Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Так как с'= 6" 6~ 4"1-, каждый вектор х Е Ю однозначно раскладывается в сумму векторов х1 Е Г и ха Е К'~. Вектор х1 называется ортогональной проекцией х на о'. Легко видеть, что х2 — ортогональная проекция х на 6"~. Найдем ортогональную проекцию х на о' в предположении, что в о' задан некоторый ортогональный базис 61, ...,6~. Дополним этот базис до ортогонального базиса в пространстве Г', присоединив к нему произвольный ортогональный базис 6ь+1, ...,6„из А"~. Так как сумма Ж" и 6"1- прямая, искомое разложение вектора х единственно, и мы, группируя слагаемые в формуле (10), получаем й (18) г~ Если Й = 1, проекция имеет вид х1 — — ((х,6)/~6~2)6, и мы видим, что правая часть формулы (18) — сумма проекций на ортогональные од- номерные подпространства, натянутые на 61, ...,6ь.
Так же истолковывается формула (10), а значит, равенство Парсеваля (11) является обобщением теоремы Пифагора. Из (х1, .х2) = 0 следует (х)~ = ~х1+ х2)~ = (х1(~ + )х2(~ > )х1)~. Длина х2~ ортогональной проекции х на 6"-1- обладает следующим свойством минимальности, обобщающим теорему о длине перпендикуляра и наклонной из элементарной геометрии. Предложение 6. Пусть х1 ортогональная проекция х на 6". Тогда для любого вектора д Е Г', отличного от х1, выполнено И=! — '1<М вЂ” Ы Доказательство.
Обозначив х1 — у через г, имеем д! — ~х1 + х2 д~ — )г+ х2~ — (г + х2~ г + х2)— = ~4'+ 2(х2, г) + !ха ~'. Но (г, хг) = О, так как г Е 6 ~, и, следовательно, )х — у)2 = (х2(~ + ф~. Отсюда непосредственно вытекает доказываемое утверждение. 8. Метод ортогонализации. Формула (18) служит основой метода, позволяющего произвольный базис евклидова пространства преобразовать в ортогональный, а затем в ортонормированный.
Этот метод называется методом ортогонализации Грама — Шмидта. Пусть в Гзадан некоторый базис ~1, ..., ~„. Положим 61 — — ~1. Затем из вектора 5~ вычтем его ортогональную проекцию на линейную 222 Гл. 7П. Евклидовы и унитарные пространства оболочку 61 и положим 62 равным полученной разности: 6 = л — ® "') 6 . 2,/2 1 ° )61!' Отметим, что 62 раскладывается по ?'1 — — 61 и ?2, причем 62 ф о, так как в противном случае ?'1 и ?2 были бы пропорциональны.
Будем продолжать таким же образом. Допустим, что построены попарно ортогональные ненулевые векторы 61,...., 61„., причем для любого 1 < Й вектор 6, раскладывается по ?"1, ..., Л. Положим (19) ~ 1~- 1=1 Вектор 6Ь+1 проекция ~Ь+1 на ортогональное дополнение линейной оболочки 61, ...,6ь, и потому ортогонален всем 6; при г < й+ 1. Кроме того., он раскладывается по ?"1, ..., ~~+1., так как для любого г < Й вектор 6; раскладывается по ?1, ..., Д. Отсюда следует, что 6~+1 ф о, поскольку иначе векторы ?'1, ..., ~ь+1 оказались бы линейно зависимы. После того как будет преобразован последний вектор ?"и, мы получим ортогональную систему из и ненулевых векторов. Итак, нами построен ортогональный базис Ь.
От него можно перейти к ортонормированному базису е из векторов е, = 6;/~6,~ (г = = 1, ..., и). Это называется нормировкой базиса Ь. Посмотрим на матрицу перехода Я от базиса Ь к базису Г. Из равенства ?'1 —— 61 и формулы (19) видно, что Д при любом 1 раскладывается по 61, ...,6, причем его координата по 6 равна 1. Поэтому элементы матрицы перехода о.' равны нулю, если они ниже главной диагонали (при 1 ) ?), и единице при г = 1'.
Таким образом, эта матрица верхняя треугольная (п. 3 2 1 гл. У) с единицами на главной диагонали. Пусть базис е получен нормировкой базиса Ь. Тогда Ь = е1?, где О диагональная матрица с положительными элементами на диагонали. Если Г = ЬЯ, то Г = е.05, причем, как легко видеть, матрица Л =.ОЯ треугольная, как и Я, и ее диагональные элементы положительны, хотя, возможно, и не равны единице. Теперь мы можем сформулировать Предложение 7. Если ортогональный базис Ь получен ортогонализацией базиса К, то л1атрица перехода Я от Ь к Г верхняя треугольная с единицами на диагонали.
Если базис е получен нормировкой базиса Ь, то матрица перехода В от е к Г верхняя треугольная с положительными диагональными элементами. 3 а м е ч а н и е. По существу, метод ортогонализации — метод приведения положительно определенной квадратичной формы к диагональному виду. Метод, примененный при доказательстве теоремы 1 ~ 6 гл. Л, в случае положительно определенной формы отличается только порядком выполнения элементарных операций.
~ 1. Евялидовы пространства 223 9. ЯЛ-разложение. Так называется следующее разложение матрицы на множители, часто используемое в приложениях. Предложение 8. Если матрица А невырождена, то она может быть представлена в виде произведения А = ЯЛ, где Я ---- ортогональная, а Л верхняя треугольная матрица, причем диагональные элементы Л положительны. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Будем рассматривать столбцы А как координатные столбцы векторов а1, ..., а„в ортонормированном базисе я: евклидова пространства. Так как А невырождена, эти векторы составляют базис а. При этом А — матрица перехода от я: к а, т. е. а = дА. Пусть е — — ортонормированный базис, полученный ортогонализацией и нормировкой базиса а. Тогда а = еЛ., и по предложению 7 матрица Л верхняя треугольная с положительными диагональными элементами.
