Лекция 5

Кинематика жидкости отличается от кинематики твердого тела. Отдельные частицы твердого тела жестко связаны между собой, в жидкой среде такие связи отсутствуют. Жидкость состоит из множества частиц, перемещающихся одна относительно другой и, кроме того, частицы дополнительно движутся совместно.

Идеальная жидкость в гидродинамике — модель жидкости, в которой, в отличие от реальной жидкости, отсутствуют вязкость. При отсутствии вязкости отсутствует внутреннее трение, нет касательных напряжений между двумя соседними слоями.

Моделью идеальной жидкости пользуются при решении задач, в которых вязкость не является определяющим фактором и ею можно пренебречь. Эта модель позволяет найти решение ряда задач о движении жидкостей и газов в каналах различной формы, при истечении струй, при обтекании тел.

В идеальной жидкости, как в неподвижной реальной жидкости, возможны только нормальные напряжения сжатия, т. е. гидромеханическое давление.

Задачей кинематики жидкости является определение скорости в любой точке жидкой среды, т. е. нахождение поля скоростей.

Установившимся называется течение жидкости, при котором давление и скорость являются функциями координат и не зависят от времени.

При установившемся движении давление и скорость могут изменяться при перемещении частицы жидкости из одного положения в другое.

р=f (х, у,z ); v=f₂(х, у, z ).

Установившееся течение может быть равномерным, когда скорость каждой частицы не изменяется при изменении ее координат. Поле скоростей остается неизменным вдоль потока.

Примером установившегося течения может служить истечение жидкости из сосуда, в котором поддерживается постоянный уровень, или движение жидкости в трубопроводе, создаваемое центробежным насосом с постоянной частотой вращения вала.

При установившемся течении траектории частиц жидкости от времени не зависят.

Неустановившимся называется течение жидкости, характеристики которого изменяются во времени в точках рассматриваемого пространства.

При неустановившемся течении давление и скорость зависят от координат и от времени:

p = F₁(x, y, z, t); v = F₂(x, y, z, t).

Примерами неустановившегося течения жидкости могут служить быстрое опорожнение сосуда через отверстие в дне или движение во всасывающей или напорной трубе поршневого насоса, поршень которого совершает возвратно-поступательное движение.

При неустановившемся течении траектории различных частиц, проходящих через данную точку пространства, могут иметь разную форму.

Для изучения течения жидкости вводится понятие линии тока.

Линией тока называется кривая, в каждой точке которой вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной к этой кривой (рис.5.1).

Очевидно, что в условиях установившегося течения линия тока совпадает с траекторией частицы и не изменяет своей формы с течением времени.

Трубкой тока называется бесконечно малый замкнутый контур, выделенный в данный момент времени в движущейся жидкости, через все точки которого проведены линии тока. Это условная трубчатая поверхность.

Элементарной струйкой называется часть потока, заключенная внутри трубки тока (рис.5.2).

В любой точке «трубки тока» т.е. на трубчатой поверхности струйки, векторы скорости направлены по касательной, а нормальные к этой поверхности составляющие скорости отсутствуют, следовательно, при установившемся движении ни одна частица жидкости, ни в одной точке трубки тока не может проникнуть внутрь струйки или выйти наружу.

Трубка тока, таким образом, является как бы непроницаемой стенкой, а элементарная струйка представляет собой самостоятельный элементарный поток.

В модели идеальной жидкости потоки конечных размеров рассматривают, как совокупность элементарных струек. Соседние струйки из-за различия скоростей скользят одна по другой, но не перемешиваются.

Живым сечением или сечением струйки δS или потока - S, называется площадь поверхности в пределах струйки или потока, проведенная нормально к линиям тока. Смоченным периметром называется длина части периметра живого сечения, на которой поток соприкасается с твердыми стенками..

Для круглой трубы это длина окружности P = πd, а если труба заполнена наполовину, то P = 0,5πd.

Гидравлическим радиусом называется отношение площади живого сечения к смоченному периметру Rг = S/P. Для потока в трубе круглого сечения:

Rг = S/P = (π/4)*d²/ (πd)=d/4.

