равны (о,О,а~/(2а2)).) Точка О", очевидно, является вершиной параболы, ось параболы параллельна вектору ез, а знак минус в левой части равенства (16) означает, что ветви параболы направлены в сторону, противоположную направлению ез. Заметим, что после переноса начала координат в точку О" величина а не входит в уравнение параболы, и, следовательно, сечения гиперболического параболоида плоскостями х = а при всех а представляют собой равные параболы.
Будем теперь менять величину а и проследим за перемещением вершины параболы О" в зависимости от о. Из приведенных выше координат точки О" следует, что эта точка перемещается по линии с уравнениями 9 Х вЂ” р=О 2аг ' Гл. 111. Линии и поверхности второго порядка Рис. 51 Рис. 52 а другого— Л' — + — =,и',,и' — — — = 2Л'г. Выводятся эти уравнения так же, как и уравнения прямолинейных образующих однополостного гиперболоида. Упражнения 1.
Докажите, что линия пересечения поверхности второго порядка с плоскостью, которая целиком на ней не лежит, есть алгебраическая линия не выше второго порядка. Сколько общих точек могут иметь прямая и поверхность второго порядка? 2. Найдите уравнение и определите вид поверхности, получаемой вращением вокруг оси аппликат прямой линии: а) х=1+1,у=3+1, г=3+?; б) х=1+1, у=1+1, г=3+1. 3.
Докажите, что прямолинейные образующие гиперболического параболоида, принадлежащие одному семейству, все параллельны какой-то одной плоскости. 4. На гиперболическом параболоиде с уравнением (15) лежат параболы у = О, х = 2а г и х = О, д = — 26 г. Пусть точки А~ и В~ на первой параболе и точки Аг и Вз на второй все находятся на одинаковом расстоянии от плоскости г = О. Докажите, что прямые А~Вз, А~А2, В~А2 и В~В2 являются прямолинейными образующими. 5.
Найдите проекцию линии пересечения двуполостного гиперболоида — х + у — ~ = 1 и конуса 5х — Зу + 4г = О на плоскость г = О. 6. Докажите, что никакая плоскость не пересекает зллиптический параболоид по гиперболе. ГЛАВА ГУ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ ~ 1. Отображения и преобразования 1. Определение. Под отображением плоскости Р в плоскость В понимают закон или правило, по которому каждой точке плоскости Р сопоставлена некоторая определенная точка на плоскости Л.
Мы будем пользоваться обозначением 1: Р -+ Л. Если потребуется указать, что точке А на плоскости Р соответствует точка В на плоскости В, мы будем писать В = 1(А). В этом случае точка В называется образом точки А, а точка А — прообразом точки В. Подчеркнем, что совсем не обязательно каждая точка плоскости Л является образом какой-либо точки.
Вполне может оказаться, что множество всех образов не совпадает с В. Если для некоторого отображения плоскости Р и В совпадают, то такос отображение называется преобразооанием плоскости. Этот вид отображений целесообразно выделить, так как преобразования обладают некоторыми свойствами, которыми не обладают отображения в общем случае. Разумеется, можно говорить об отображениях произвольных множеств, а не обязательно плоскостей., но в этой главе, за исключением некоторых примеров, мы будем заниматься только отображениями плоскостей.
2. Примеры. П р и м е р 1. Рассмотрим в пространстве две плоскости Р и Л и сопоставим каждой точке плоскости Р основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость В. Так будет определено отображение, называемое ортогональным проектированием. При ортогональном проектировании, вообще говоря, каждая точка плоскости В имеет единственный прообраз. В одном случае ортогональное проектирование резко меняет свои свойства. Именно, если плоскости взаимно перпендикулярны, то не каждая точка в В имеет прообраз, а только точки, лежащие на линии пересечения плоскостей. Зато у каждой из этих точек бесконечно много прообразов: они заполняют перпендикуляр к Л, восстановленный из нее.
П р и м е р 2. Преобразованиями являются известные читателю параллельный перенос, поворот, осевая симметрия и гомотетия. П р и м е р 3. Рассмотрим прямую р и зададим число Л ) О. Из произвольной точки ЛХ плоскости опустим перпендикуляр на прямую р Гл. Л~. Преобразования плоскости и обозначим его основание через Х. Образ Х(ЛХ) точки ЛХ определим М соотношением ~Л(ЛХ) = ЛХЛХ.
Если точка ЛХ принадлежит р, то положим Х(ЛХ) = = ЛХ (рис. 53). Так построенное преобразование Х называется сжатием и прямой р в отношении Л. (Если уточнено, что Л > 1, преобразование можно называть растяжением.) Мы уже пользовались сжатием к прям, мой в ~ 2 гл. П1, когда изучали фор- му эллипса. Аналогичное преобразование Рис. 53 пространства — сжатие к плоскости— применялось в ~ 4 гл. П1 для описания формы поверхностей второго порядка. П р и м е р 4.
Выберем на каждой из плоскостей Р и Л декартову прямоугольную систему координат и сопоставим точке с координатами т и д на плоскости Р точку с координатами х' = т~ — у~ и у* = 2ку на плоскости В. Нетрудно убедиться, решая эти уравнения относительно х и и, что каждая точка плоскости Л имеет два прообраза, за исключением начала координат, которое имеет один прообраз. П р и м е р 5. Зададим точку 0 на плоскости Р и сопоставим каждой точке, отличной от О, такую точку Х(ЛХ), что 0.,-7- ) агсСК! ОЛХ! 0 —,,Х )ОЛХ) Положим Г(0) = О. При этом каждой точке плоскости сопоставляется единственная точка внутри круга радиуса л./2 с центром в точке О. Каждая точка, лежащая внутри круга, имеет единственный прообраз, а точки, не лежащие внутри круга, не имеют прообразов.
Пример 6. Можно сопоставить каждой точке плоскости основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую р, а каждой точке на р саму эту точку. При этом каждой точке любой прямой, перпендикулярной р, сопоставляется одна и та же точка. Пример 7. Можно сопоставить каждой точке на плоскости Р одну и ту же точку на плоскости В. Пример 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