Кроме того, так как базис е ортонормированный, е = дф, где матрица Я ортогональная. Из двух последних равенств следует а = ф~Л. Сравнивая это с равенством а = дА, получаем ЯЛ = А. 10. Объем параллелепипеда. Рассмотрим й линейно независимых векторов ~1,...,~ь в и-мерном евклидовом пространстве. Под И-мерным параллелепипедом ~~1, ..., ~~.„), построенным на них, мы будем понимать множество всех их линейных комбинаций с коэффициентами а;, 0 < о, < 1 (г = 1, ..., Й). Векторы ~1, ..., ~л назовем ребрами параллелепипеда.
Если ребра упорядочены, параллелепипед называет- ся ориентированным. Параллелепипед Я, ..., ~ь 1) естественно назвать основанием параллелепипеда (~1, ...,~ь), а высотой, соответствующей этому основанию, назовем длину ~6~,~ ортогональной проекции 6ь вектора ~ь на ортогональное дополнение линейной оболочки ~1,...,~ь Объем одномерного параллелепипеда ~Д мы определим как длину его единственного ребра: 1'~Д = ~Д, а объем И-мерного параллелепипеда Г~~1,..., ~ь) определим по индукции как произведение объема основания на высоту.
При таком определении объем параллелепипеда может оказаться зависящим от порядка, в котором записаны ребра, но из полученной ниже формулы (20) для объема мы увидим, что в действительности такой зависимости нет. Если ребро ~ь ортогонально остальным ребрам, то 6ь = ~ь и 1'(~1, ..., ~ь) = 1'(~1, ..., ~ь 1) ~~ь~.
Отсюда легко заметить, что объем прямоугольного параллелепипеда (у которого ребра попарно ортогональны) равняется произведению длин ребер. Рассмотрим п-мерный параллелепипед (~1, ...,~„). Применяя к ~1, ...,~„процесс ортогонализации, мы заменяем очередной вектор его проекцией на ортогональное дополнение линейной оболочки предыдущих векторов и в результате строим и-мерный прямоугольный параллелепипед 161, ...,6„), имеющий тот же объем. Матрица Грама Гь системы векторов 61, ...,6„— диагональная с Гл. Ъ'П. Евклидовы и унитарные пространства 224 элементами ~61~2, ..., ~Ь,„~2 на диагонали. Поэтому г~У„...,У„~ =1 <ш„...,а„> = ~ю,~...~ь„~ =,/Йсг,. Пусть 5 — матрица перехода от 61, ..., Ь„к ~1, ..., ~„. Согласно предложению 7 с1еФ Я = 1, и потому с1е1Гу = с(еС(ЯтГлЯ) = с1е1 Гл.
Итак, г~у„...,у„) = ~Чйг,. (20) Пусть е произвольный базис, а Р матрица из координатных столбцов векторов 1"1, ..., 1'„в этом базисе. Эта матрица — матрица перехода от е к Г. Поэтому Гу = РтГ,К Отсюда в силу (20) Г1 Л, ..., ~~ = / ЙеЕ е $ ~/Гей Г, = / ЙеЕ е /е1е,, ..., е„~. В частности, для ортонормированного базиса е Ъ'(~1, ..., ~,„) = ~ с1е1 К~. Если евклидово пространство ориентировано (п. 6 ~ 1 гл. Ъ'1), мы определим обьел и-мерного ориентированного параллелепипеда как его объем со знаком плюс, если его ребра составляют положительно ориентированный базис, и со знаком минус в противном случае.
Тогда для положительно ориентированного ортонормированного базиса мы имеем Ъ~(~1, ..., ~ ) = пей г, а в общем случае Г~ (~1, ..., ~„) = с1е$ ЕЪ'~ (е1, ..., е„) . Формулы этого пункта были получены нами для п = 2,3 в ~ 4 гл. Е Упражнения 1. Проверьте, что в пространстве многочленов степени С 2 скалярное произведение можно определить формулой 1 (р,ч) = р®ч®д~. а) Составьте матрицу Грама базиса 1, 1, 1 . б) С помощью матрицы перехода найдите матрицу Грама базиса 1, (г — 1), (~ — 1)2. в) Найдите угол между многочленами г~ + 1 и 1+ 1.
2. Подпространство евклидова пространства задано в ортонормированном базисе уравнением ~' + ~ + ~~ + ~~ = О. Найдите ортонормированный базис в этом подпространстве. 3. Пусть д1ш 6'= 4 и Г С 6' задано в ортонормированном базисе системой ('1+( +('з = О, ~ +('з+~'4 = О. Найдите: а) базис в о'~,: б) ортогональную проекцию на Р' вектора О 1 2 3 4 ~)т. 4. Допустим, что все элементы ортогональной матрицы порядка п равны между собой по абсолютной величине. ~2. Линейные преобразования евклидовых пространств 225 1 3 1 2 4 — 3 1 1 — 1 1 1 2 3 б) а) 6. В четырехмерном евклидовом пространстве трехмерный параллелепипед построен на векторах, имеющих в ортонормированном базисе координатные столбцы ~( 1 1 — 1 О ~~т, ~) 1 1 1 — 1 ~~ и ~~ 1 1 1 1 (~т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