5.2. Расход. Уравнение расхода

Расходом называется количество жидкости, протекающее через живое сечение потока в единицу времени. Это количество можно измерить в единицах объема, веса, массы в связи, с чем различают расходы:

Q – объемный, (м³/с);

Q_G – весовой, (Н/с);

Q_m – массовый, (кг/с) .

Для элементарной струйки, имеющей малую площадь сечения, мгновенную скорость принимают одинаковой во всех точках сечения, расход для элементарной струйки:

Объемный - δQ = V*δS, (5.1)

Массовый - δQ_m = ρV*δS, (5.2)

Весовой - δQ_G = ρg*δQ, (5.3)

где V - мгновенная скорость в данной точке, δS – площадь сечения струйки.

Для потока конечных размеров в общем случае скорость имеет различное значение в разных точках сечения, поэтому расход равен сумме элементарных расходов струек в данном сечении.

(5.4)

Если использовать среднюю по сечению скорость V_ср = Q/S, то средний расход для струйки или потока равен

Q_ср = V_ср*S. (5.5)

5.3 Уравнение неразрывности потока.

Условие неразрывности потока основывается на законе сохранения вещества.

А также на следующих допущениях:

а) трубка тока имеет свойство непроницаемости для внешних, обтекающих ее потоков;

б) предположение о сплошности (неразрывности) среды для установившегося течения несжимаемой жидкости.

На этих основаниях можно утверждать, что объемный расход во всех сечениях элементарной струйки (см. рис.5.2) один и тот же.

Уравнение неразрывности для элементарной струйки (уравнение расхода для элементарной струйки).

δQ = V₁ *δS₁ = V₂ *δS₂→ const (вдоль струйки). (5.6)
Уравнение неразрывности для потока, ограниченного непроницаемыми стенками (уравнение расхода для потока).

Q = V_ср1 *S₁ = V_ср2 *S₂→ const (вдоль потока), (5.6’)

где V_ср1 , V_{ср2 -} средние скорости.

Из этого уравнения (5.6') следует, что средние скорости в потоке несжимаемой жидкости обратно пропорциональны площадям сечений:

Уравнение расхода (5.6‘) является следствием общего закона сохранения вещества при условии сплошности (неразрывности) течения.

5.4. Уравнение Бернулли для элементарной струйки

идеальной жидкости

Установившееся течение идеальной жидкости происходит под действием одной массовой силы — силы тяжести. Для этого случая основное уравнение установившегося течения идеальной жидкости связывает между собой давление в жидкости и скорость ее течения.

Возьмем одну из элементарных струек, составляющих поток, выделим сечениями 1 и 2 участок этой струйки произвольной длины (рис.5.3). Пусть площадь первого сечения равна δS₁, скорость в нем V₁ , давление P₁, а высота от плоскости сравнения Z₁. Во втором сечении δS₂, V₂ , P₂ и Z₂.

За бесконечно малый отрезок времени δt выделенный участок струйки переместится в положение 1’ – 2’.

Применим к массе жидкости в объеме участка струйки теорему о кинетической энергии: работа сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии этого тела.

На жидкость действуют силы тяжести и силы давления, нормальные к поверхностям сечений рассматриваемого участка струйки.

Используя формулировку теоремы, подсчитаем работу сил давления, сил тяжести и изменение кинетической энергии участка струйки за время δt:

(mV₂²)/2 - (m V₁²)/2 = G*( Z₂- Z₁) = G*h

Работа силы давления в первом сечении положительна, так как направление силы совпадает с направлением перемещения, и выражается как произведение силы p₁*δS на путь V₁δt:

(p₁*δS₁)*(V₁δt)

Работа силы давления во втором сечении имеет знак минус, так как направление силы противоположно направлению перемещения, и определяется выражением

- (p₂*δS₂) *(V₂δt).

Силы давления, действующие по поверхности струйки, работы не производят, так как они нормальны к перемещениям.

