Оценки моментов решений стохастических уравнений. Непрерывность траекторий решений стохастических уравнений
§6. Оценки моментов решений стохастических уравнений. Непрерывность траекторий решений стохастических уравнений.
6.1. Теорема 13. 1) Пусть выполнены условия теоремы 12 и 
. Тогда существует положительная константа 
такая, что
.
2) Пусть выполнены условия теоремы 12 и 
, то существует константа К такая, что
.
Доказательство. 1) Обозначим
, 
.
Применим формулу Ито к
, имеем
Рекомендуемые материалы
(32)
Так как 
для любого
, имеем из (32)
(33)
Из определений 
и 
следует, что 
,
поэтому из (33) имеем 
(31)
Для оценки 
и 
воспользуемся неравенством Юнга 
, где 
, 
, 
. Рассмотрим и положим 
, а 
. Из неравенства Юнга следует Р-п. н. для любого s
.
Рассмотрим и положим 
, 
, имеем Р-п. н. для любого s
.
Поэтому неравенство (34) можно усилить, учитывая, что для каждого т существует константа 
такая, что
. (35)
Последнее неравенство (35) можно усилить, учитывая, что: а) 
,
б) так как для 
, то существует константа 
такая, что
.
Отсюда в силу леммы Гронуолла-Беллмана, применённой к функции 
, имеем из (35)
.
В силу леммы Фату, из последнего неравенства, имеем
.
Первое утверждение теоремы доказано.
2) Оценим сверху
, имеем в силу неравенства 
Отсюда, в силу неравенства Гёльдера и свойств стохастических интегралов, имеем
В силу замечания к теореме 12 имеем Р-п. н. для 
.
Поэтому последнее неравенство можно усилить
Значит существует константа 
такая, что
11 - Специализированные процессоры для ИС - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.
.
Воспользуемся теперь оценкой пункта 1 теоремы, в результате получим второе утверждение теоремы. Доказательство закончено.
6.2. Основываясь на втором утверждении теоремы легко установить утверждение.
Теорема 14. Пусть выполнены условия теоремы 13 и 
. Тогда решение стохастического уравнения (22) является непрерывным процессом.
Доказательство этого утверждения следует из пункта 2 теоремы 13 при , которое позволяет воспользоваться теоремой 2 главы 3.
