Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Матрица Р, состоящая из столбцов высоты л, называется фундаментальной матрицей для однородной системы с матрицей А, если: а) АР=О; б) столбцы Е линейно независимы; в) ранг Р максимален среди рангов матриц, удовлетворяющих условию а). Столбцы фундаментальной матрицы называются уундаментальной системой решений.
Если фундаментальная матрица существует, то каждый ее столбец в силу условия (а) решение системы. Если система не имеет нетривиальных решений, то фундаментальной матрицы нет. Это будет в том случае, когда столбцы А линейно независимы: Вя А = п. Ниже мы докажем, что в остальных случаях фундаментальная матрица существует, но сначала выясним, что означает третье условие в определении. Предложение 4. Пусть А матрица размеров т х и и ранга г. Если АР = О, то Вя Р < п — г.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Приведем матрицу А к упрощенному виду элементарными преобразованиями строк, а затем элементарными преобразованиями столбцов обратим в нулевые все небазисные столбцы. Мы получим матрицу А' = РАф где Р и Я произведения соответствующих элементарных матриц. Первые г строк А'--- строки единичной матрицы порядка и, а остальные нулевые. Обозначим Р' = ~ 1.Е Тогда ВдР' = Ва:.Е Используя предложение 1 ~ 2, легко заметить, что первые г строк матрицы А'Е' совпадают с первыми г строками Р'.
Но А'Е' = РАЕ = О и, следовательно, Г' содержит г нулевых строк. Так как всего в ней и строк, Вя Р' < и — г. Это равносильно доказываемому утверждению. Покажем теперь, как может быть построена фундаментальная матрица. Согласно предложению 1 ~ 5, решение однородной системы состоит из коэффициентов равной нулю линейной комбинации столбцов матрицы системы. Мы можем получить такие линейные комбинации, основываясь на теореме о базисном миноре.
Снова для удобства записи будем считать, что в матрице А первые г столбцов базисные. Каждый из небазисных столбцов а О = г+ 1, ..., и) раскладывается Гл. К Матрицы и системы линейных уравнений 154 по базисным: (7) Отсюда следует, что столбец ~ — о' ... — а" О ... О 1 О ... О является решением. (Единица в нем стоит на з'-м месте.) Таких решений можно составить столько, сколько есть небазисных столбцов, т. е. и — г. Убедимся в том, что эти решения линейно независимы. Для этого объединим все столбцы в одну матрицу 1 1 ~т+1 От+2 -ар+2 " -Сгп (8) 1 О ... О О 1 ...
О О О ... 1 Подматрица в последних п — т строках — единичная . Поэтому ранг матрицы (8) равен числу столбцов, и столбцы линейно независимы. Таким образом, мы получили Предложение 5. Если ранг матрицы однородной системы линейных уравнений г меньше числа неизвестных и, то система имеет фундаментальную матрицу из и — г столбцов. Итак, система столбцов (8) фундаментальная система решений. Она называется нормальной фундаментальной системой решений.
Каждому выбору базисных столбцов соответствует своя нормальная фундаментальная система решений. Вообще же, каждая система из п — г линейно независимых решений является фундаментальной. Для нахождения матрицы (8) можно привести матрицу А системы к упрощенному виду, что даст коэффициенты разложения небазисных столбцов по базисным. (См. задачу 3 ~ 3 и задачу 4 настоящего параграфа.) Пусть Š— фундаментальная матрица системы Ах = о. Рассмотрим произвольный столбец с высоты и — г.
Произведение Ес — — столбец высоты и, и из равенства АЕс = о следует, что при любом с столбец Ес решение системы. Оказывается, имеет место П р е д л о ж е н и е 6. Столбец х решение системы Ах = о тогда и только тогда, когда существует такой столбец с, что х = с'с. (9) Остается доказать необходимость условия. Пусть х решение. Присоединив его к Е, получим матрицу Е* = (~ Р ! х ~!.
Эта матрица удовлетворяет условию АЕ* = О, так как каждый ее столбец решение. Значит, ВдЕ* = и — г. По теореме Кронекера — Капелли мы заключаем отсюда, что существует столбец с, удовлетворяющий системе Ес = х. ~ 6. Системы линейных уравнений (общая теория) 155 4. Общее решение системы линейных уравнений. Теперь мы можем собрать воедино наши результаты предложения 2 и 6. Теорема 3. Если хо — некоторое решение системы (1), .а Е фундаментальная матрица ее приведенной системы, то столбец х =хо+Ее (10) при любом с является решением системы (1).
Наоборот, для каждого ее решения х найдется такой столбец с, что оно будет представлено формулой (10). Выражение, стоящее в правой части формулы (10), называется общим решением системы линейных уравнений. Ксли Г1, ..., Г„ фундаментальная система решений, а с1, ...,с„, произвольные постоянные, то формула (10) может быть написана так: х = хо + с1 Г1 + ... + с„„К„ (11) Теорема 3 верна, в частности, и для однородных систем. Ксли хо — тривиальное решение, то (10) совпадает с (9). Теорема 1 ~ 5 гласит, что для существования единственного решения системы из п линейных уравнений с п неизвестными достаточно, чтобы мат и а системы имела ете минант отличный от н ля.