Работа сил давления равна

δA = (p₁*δS₁) *( V₁δt)— (p₂*δS₂) *(V₂δt). (5.7)

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии выделенного объема струйки. Из потенциальной энергии жидкости в объеме 1 - 2 вычтем потенциальную энергию жидкости в объеме 1’- 2’. При этом энергия промежуточного объема 1’- 2 сократится, и останется лишь разность энергии элементов 1- 1’, 2- 2’.

По уравнению расходов (закон неразрывности) (5.6’) объемы и силы тяжести заштрихованных элементов 1 -1’ и 2 - 2’ равны между собой:

δG = ρ*g* V₁*δS₁*δt = ρ*g* V₂*δS₂*δt . (5.8)

Тогда работа силы тяжести выразится как произведение разности высот на силу тяжести δG:

(z₁-z₂) *δG. (5.9)

Чтобы подсчитать приращение кинетической энергии рассматриваемого участка струйки за время δt, необходимо из кинетической энергии объема 1’- 2’ вычесть кинетическую энергию объема 1 - 2. При вычитании кинетическая энергия промежуточного объема 1’ - 2 сократится, и останется лишь разность кинетических энергий элементов 2 — 2’ и 1 - 1’, масса каждого из которых равна δG/g.

Таким образом, приращение кинетической энергии на участке струйки равно

(V₂²- V₁²)* δG/(2g), (5.10)

Сложив работу сил давления (см. уравнение 5.7) с работой силы тяжести (5.9) и приравняв эту сумму приращению кинетической энергии (5.10), получим исходное уравнение для трех видов уравнения Бернулли.

(p₁*δS₁) *( V₁δt)— (p₂*δS₂) *( V₂δt) +(z₁-z₂) *δG=(V²₂- V²₁)* δG/(2g). (5.11).

сохранять на доске!

5.5. Первая форма уравнения Бернулли

Разделим это уравнение на δG - изменение силы тяжести элементарной струйки за время δt, (см. формулу (5.8) , и произведя сокращения на

δG = ρ*g* V₁*δS₁*δt = ρ*g* V₂*δS₂*δt , получим

Сгруппировав члены, относящиеся к первому сечению, в левой части уравнения, а члены, относящиеся ко второму сечению, в правой, получим

Писать!"Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной несжимаемой жидкости (первая форма уравнения Бернулли)":

(5.12)

где z - геометрический напор,

Р/ρg - пьезометрический напор,

V²/2g - скоростной напор.

Это уравнение полного напора, так как члены, входящие в него имеют размерность длины было выведено Даниилом Бернулли в 1738 г.

Уравнение Бернулли (5.12) записано для двух произвольно взятых сечении струйки и выражает равенство полных напоров Н в этих сечениях. Так как сечения взяты произвольно, следовательно, и для любого другого сечения этой же струйки полный напор будет иметь одно и то же значение.

Для идеальной движущейся жидкости вдоль струйки тока сумма трех напоров: геометрического, пьезометрического и скоростного есть величина постоянная.

На рис. 5.4 показано изменение всех напоров вдоль струйки.

Линия изменения уровней жидкости в пьезометрах называется пьезометрической линией.

Поскольку в уравнении Бернулли суммарный напор постоянен, из уравнения расхода следует: при уменьшении площади поперечного сечения струйки, скорость течения жидкости увеличивается и увеличивается скоростной напор, а пьезометрический напор уменьшается, если площадь струйки увеличивается, скорость уменьшается, а пьезометрический напор возрастает.

Например, если площадь поперечного сечения струйки в сечении 1 - 1 больше, чем в сечении 2 - 2 в 4 раза, скоростной напор увеличивается в 16 раз (рис. 5.4).

В сечении 3 - 3 та же площадь, что и сечение 1-1, и скоростные напоры одинаковы.

5.6. Вторая форма уравнения Бернулли.

Разделив исходное уравнение (5.11) на элементарный объем

δW =δQ*δt= δS₁V₁*δt = δS₂V₂*δt,

учитывая, что

δG = ρ*g*δW, δW = δG/ρg,

получим p₁ - p₂ +(z₁-z₂) * ρ*g = ρ* (V²₂- V²₁₎/2. или

. (5.13)

Во второй форме члены уравнения Бернулли имеют размерность давления:

ρzg — весовое давление;

р — гидромеханическое давление;

ρv²/2 — динамическое давление.

