Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 55
Текст из файла (страница 55)
+ П'~". При помощи равенств (1) теперь можно получить ® ту) = (п,с). Аксиомы 2) и 3) следуют из свойств умножения матриц. Далее, (6,6 = ~'Г+" + Г4" = 1~'!'+" + 1С!' а следовательно, скалярный квадрат неотрицателен и равен нулю только для нулевого столбца. П р и м е р 2. Одномерное унитарное пространство можно построить следующим образом.
Рассмотрим в качестве множества векторов векторы обычной плоскости. Сложение векторов определим, как обычно, по правилу параллелограмма. Для того чтобы определить произведение вектора на комплексное число, выберем некоторый (пусть, для определенности, ортонормированный) базис е1, е2. Произведением вектора х с координатами ~', ~2 на число Л = а + Ц мы назовем вектор с координатами а~~ — Я~ и а~~ + Я~.
Смысл этого определения следующий: вектору х соответствует комплексное число ~'+ г(~. Произведением Лх называется вектор, соответствующий произведению чисел Л(~1+ г~2). Заметим, что при сложении векторов складываются соответствующие комп- лексные числа. Проверим аксиомы линейного пространства.
Аксиомы, относящиеся к сложению векторов, разумеется, выполнены, так как тут обычные векторы складываются обычным образом. Аксиомы, относящиеся к умножению вектора на число, вытекают из свойств сложения и умножения комплексных чисел. Таким образом, мы имеем комплексное линейное пространство.
Размерность его равна 1., так как каждый вектор х равен (~1+ г(2)е1, где ~1+ г(2 комплексное число, определяемое вектором х. Базисом является вектор е1. Скалярным произведением векторов х = Ле1 и у = ре1 назовем число Лр. Не представляет труда проверить, что такое скалярное умножение удовлетворяет аксиомам унитарного пространства. Унитарная длина вектора (1+ г)е1 равна ~/2. Скалярное произведение (е1, е2) = (е1, ге1) = — г, даже если по отношению к обычному скалярному произведению эти векторы и перпендикулярны. 2. Свойства унитарных пространств. Все доказанные выше свойства евклидовых пространств с небольшими изменениями переносятся на унитарные пространства.
Скалярное произведение выражается через координаты сомножителей в базисе е по формуле (х,д) = ~ Гп, где Г матрица Грама базиса е, или, иначе, матрица основной эрмитовой формы. Ее элементы — скалярные произведения всевозможных 16 Д.В. Беклемишев Гл. Ъ'П. Евклидовы и унитарные пространства пар базисных векторов. Поскольку (е;, е ) = (е., е,), матрица Грама в унитарном пространстве удовлетворяет условию Г~=Г. Напомним, что при условии (3) матрица называется эрмитовой. В конечномерном унитарном пространстве существует ортонормированный базис, векторы которого попарно ортогональны, а по длине равны 1. Такой базис можно получить из произвольного базиса методом ортогонализации. В ортонормированном базисе скалярное произведение выражается формулой (*,у) =~'7+" +ГГ.
Ортогональное дополнение подпространства и ортогональные проекции вектора в унитарном пространстве определяются так же, как в евклидовом, и имеют те же свойства. Разумеется, нужно не забывать следить за порядком сомножителей в скалярном произведении. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса в унитарном пространстве к другому такому же базису должна удовлетворять авенств (4) р у ~7" ~ — 1 Это означает, что я = ят, а отсюда следует ~~т О п р е дел е н и е.
Матрица, удовлетворяющая равенству (4), называется унитарной. Применяя равенства (1) к формуле полного разложения детерминанта, мы получаем, что с1е13 = с1е1 5. Теперь из (4) следует с1е1ф~З) = с1е1 Я~ с1е13 = с1е1 Яс1е1 Я = ) с1еС Я(~ = 1. Таким образом, детерминант унитарной матрицы число, по модулю равное 1 В теореме 5 ~4 гл. У мы видели, что для каждого линейного преобразования комплексного линейного пространства существует базис, в котором его матрица — — верхняя треугольная. Легко видеть, что комплексное ортогонализация такого базиса не выводит его векторы из подпространств (11) ~4 гл. У.
Поэтому справедлива Теорема 2. Для каждого линейного преобразования унитарного пространства существует ортонормированный базис, в котором его матрица — — верхняя треугольная. 3. Самосопряженные и унитарные преобразования. Преобразование унитарного пространства называется самосопряженным, если для любых векторов х и д выполнено равенство (4(х), у) = (х,4(у)). Из этого определения вытекает, что преобразование является самосопряженным тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортонормированном базисе эрмитова. у4'. Понятие об унитарных пространствах 243 Собственные значения (а значит, и все характеристические числа) самосопряженного преобразования вещественны.