Сей- 5. Пример. Рассмотрим уравнение плоскости как систему Ах+ Вд+ Сг+ Р = 0 (12) из одного уравнения. Пусть А ф О и потому является базисным минором матрицы системы. Ранг расширенной матрицы 1, значит, система совместна. Одно ее решение можно найти, положив параметрические неизвестные равными нулю: д = г = О. Мы получим х = — Р/А. Так как и = 3, г = 1, фундаментальная матрица имеет два столбца.
Мы найдем их, придав параметрическим неизвестным два набора значений: д = 1, г = 0 и д = О, г = 1. Соответствующие значения базисной неизвестной х, найденные из приведенной системы, будут — В/А и — С/А. Итак, общее решение системы (12) — Р/А 0 0 — В/А 1 0 — С/А 0 1 (13) + сз Выясним геометрический смысл полученного решения. Очевидно, прежде всего, что решение ~~ — Р/А 0 О~~т состоит из координат Ц д р У час легко получить и необходимость этого условия. П редло жение 7. Пусть А — матрица системы из п линейных уравнений с п неизвестными.
Если дел А = О, то система либо не имеет решения, либо имеет бесконечно много решений. Доказательство. Равенство с1е1А = 0 означает, что ВаА < и и, следовательно, приведенная система имеет бесконечно много решений. Если данная система совместна, то из теоремы 3 следует, что и она имеет бесконечно много решений.
Гл. К Матрицы и системы линейных уравнений 156 некоторой (начальной) точки плоскости, или, что то же, из компонент ее радиус-вектора. В формуле (10) решение хо можно выбирать произвольно. Это соответствует произволу выбора начальной точки плоскости. Согласно предложению 2 9 2 гл. П компоненты лежащих в плоскости векторов удовлетворяют уравнению Ао1 + Вал + Соз — — О, т.
е. приведенной системе. Два линейно независимых решения этой системы (фундаментальная система решений) могут быть приняты за направляющие векторы плоскости. Таким образом, формула (13)— не что иное, как параметрические уравнения плоскости. Рекомендуем читателю рассмотреть систему уравнений двух пересекающихся плоскостей и показать, что ее общее решение представляет собой параметрические уравнения прямой. Упражнения 1. Система линейных уравнений с матрицей А совместна при любом столбце свободных членов тогда и только тогда, когда строки матрицы А линейно независимы.
Докажите это: а) пользуясь теоремой Кронекера — Капелли; б) пользуясь теоремой Фредгольма. 2. Даны векторы а и Ь, а ф О. При помощи теоремы Фредгольма докажите, что уравнение (а,х) = Ь имеет решение тогда и только тогда, когда (а,Ь) =О. 3. Найдите фундаментальную матрицу для системы с матрицей !!1 1 1 !!. 4. Пусть !! Е„! В !! -- упрощенный вид матрицы однородной системы уравнений.
Найдите фундаментальную матрицу системы. 5. Пусть à — фундаментальная матрица системы линейных уравнений Ах = 0 и строки А линейно независимы. Какая будет фундаментальная матрица у системы: а) Гу = О; б) Г~я = 07 6. Напишите общее решение системы с расширенной матрицей 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. Пусть матрица Г размеров п х р фундаментальная матрица некоторой системы уравнений. Докажите, что Г' будет фундаментальной матрицей той же системы тогда и только тогда, когда найдется невырожденная матрица Ч порядка р, такая,что Г = ГЯ. 8. Рассматривается система из трех уравнений с двумя неизвестными. Убедитесь, что применение теоремы Фредгольма к этой системе равносильно такому (геометрически очевидному) утверждению: вектор Ь раскладывается по векторам а1 и а~ тогда и только тогда, когда он ортогонален каждому вектору у, ортогональному этим векторам.
9. Пусть строки матрицы А линейно независимы, Г - соответствующая фундаментальная матрица, а матрица Х) получена из А приписыванием к ней снизу матрицы Г~. Докажите, что В невырождена. ГЛАВА 'Л ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ~ 1. Основные понятия 1. Определение линейного пространства. В этой книге нам уже встречались множества, в которых были определены линейные операции: сложение и умножение на число. В гл.
1 мы рассматривали множество векторов (направленных отрезков), которые мы можем складывать и умножать на числа. В множестве матриц одинаковых размеров мы также ввели операцию сложения и операцию умножения на число. Свойства этих операций для матриц, выраженные предложением 1 ~ 1 гл. Ъ', совпадают со свойствами тех же операций с векторами, сформулированными в предложении 1 ~ 1 гл.
1. В каждом множестве линейные операции определяются по-своему, но имеют одни и те же свойства: коммутативность и ассоциативность сложения, дистрибутивность умножения на число по отношению к сложению чисел и т. д. Рассмотрим еще один пример. Пример 1. Пусть Ж'- — - множество всех функций от одной переменной, определенных и непрерывных на отрезке ~0, 1~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
