Диффузионные процессы и стохастические уравнения

§7. Диффузионные процессы и стохастические уравнения.

7.1. В данном параграфе мы получим условия, которые обеспечивают марковское свойство сильных решений стохастических уравнений. Кроме того, здесь мы установим условия, при выполнении которых единственное сильное решение стохастического уравнения (22) является диффузионным процессом.

7.2. В данном пункте мы покажем, что случайный процесс , являющийся единственным сильным решением стохастического уравнения (31),  -измерим, где  - s-алгебра борелевских множеств . Для доказательства этого утверждения нам понадобится ряд вспомогательных утверждений.

7.2.1. Предложение 15. Пусть выполнены условия 1) и 2) теоремы 12, а и  – единственные сильные решения стохастических уравнений, соответственно,

,                                         (36)

.                                        (37)

Тогда существует константа такая, что для любых справедливо неравенство

.

Рекомендуемые материалы

Доказательство. Обозначим .  Из (36), (37) следует, что

Отсюда в силу неравенства Коши-Буняковского и неравенства Колмогорова для квадратично интегрируемых мартингалов, имеем

.

Следовательно, в силу условия Липшица, имеем

.

Поэтому утверждение предложения следует из леммы Гронуолла-Беллмана.

7.2.2. Лемма 16. Пусть выполнены условия предложения 15. Тогда существует процесс , где , такой что:

а) при каждом  он является единственным сильным решением стохастического уравнения (36);

б) при каждом его сужение на  является  - измеримым.

Доказательство. Пусть  - двоично рациональное число, а  - единственное сильное решение стохастического уравнения (36). Поэтому в силу теоремы 1 главы 3 процесс  - прогрессивно измерим относительно s-алгебры . Положим , если . В силу теоремы 14  - непрерывен по t, а функция   - измерима. Пусть Р-п. н. . Заметим, что в силу предложения 15 . Стало быть .Значит  Р-п. н. для всех . Поэтому  обладает свойством измеримости, сформулированным в лемме. Доказательство закончено.

7.2.4. Лемма 17. Пусть  - измеримая ограниченная функция и выполнены условия предложения 15. Тогда  является  - измеримой.

Доказательство. Поскольку любая измеримая функция является пределом простых, то достаточно доказать лемму для , где ,     т.е.  . Действительно в силу леммы 16

.

Доказательство закончено.

7.3.Для любых

,                                       (38)

где  - решение стохастического уравнения (36). Из леммы 17 вытекает, что  является  - измеримой по х при фиксированных s, t, A, а из (38) следует, что  при фиксированных х, s, t - вероятностной мерой. Поэтому  - переходная вероятность процесса .

Основным результатом данного параграфа является следующее утверждение.

Теорема 18. Пусть выполнены условия 1) и 2) теоремы 12, – единственное сильное решение стохастического уравнения (22), . Тогда если  - семейство переходных вероятностей процесса , то для любых и  Р-п. н.

.

Доказательство. Пусть  - единственное сильное решение стохастического уравнения (33). Пусть  - измеримая функция, тогда  для каждого  -измерима в силу леммы 17. Поэтому  не зависит от . Стало быть, если  - измеримая случайная величина, то , где . В силу условия Р-п. н.  . Ясно, что  - измерим. В силу замечания из пункта 5.4. Р-п. н. . Значит Р-п. н.

.

Аналогичным образом, легко получить  Р-п. н.

,

где . Так как функция  - измеримая, то случайная величина  измерима относительно  и . Поэтому при  Р-п. н. . Отсюда следует Р-п. н.

 (39)

Стало быть, марковское свойство процесса  установлено.

Из определения переходной вероятности имеем

                                                           (40).

Если , где , то отсюда следует, что Р-п. н.

.

 В (40) положим , тогда , тогда в силу (39) получаем

Таким образом соотношение Чепмена-Колмогорова установлено, а с ним и утверждение теоремы.

7.4. Покажем теперь, что если  - единственное сильное решение стохастического уравнения (22), то оно является диффузионным процессом.

Теорема 19. Пусть выполнены условия теоремы 18, кроме того пусть коэффициенты  и  непрерывны по t для любых . Тогда процесс является диффузионным с коэффициентом сноса  и диффузии .

Доказательство. В силу теоремы 11 главы 5 достаточно доказать, что для :

i) ,

ii) ,

iii) .

Заметим, что i) следует из пункта 2 теоремы 13.

Установим ii). Очевидно, что в силу свойств стохастических интегралов

"Второе лейбористское правительство" - тут тоже много полезного для Вас.

Заметим, что: а) из  следует, что

, б) . Поэтому .

Установим iii). Сначала заметим, что в силу формулы Ито

Аналогично предыдущей выкладке легко убедиться в том, что

Доказательство закончено.