Действительно, если А(х) = Лх., то (А(х), х) = Л(х, х) и (х, А(х)) = Л(х, х). Следовательно, Л = Л. На самосопряженные преобразования унитарных пространств без изменений переносятся теоремы 2 — 4 ~ 2. Заметим, однако, что обращение теоремы 4 ~ 2 --- предложение 6 22 на унитарные преобразования не переносится: эрмитова матрица должна иметь вещественные числа на главной диагонали, а потому не всякая диагональная матрица эрмитова.
Преобразование унитарного пространства такое, что (А( ), А(у)) = (х,у) для любых векторов х и у, называется унитарным преобразованием. Преобразование унитарно тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортонормированном базисе унитарная. Собственные значения унитарного преобразования по модулю равны единице. Каждое унитарное преобразование имеет ортонормированный базис из собственных векторов.
Этим унитарные преобразования отличаются от ортогональных преобразований евклидова пространства. 4. Эрмитовы формы в унитарном пространстве. Рассмотрим в унитарном пространстве полуторалинейную форму Ь. Преобразование А этого пространства называется присоединенным к форме Ь, если Ь(х,у) = (х, А(у)) для любых векторов ж и у.
В ортонормированном базисе матрица присоединенного преобразования совпадает с матрицей, комплексно сопряженной матрице полуторалинейной формы Ь. Отсюда следует, что преобразование, присоединенное к эрмитовой форме, является самосопряженным. Теперь аналогично теореме 1 ~ 3 мы можем заключить, что для эрмитовой формы в унитарном пространстве найдется ортонормированный базис, в котором она имеет диагональный вид с вещественными числами на диагонали.
Для двух эрмитовых форм, из которых одна положительно определенная, найдется базис, в котором они обе имеют диагональный вид. Упражнения 1. В двумерном унитарном пространстве дан ортонормированный базис и векторы а и Ь, координаты которых в этом базисе соответственно 1 + г, 1 — ~ и — г,2 — 2г. а) Найдите их длины и косинусы углов между а и Ь и между Ь и а. б) Ортогонализуйте эту пару векторов. 2. Напишите какую-нибудь эрмитову матрицу порядка 3 и какую- нибудь унитарную матрицу порядка 2.
Гл. Ъ'П. Евклидовы и уншпарные пространства 3. Докажите, что корни характеристического уравнения вещественной ортогональной матрицы (в том числе и комплексные) по модулю равны 1. 4. Найдите ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу преобразования в этом базисе для преобразования А, заданного в ортонормированном базисе матрицей О г — г О Является ли преобразование самосопряженным, унитарным? 5. Найдите ортонормированный базис из собственных векторов унитарного преобразования, заданного в ортонормированном базисе матрицей сов ~р — в1п ~р з1п ~р сов ~р ГЛАВА У1П АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ~ 1.
Плоскости 1. Аффинное пространство. В гл. 1 мы считали известным из школьного курса понятие обычного геометрического пространства и ввели определение вектора как упорядоченной пары точек. В гл. Л и гл. УП были изучены многомерные векторные пространства. Теперь мы можем дать аксиоматическое определение точечного пространства любой размерности.
Рассмотрим и-мерное вещественное линейное пространство У и дадим следующее Определение. Множество .У' называется и-мерным аффинным пространством, а его элементы точками, если задан закон, сопоставляющий каждой упорядоченной паре его элементов А и В единственный вектор из У' (который мы обозначим АВ) так, что: 1) для любой точки А из,У и любого вектора х Е У существует единственная точка В такая, что АВ = т; эта точка будет обозначаться Р(А, х); 2) для любых трех точек А, В и С выполнено АВ+ ВС = АС. У называется пространством векторов пространства 5", а его элементы векторами из Ж Чтобы установить соответствие с привычными определениями, заметим, что первое требование соответствует возможности отложить произвольный вектор от любой точки, а второе — определению сложения векторов Приведем простейшие следствия из определения аффинного пространства.
а) Для любых двух точек А и В АА + АВ = АВ. Поэтому вектор, соответствующий паре совпавших точек, является нулевым вектором. Отсюда для любой точки А имеем Р(А, о) = Р(А, АА) = А. б) Второе требование для точек А, В, А дает АВ+ ВА = АА, откуда АВ = -ВА. в) Для любых четырех точек А, В, А', В' справедливо равенство А'А + АВ = А'В'+ В'В.
Поэтому равенство АВ = А'В' выполнено тогда и только тогда, когда выполнено равенство А'А = В'В. Это свойство соответствует определению равенства векторов из ~ 1 гл. 1. 246 Гл. Ъ'111. Аффинные пространства Пример. Исходя из линейного пространства ~' можно построить аффинное пространство.
Для этого возьмем в качестве множества точек,У множество векторов пространства У и сопоставим каждой паре векторов х и у вектор ху = у — х. Легко проверить., что оба условия из определения выполнены. Интуитивно это означает следующее: представим себе векторы из У как направленные отрезки, исходящие из одной точки. Тогда точками,У мы будем считать концы наших векторов. Определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
