Уравнения Колмогорова
§8. Уравнения Колмогорова.
8.1. В данном параграфе мы установим связь между стохастическими уравнениями и задачей Коши для уравнений в частных производных второго порядка параболического типа, которые соответствуют прямому и обратному уравнениям Колмогорова.
8.2. В данном пункте мы выведем обратное уравнение Колмогорова.
Через 
обозначим пространство функций, определённых на 
, со значениями в 
, один раз дифференцируемых по 
и два раза по 
, причём эти производные непрерывны и ограничены.
Теорема 20. Пусть 
- единственное сильное решение стохастического уравнения (22), коэффициенты которого непрерывны по совокупности переменных. Пусть 
, 
, причём
. Тогда 
удовлетворяет уравнению
(41)
8.2.1. Доказательство теоремы опирается на вспомогательное утверждение.
Лемма 21. Пусть 
- квадратично интегрируемый мартингал, допускающий представление
, (42)
Рекомендуемые материалы
где 
– неупреждающий процесс такой, что Р-п. н. 
.
Тогда Р-п. н. 
.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что Р-п. н. 
. Пусть 
- разбиение отрезка 
такое, что 
.
Очевидно, что 
. Так как 
,
то 
.
Но 
Р-п. н. и при 
Р-п. н. 
. Следовательно 
. Доказательство закончено.
8.2.2. Доказательство теоремы 20. Так как 
удовлетворяет стохастическому уравнению (36), а 
, то к 
можно применить формулу Ито, имеем
(43)
Заметим, что в силу марковского свойства процесс 
является мартингалом относительно меры Р. Кроме того, стохастический интеграл 
является мартингалом относительно меры Р. Поэтому мартингалом относительно потока 
и меры Р является второе слагаемое правой части (43). Следовательно, в силу леммы 21 Р-п. н.
. (44)
В силу условий теоремы и непрерывности процесса 
по 
можно осуществить предельный переход равенстве (44) при
. В результате уравнение (41). Осталось отметить, что 
. Доказательство закончено.
8.3. В данном пункте мы выведем прямое уравнение Колмогорова, соответствующее стохастическому уравнению (22).
Теорема 22. Пусть выполнены условия теоремы 19. Пусть для любого 
существует плотность распределения
, обозначаемая через
. Кроме того, пусть существуют производные 
, 
, 
для любых 
. Тогда плотность распределения удовлетворяет уравнению
(45)
8.3.1. Замечание. Уравнение (45) обычно называют уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова.
8.3.2. Доказательство теоремы 22. Пусть 
- бесконечно дифференцируемая функция с компактным носителем [13], а - единственное сильное решение стохастического уравнения (22). В силу формулы Ито, имеем Р-п. н.
(46)
Возьмем математическое ожидание относительно левой и правой частей (46), учитывая свойства стохастических интегралов, имеем
2.4 Основные положения учения о противоречии и конфликте Маркса - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.
.
В силу условий теоремы и теоремы Фубини последнее равенство можно переписать в виде
Положим 
для любого х. Кроме того, в силу формулы интегрирования по частям правая часть последнего равенства будет иметь вид (в силу свойств функции 
)
.
Отсюда, в силу произвольности функции получаем, что удовлетворяет уравнению (42). Доказательство закончено.