5.7. Третья форма уравнения Бернулли.

Разделив исходное уравнение (5.11) на массу δm = ρ*g*δW элементарного объема, равную

δm = ρ*( V_1*δS₁*δt) = ρ*( V_2*δS₂*δt) = δWρ = δG/g, а δG= gδm, преобразовав это уравнение, получим

(5.16)

Удельной энергией жидкости, называется отношение энергии жидкости к ее массе.

В третьей форме члены уравнения Бернулли имеют размерность энергии:

gz — удельная потенциальная энергия.

Частица жидкости массой δm, помещенная высоту z, обладает энергией равной (δmg)z, на единицу массы приходится удельная энергия

(δmg)z/δm =gz;

Р/ρ - удельная энергия давления жидкости.

Частица массой δm при давлении р обладает способностью подняться на высоту h = P/ρg, и ее потенциальная энергия увеличится на величину равную (δmg)h = δm(P/ρ), на единицу массы увеличение удельной потенциальной энергии

δm (Р/( ρ) / δm = р/ρ.

Сумма gz + р/ρ является удельной потенциальной энергией жидкости;

V²/2 - удельная кинетическая энергия жидкости.

Кинетическая энергия частицы массой δm равна δm*V²/2 , на единцу массы δm = V²/2.

Сумма Hg = zg+P/ρ+ V²/2 называется полной удельной механической энергией движущейся идеальной жидкости.

Энергетический смысл уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости заключается в постоянстве вдоль струйки полной удельной энергии жидкости.

Механическая энергия жидкости может иметь три формы: потенциальная энергия, энергия давления и кинетическая энергия.

Первая и третья формы механической энергии известны из механики, они свойственны твердым и жидким телам.

Энергия давления является специфической для движущихся жидкостей. В процессе движения идеальной жидкости одна форма энергии может преобразовываться в другую, однако полная удельная энергия идеальной жидкости при этом как следует из уравнения Бернулли, остается без изменений.

Энергию давления легко преобразовать в механическую работу. Простейшим устройством, с помощью которого осуществляют такое преобразование, является гидроцилиндр (рис. 5.5). При этом преобразовании каждая единица массы жидкости совершает работу, численно равную р/ρ.

Пусть площадь поршня равна s, его ход L, избыточное давление жидкости в левой полости цилиндра, необходимое для преодоления силы R, равно р =R/S, избыточное давление по другую сторону поршня равно нулю. Преодолевая силу R при перемещении поршня из левого положения, давление совершает работу А = рSL. Расход жидкости, который необходимо подвести к цилиндру для совершения этой работы за время t , равен объему цилиндра, т. е. Q t = W =SL.Удельная работа, приходящаяся на 1 кг массы,

е = А/m = pSL /( SLρ) = р/ρ.

5.8. Вывод дифференциальных уравнений движения

идеальной жидкости и их интегрирование (уравнений Эйлера).

В потоке идеальной жидкости возьмем произвольную точку М с координатами x, y, z (рис.5.6) и выделим вблизи этой точки малый объем в форме прямоугольного параллелепипеда так, чтобы точка М была одной из его вершин. Пусть ребра этого параллелепипеда будут параллельны координатным осям и соответственно равны δх, δу и δz, тогда его объем равен δW = δх*δу*δz, а масса δМ= ρδхδуδz.

Составим уравнение движения этого объема. Действующая на объем результирующая массовая сила, может быть разложена на составляющие соответственно осям координат, и, будучи отнесена к массе объема, даст единичные массовые силы или проекции ускорений на оси: Х, У и Z.

Проекции массовых сил, действующих на выделенный объем, равны этим составляющим, умноженным на массу выделенного объема.

Если давление в точке М обозначить через Р, давление вдоль оси Х в точке N - будет сумой давления в точке М и приращения по координате Х.

