Существование и единственность сильных решений стохастических уравнений

§5. Существование и единственность сильных решений стохастических уравнений.

5.1. В данном параграфе мы вводим понятия стохастического дифференциального уравнения, а также устанавливаем условия разрешимости этих уравнений.

5.2. Пусть имеется стохастический базис  и  - винеровский процесс на нём. Через обозначим измеримое пространство непрерывных функций  на со значениями в . Пусть - измеримые функции.

Определение. Будем говорить, что случайный процесс Ито  является сильным решением стохастического уравнения

,                                                (22),

если  и при каждом  - измерим,  и Р-п. н. справедливо (22).

В дальнейшем (22) будем называть стохастическим уравнением.

Определение. Будем говорить, что стохастическое уравнение (22) имеет единственное сильное решение, если для любых его двух сильных решений , таких, что , справедливо .

Рекомендуемые материалы

5.3. Приведём, а затем и обоснуем условия существования и единственности сильных решений стохастического уравнения (22).

Теорема 12. Пусть выполняются условия:

1), – измеримые функции;

2) существует константа такая, что для любых:

i) ,

ii) ;

3) случайная величина  не зависит от   и .

Тогда у стохастического уравнения (22) существует единственное сильное решение для любого .

Замечание. Из условия 2) теоремы следует, что коэффициенты стохастического уравнения (22) удовлетворяют условию . Действительно, из условия 2) следует, что

Доказательство. Установим сначала единственность сильного решения стохастического уравнения (22). Пусть  - два решения стохастического уравнения (22), причём. Тогда очевидно

                                      (23)

Возьмём математическое ожидание относительно левой и правой частей неравенства (22), а затем к первому слагаемому правой части (22 применим неравенство Коши-Буняковского, имеем

                               (24)

Из свойств стохастических интегралов, условия 2) теоремы и теоремы Фубини, имеем из (22)

.

Отсюда, в силу леммы Гронуолла-Беллмана, следует единственность сильного решения у (22).

        Установим, теперь, существование сильного решения у (22). Для этого воспользуемся методом последовательных приближений. Положим

                                      (25).

Сначала покажем, что для любых существует константа такая, что . Действительно, из (25), в силу замечания из пункта 5.3.1, имеем

.      (26)
Рассмотрим . В силу (25) и условия Липшица, имеем

                                       (27)
где . Заметим теперь, что Р-п. н.

 

Отсюда, в силу леммы 9 и условия 2i), имеем

.

Поэтому ряд

.

Стало быть, в силу леммы Бореля-Кантелли ряд  сходится Р-п. н. равномерно по t. Значит последовательность непрерывных процессов  Р-п. н. равномерно сходится к непрерывному процессу . Из оценки (26) и леммы Фату следует, что

.

Покажем, что построенный процесс является решением уравнения (22). В соответствии с (25), покажем, что равномерно по t  при . Из (23) и (25) имеем Р-п. н.

.       (28).

Заметим, что:

i) в силу условия Липшица, Р-п. н. имеем

,                   (29).

ii) в силу леммы 10 и условия Липшица, имеем для любых   и  

.    (30).

Так как , поэтому из (30) и (29) следует, что (28) стремится к 0 по вероятности при  равномерно по t. Значит  является сильным решением, так как из предыдущих построений следует, что оно  - измеримо, где . Доказательство закончено.

В лекции "9.3 Обобщённые линейные гипотезы" также много полезной информации.

5.4. Замечание. Пусть  - единственное сильное решение следующего стохастического уравнения

.                                        (31).

Из теоремы 12 следует, что существует функционал ,  где  - пространство непрерывных функций на  со значениями в  (обозначаемые через, обозначаемый через такой, что Р-п. н. . Пусть  - единственное сильное решение стохастического уравнения

.

 Тогда очевидно следующее равенство Р-п. н. для любого

 .