Лекция 6

6-я лекция.

23.03.12

6. КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ-2

6.1 Уравнение Бернулли для потока реальной (вязкой) жидкости.

6.2 Мощность потока.

6.3 Коэффициент Кориолиса.

6.4 Гидравлические потери (общие сведения).

6.5 Местные потери.

6.6. Потери энергии на трение по длине  

Рекомендуемые материалы

6.7.Примеры использования уравнения Бернулли в технике

6.1.Уравнение Бернулли для потока реальной (вязкой) жидкости.

При выводе уравнения Бернулли для потока реальной (вяз­кой) жидкости  необходимо учесть: неравномерность распределения  скоростей по сечению и потери энергии. Эти  явления  соответствуют вязкой жидкости.

При движении жидкости из-за влияния вязкости  происхо­дит торможение потока.  Наибольшие значения ско­рость достигает в центральной части потока, по мере приближения к стенке она уменьшается почти до нуля. Пример распределения скоростей показан на рис. 6.1.

Из-за неравномерного распределения скоростей происходит скольжение  или сдвиг одних слоев по другим и между слоями возникают касательные напряжения или напряжения трения. Движение вязкой жидкости сопровождается вращением частиц, вихреобразованием и перемешиванием.

При движении реальной жидкости на преодоление сопротивлений, связанных с вязкостью,  требуются затраты энергии, поэтому удельная  энергия движущейся вязкой жидкости не остается постоянной, как в случае идеальной жидкости, а уменьшается вдоль потока.

При выводе уравнения Бернулли для потока вязкой жидкости вместо неравномерного распределения скоростей рассматриваются средние скорости и средние значения удельной энергии жидкости в данном сечении. Измерение скорости в различных точках сечения потока  выполнить сложно, измерение средней скорости потока выполнить проще и они могут быть сделаны с большей точностью.

Для потока вязкой жидкости делается допущение: принимается, что в пределах рассматриваемых поперечных сечений потока,  справедлив основной закон гидростатики  и  гидростатический  напор есть величина одинаковая для всех точек данного сечения.

6.2. Мощность потока

Мощностью потока  называется полная энергия, которую проносит поток через данное сечение в единицу времени.

Мощностью называется отношение работы, выполненной за определенный промежуток времни к длительности этого промежутка. Например, для гидроцилиндра

где давление p = ρgh, , работа А =pghS*L,  массовый расход δQ_m = ρW/t =  ρ(L*S) /t

Выразим работу, как произведение силы  или произведение давления р на площадь S гидроцилиндра на ход - L, который поршень проходит под действием этой силы. Это выражение мощности гидравлического потока подведенного к гидроцилиндру.

Элементарные струйки, составляющие поток обладают различной энергией.  

Мощность элементарной струйки это произведение полной удельной энергии струйки жидкости в виде третьей формы уравнения Бернулли в данной точке

gН= gz + p/(ρ) + (V²/2),         (6.1)

на элементарный массовый расход струйки

δQ_m = ρ(V*δS /δt),

 где V – скорость в сечении δS струйки .

Это произведение  позволяет выразить мощность струйки:

δN = gH*δQ_m = (gz + p/ρ + v²/2)*ρ* v*δS = P*δQ                (6.2)

Мощность всего потока найдем, как интеграл от предыдущего выражения по площади S:

                                  (6.3)

Учитывая, допущение о том, что гидростатический напор для всех элементарных струек в сечении  потока есть величина постоянная, получим мощность потока:

                           (6.4)

6.3 Коэффициент Кориолиса

Для  определения полной удельной мощности потока разделим  мощность потока на  средний массовый расход:   Q_m =  ρQ = , где Q=Vср*S.

     (6.5)

Умножив и разделив последний член на V , получим, переходя к напорам (третья степень в знаменателе получается умножением на скорость в составе расхода)

                     (6.6)

где α – безразмерный коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения скоростей и равный

                             (6.7)

Умножив числитель и знаменатель на ρ/2, получим:   коэффициент Кориолиса представляет собой отношение действительной кинетической энергии потока в данном сечении к кинетической энергии того же потока и в том же сечения, но при равномерном распределении скоростей, поскольку интеграл от dm =  ρ*VdS – масса потока в данном сечении:

Возьмем два сечения реального потока, первое и второе, и обозначим средние значения полного напора жидкости в этих сечениях соответственно Н_ср1 и Н_ср2. Тогда

Н _ср1 = Н_ср2 + Σh_п,

где  Σh_п  - суммарная потеря полного напора на участке между рассматриваемыми сечениями.

Это уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости:

              (6.8)

От уравнения для элементарной струйки идеальной жидкости это уравнение отличается четвертым членом - потерей полного напора, и коэффициентами Кориолиса, учитывающим неравномерность распределения скоростей. Скорости, входящие в это уравнение, являются средними скоростями в первом и тором  сечениях потока.

Это уравнение Бернулли применимо не только для жидкостей, но для газов при условии, что скорость их движения значительно меньше скорости звука.

Графически это уравнение представляется  диаграммой подобно уравнению Бернулли для идеальной жидкости с учетом потерь напора. Потери напора вдоль потока возрастают.

Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости  - это  закон сохранения механической энергии.

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости - уравнение баланса энергии  с учетом потерь.

Энергия, теряемая жидкостью на рассматриваемом участке течения   превращается в тепловую форму энергии.

Хотя удельная теплоемкость жидкостей велика и  тепловая энергия непрерывно рассеивается, повышение температуры рабочей жидкости в гидросистемах бывает значительным. Процесс преобразования механической энергии в тепловую необратим, обратное превращение тепловой энергии в механическую здесь невозможно.

Уменьшение среднего значения полной удельной энергии жидкости вдоль потока, отнесенное к единице его длины, называется гидравлическим уклоном.

6.4 Гидравлические потери .

Гидравлические потери удельной энергии, выраженные напором или давлением,  зависят от формы и размеров трубопровода, скорости течения и вязкости жидкости.

При турбулентном режиме движения жидкости гидравлические потери пропорциональны скоростям во второй степени, в единицах длины

   h _п = ζ V² _ср /(2g),              (6.9)

где ζ - безразмерный коэффициент местного сопротивления; V - средняя скорость потока (обычно - в сечении трубопровода перед местным сопротивлением или после него). В единицах давления

p_п = ρgh_п = ζρ V² _ср /2.       (6.10)

Безразмерный  коэффициент потерь ζ - дзета называется  коэффициентом  сопротивления и равен  отношению величины потерянного напора к скоростному напору.

Гидравлические потери разделяют на местные потери и потери на трение по длине.

Значение ζ  вообще зависит от формы местного сопротивле­ния, шероховатости его стенок, условий входа и выхода из него жидкости и основного критерия динамического подобия напор­ных потоков - числа Рейнольдса.

Число Рейнольдса обычно относят к сечению трубопровода, в котором находится местное сопротивление

.

где V и Q - средняя скорость потока и расход в трубе; D - диа­метр трубы; ν- кинематическая вязкость жидкости.

Для большинства местных сопротивлений в трубопроводах при числах Рейнольдса Re > 10⁵ имеет место турбулентная автомодельность - потери напора пропорциональны скорости во вто­рой степени и коэффициент сопротивления не зависит от Re (квадратичнаνя зона сопротивления).

В тех местных сопротивлениях, где основной является вихре­вая потеря напора (например, резкое изменение сечения трубопровода, диафрагмы и др.), автомодельность устанавливается при значительно меньших числах Рейнольдса Re≥10⁴.

Число Рейнольса определяет режим течения жидкости. При его значении меньше Re≤2300 режим течения жидкости называется ламинарным, от слова ламина – слой или слоистым.

Ламинарным движением жидкости называется режим ее течения  упорядоченным слоями без ее перемешивания.

Струи жидкости, находящиеся на разном удалении от оси движутся с различными скоростями. Наибольшую скорость имеет осевая струйка, при стенках скорость равна нулю.

Увеличение скорости понижает устойчивость ламинарного течения и нарушает его режим. На устойчивость ламинарного режима оказывают влияние вязкость жидкости, плотность, скорость движения частиц, а также диаметр трубопровода.

При увеличении скорости струйки разрываются, разрыву предшествует образование волнообразных колебаний. При усилении колебаний струйка полностью перемешивается с окружающей жидкостью. Движение частиц производит впечатление беспорядочных вихрей. При числах Рейнольса больше Re>2300 режим течения жидкости становится турбулентным.

Турбулентным движением жидкости называется режим ее течения  неупорядоченным слоями с их перемешиванием.

6.5.Местные потери

Местные потери  энергии вызваны изменениями формы и размера трубопровода, вызывающими деформацию потока. Жидкости, протекая через местные сопротивления, изменяет скорость и образует вихри. После отрыва потока от стенок вихри образуют области, в которых частицы жидкости движутся в основном по замкнутым траекториям.

Примеры местных сопротивлений приведены на рис. 6.3. Здесь же показаны отрывы потока и вихреобразование.

Каждое местное сопротивление характеризуется значением коэффициента сопротивления  ζ,  которое приближенно можно считать постоянным для данной формы местного сопротивления.

6.6. Потери энергии на трение по длине

Эти потери возникают в прямых трубах постоянного сечения и  при равномерной скорости течения, возрастают пропорционально длине трубы (рис.6.4).

Потери энергии на трение по длине связаны с  внутренним трением в жидкости, эти потери можно определять по формуле  для гидравлических потерь, т. е.

h _тр = ζ _тр v²/(2g).

Поскольку длины труб разные, коэффициент потерь на трение ζтр  связывают  с относительной длиной трубы   l/d.

Коэффициент потерь на трение участка круглой трубы с длиной равной ее диаметру

l = d обзначают буквой  λ –лямбда, если длина трубы  l  не равна диаметру d,  коэффициент потерь будет в l/d  раз больше:

ζ _тр = λ* l/d  .

Формула для определения потерь на трение по длине называется формулой  Вейсбаха – Дарси.

  (6.11)

или в единицах давления

 (6.11')

Коэффициент   λ, входящий в формулы для определения потерь по длине  называется  "коэффициентом потерь на трение по длине", или "коэффициентом Дарси".