Разность между значениями давлений в этих точках, умноженная на площадь даст нам силу, действующую вдоль оси Х

Принцип Д’Аламбера: При движении системы ее положение может рассматриваться, как положение равновесия, если к активным силам, действующим на систему, прибавить фиктивные силы(силы инерции).

Скорость движения жидкости в точке М обозначим через V , а ее проекции через V_х, V_y V_z. Проекции ускорения, с которыми движется выделенный объем, будут равны: V_х/dt, V_y/dt, V_z/dt.

По принципу Д’Аламбера силы, которые необходимо ввести в уравнения движения, равны произведению ускорений на массу параллелепипеда.

Уравнения движения выделенного объема жидкости в проекциях на координатные оси будут иметь вид

ρ*δхδyδz*(dV_х/dt) = Xρ δхδyδz - (dp/dx)* δхδyδz;

{ ρ*δхδyδz*(dV_y/dt) = Yρ δхδyδz - (dp/dy)* δхδyδz;

ρ*δхδyδz*(dV_z/dt) = Zρ δхδyδz - (dp/dz)* δхδyδz;

где X,Y, Z – проекции единичных массовых сил.

Разделим эти уравнения почленно на массу элемента δm = ρ*δхδyδz и перейдем к пределу, устремляя одновременно δх, δy и δz к нулю и, стягивая параллелепипед к точке М, получим уравнения движения жидкости. Это система дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости, называемая уравнениями Эйлера.

(5.16)

Члены этих уравнений представляют собой соответствующие ускорения, а смысл каждого из уравнений заключается в следующем: полное ускорение частицы вдоль координатной оси складывается из ускорения от массовых сил и ускорения от сил давления.

Уравнения Эйлера в таком виде справедливы как для несжимаемой, так и для сжимаемой жидкости, а также для случая, когда из массовых сил действует только сила тяжести, и для общего случая относительного движения жидкости. При этом в величины Х, У и Z входят компоненты ускорения переносного движения. Так как при выводе уравнений (5.16) не накладывались условия стационарности движения, то они справедливы и для неустановившегося движения.

Рассматривая установившееся движение жидкости, умножим каждое из уравнений (5.16) на проекции элементарного перемещения по осям и сложим уравнения:

В проекциях на ось X:

В проекциях на ось Y:

В проекциях на ось Z:

Просуммировав эти проекции, получим:

(5.17)

Учитывая, что выражение в скобках является полным дифференциалом давления: .

Произведение проекции скорости на дифференциал скорости можно выразить следующим образом:

Уравнение (5.17) можно переписать в следующем виде

Xdx +Ydy + Zdz = (1/ρ)*(dp) + d(V²/2), (5.18)

или dU = (1/ρ)*(dp) + d(V²/2).

где U – силовая функция.

Интегрирование этого уравнения выполним для основного частного случая установившегося движения идеальной жидкости, когда на жидкость действует лишь одна массовая сила - сила тяжести. При направлении оси вертикально вверх

X = 0, Y= 0, Z = - g.

Подставляя эти значения в уравнение (5.17) получим

gdz + dp/ρ + d(V²/2) = 0 или dz + dp/(gρ) + d(V²/2g) = 0.

Так как для несжимаемой жидкости ρ = const, предыдущее уравнение можно переписать в виде

Обратите внимание на лекцию "Лекция 15. Редакторы системы MAX-PLUS II".

d(z + p/(gρ) + (v²/2g)) = 0

Это уравнение означает, что приращение суммы трех членов, заключенных в скобки, при перемещении частицы жидкости вдоль линии тока (траектории) равно нулю, следовательно, указанный трехчлен есть величина постоянная вдоль линии тока, а следовательно, и вдоль элементарной струйки, т. е.

z + p/(gρ) + (v²/2g) → const.

Таким образом, получили уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости, найденное в предыдущем параграфе другим способом.

Если записать это уравнение для двух сечений струйки 1-1 и 2-2, оно примет вид первой формы уравнения Бернулли:

= Н

Поделитесь ссылкой:

Популярные услуги

Лекция 5

Рекомендуемые материалы

Рекомендуемые лекции