Физический смысл коэффициента λ.  При равномерном движении в трубе длиной l и диаметром d, имеет место равновесие сил, действующих на объем: сил давления и силы трения. Это равновесие выражается равенством

πd²p_тр/4 - πdlτ₀ = 0,

где τ₀ — напряжение трения на стенке трубы.

Так как          , то                 λ=   ,

λ есть величина, пропорциональная отношению напряжения от силы трения на стенке трубы к динамическому давлению, определяемому по средней скорости.

6.6. Применение уравнения Бернулли в технике

6.6.1.  Расходомер Вентури - устройство, устанавливаемое  в трубопроводах и выполняющее сужение потока — дросселирование (рис.6.5).

Расходомер состоит из двух участков — плавно сужающегося сопла и постепенно расширяющегося диффузора. Скорость потока в суженном месте возрастает, а давление падает. Возникает перепад давлений, который измеряется двумя пьезометрами и дифференциальным U-образным манометром.

В сечении 1-1 перед сужением скорость потока равна V₁, давление Р₁, площадь сечения S₁ , а в cечении 2-2: V₂, P₂ ,S₂ , разность показаний пьезометров, присоединенных к сечениям ΔН.

Запишем для сечений 1-1 и 2-2 потока уравнение Бернулли и уравнение расхода, считая распределение скоростей равномерным.

где hм — потеря напора между сечениями 1-1 и 2-2.

Объемный расход

где С — величина постоянная для данного расходомера.

Зная величину С, можно найти расход в трубопроводе по формуле. Коэффициент  С можно определить теоретически, но лучше найти его экспериментально при тарировании расходомера.

Вместо пьезометров для измерения перепада давлений в расходомере можно применить дифференциальный манометр, заполненный ртутью. Над ртутью в трубках находится жидкость с плотностью ρ, поэтому можно записать для уровня 0-0, уравнение статики

Р₁+ρgΔh= Р₂+ρ_ртgΔh,  (Р₁- Р₂ ) = ρ_ртgΔh – ρgΔh,   (Р₁- Р₂ ) =ΔНρg, откуда  

6.6.2. Карбюратор поршневых двигателей внутреннего сгорания служит для подсоса бензина и смешивания его с потоком воздуха (рис. 6.6). Поток воздуха  засасываемого в  двигатель, сужается  в том месте, где установлен распылитель бензина (трубка диаметром d). Скорость воздуха этом сечении возрастает, а давление по закону Бернулли падает. Благодаря пониженному  давлению бензин подсасывается  в поток воздуха.

Найдем соотношение между массовыми расходами бензина Q_б и воздуха Q_в при заданных размерах D и d и коэффициентах сопротивления воздушного канала (до сечения 2-2) и жиклера ζж (сопротивлением бензотрубки пренебрегаем).

Записав уравнение Бернулли для потока воздуха (сечение 1-1 и 2-2), а затем для потока бензина (сечение 1-1 и 2-2), получим (при z₁= z₂‚  и  α= 1):

откуда

Учитывая, что массовые расходы

получим

Таким образом, обеспечивается постоянство соотношения расходов бензина и воздуха.

Струйный насос (эжектор) состоит из плавно сходящегося насадка А (рис.6.6), осуществляющего сжатие потока, и постепенно расширяющейся трубки С, установленной на некотором расстоянии от насадка в камере В.

 Вследствие увеличения скорости потока в струе на выходе из насадка и по всей камере В значительно понижается. В расширяющейся трубке скорость уменьшается, а давление возрастает приблизительно до атмосферного (если жидкость вытекает в  атмосферу), следовательно в камере В давление обычно меньше атмосферного, т. е. возникает разрежение (вакуум). Под действием разрежения жидкость из нижнего резервуара всасывается по трубе D в камеру В, где происходят слияние и дальнейшее перемешивание двух потоков.

Трубка полного напора ( трубка Пито) служит для измерения скорости в трубе (рис. 1.34). Если установить в этом потоке трубку, повернутую под углом 90°, отверстием навстречу потоку и пьезометр, то жидкость в этой трубке поднимается над уровнем в пьезометре на высоту равную скоростному напору.

"3. Освещение" - тут тоже много полезного для Вас.

 Объясняется это тем, что скорость v частиц жидкости, попадающих в отверстие трубки, уменьшается до нуля, а давление, следовательно, увеличивается на величину скоростного напора. Измерив  разность высот подъема жидкости в трубке Пито и пьезометре, легко определить скорость жидкости в данной точке. На этом же принципе основано измерение скорости полета самолета. На рис.6.7 показана схема самолетной скоростной трубки (насадка) для измерения малых по сравнению со скоростью звука скоростей полета.

Запишем уравнение Бернулли для струйки , которая набегает на трубку вдоль  ее оси, а затем растекается по ее поверхности. Для сечений 0-0 (невозмущенный поток) и 1-1 (где v =0), получаем

Так как боковые отверстия трубки приближенно воспринимают давление невозмущенного потока, р₂ ≈ р₀ , следовательно,  из предыдущего имеем