Лекция 7

7-я лекция.

7. МЕСТНЫЕ ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ

9.1. Общие сведения о местных сопротивлениях

9.2. Внезапное расширение трубопровода

9.3. Постепенное расширение трубы

9.4. Внезапное сужение трубопровода

9.5. Потери энергии при выходе из резервуара в трубу.

9.6. Потери энергии при постепенном сужении трубы - конфузор.

Рекомендуемые материалы

9.7.Поворот трубы

9.8. Коэффициенты местных сопротивлений.

9.1. Общие сведения о местных сопротивлениях

Местными сопротивлениями называются участки трубопроводов, на которых из-за изменения размеров или  направления движения жидкости происходит деформация потока.

Деформация вызывает дополнительное сопротивление, причиной которого являются вихреобразования. Работа, расходуемая на преодоление сопротивлений,  превращается в тепловую энергию.

К местным сопротивлениям относятся: внезапные расширения и сужения, "колено" -  поворот на некоторый угол, разветвления.

Конструктивно это могут быть: расширения и сужения в трубопроводе, гидрораспределители, клапаны, вентили.

Потери энергии, отнесенные к единице веса потока жидкости, определяются  по формуле (Вейсбаха-Дарси):

где V – средняя скорость потока в сечении S,  ζ  -  безразмерный коэффициент местного сопротивления, зависящий от числа Рейнольдса, формы местного сопротивления, шероховатости его поверхностей, степени открытости запорного устройства.

Потеря удельной энергии в местном сопротивлении характеризуется коффициентом ζ – дзета,  который определяется в долях удельной кинетической энергии (скоростного напора):

.

Сечения трубопроводов перед местным сопротивлением и за ним могут быть разными. Потери удельной энергии могут быть вычислены через скоростной напор,  как перед местным сопротивлением, так и после него. Поэтому коэффициент  ζм может быть отнесен к любому из этих скоростных напоров, но будет иметь разные значения, обратно пропорциональные скоростным напорам. За расчетную скорость удобнее принимать большую из скоростей, т.е. ту, которая соответствует меньшему диаметру трубы.

Из сопоставления формул для определения потерь по длине и в местных сопротивлениях следует, что коэффициент   ζ  эквивалентен λ*(l/d).  Поэтому потери энергии в местном сопротивлении можно рассматривать, как потери на эквивалентной длине lэ прямого трубопровода, определяя эквивалентную длину по формуле

Используя эквивалентную длину, можно сравнить  потери удельной энергии в  местном сопротивлении с потерями на трение по длине.

Местное сопротивление влияет на  подведенный и отходящий потоки. Нарушение потока начинается до него  и заканчивается после него на значительном расстоянии.

Взаимовлияние соединенных местных сопротивлений проявляется в том, что сумма коэффициентов близко расположенных местных сопротивлений может быть меньше  арифметической суммы отдельных коэффициентов. При выполнении расчетов этого не учитывают  и складывают коэффициенты.

Коэффициенты сопротивления  находят по  эмпирическим таблицам для сопротивлений различных типов и конструкций, либо расчетным путем по аналитическим зависимостям. В таблицах приводятся  усредненные величины коэффициентов. Если потери напора,  отличаются от расчетных, следует проводить эксперименты по определению коэффициентов сопротивления.

При ламинарном режиме движения и малых числах Рейнольдса Re < 2300, когда  в потоке преобладают силы вязкостного трения над силами инерции, коэффициенты сопротивления зависят только от числа Re:

В этом случае имеет место ламинарная автомодельность, и потери напора пропорциональны скорости в первой степени.  

При турбулентном режиме движения и больших числах Re >> 2300 ÷10⁵ в потоке преобладают силы инерции над силами вязкостного трения, коэффициенты местных сопротивлений  практически  не зависят от Re:

В этом случае имеет место турбулентная автомодельность, и потери напора пропорциональны квадрату скорости.

Понятие автомодельности относится к области гидродинамического моделирования и означает, сопоставимость   коэффициентов сопротивлений местного сопротивления или потерь на трение в трубе при исследованиях на модели  и на натуре при соблюдении чисел Рейнольдса.

Автомодельность имеет место, если  обеспечено соотношение между вязкостью жидкости, геометрическими размерами потоков, например, диаметрами,  кинематическими параметрами, например, скоростями в на модели и на натуре.

9.2. Внезапное расширение трубопровода

При внезапном расширении трубы (рис. 9.1) поток расширяется до большего диаметра не сразу, сначала жидкость выходит из меньшего сечения S₁ (обозначено 3 -4) в виде струи. Струя отделена от жидкости, находящейся вокруг ее  поверхностью раздела. 

Поверхность раздела неустойчива, в кольцевом пространстве между потоком и стенкой трубы образуются вихри. Струя постепенно расширяется и на некотором расстоянии   l от начала расширения заполняет все сечение S₂ (обозначено 2-2).

В пространстве между струей и стенками жидкость находится в застойной зоне, из-за трения жидкость в этой зоне вовлекается в вихревое движение, затухающее по мере приближения к стенкам. Жидкость из этой зоны вовлекается в центральную струю, а жидкость из струи попадает в вихревую зону. Из-за отрыва потока  и вихреобразования происходит потеря энергии.

Обозначим давление, скорость и площадь потока в сечении 1 – 1:  Р₁ , V₁, S₁ , а в сечении 2 – 2: Р₂ , V₂, S₂.

.

Сделаем следующие допущения:

1) гидростатическое давление распределяется по сечениям  по закону гидростатики:  .

2) распределение скоростей в сечениях соответствует турбулентному режиму движения  α₁ = α₂ =1.

3) Трение жидкости о стенки на  участке 1-2  не учитываем, ввиду его небольшой длины, учитываем только потери на расширение;

4) движение жидкости является установившимся, в том смысле, что напор истечения постоянен и средние скорости в сечениях S₁ и S₂ имеют определенное значение и не меняются.

Запишем для сечений 1 - 1 и 2 - 2 уравнение Бернулли с учетом потерь напора на расширение  h_в.р. . Выразим потери на расширение

Определим величину потерь на внезапное расширение  h_в.р. теоремой об изменении количества движения.

Эта теорема формулируется известным образом: "изменению количества движения тела  за единицу времени равно силе, действующей на тело».

δq – приращение количества движения объема жидкости "1-1-2-2" в проекции на ось потока равно проекции на ту же ось импульса внешних сил, действующих на этот объем.

 За время δt объем "3-4-2-2", состоящий из элементарных струек, переместится в положение:  3'-4' -2'-2'. Произойдет изменение количества движения жидкости, заключенной в объеме "1-1-2-2". 

Жидкость в застойной зоне не участвует в главном движении, поэтому приращение количества движения в объеме "1-1-2-2" за время δt  будет равно разности количеств движения в объемах: 3-4-3'-4'   и 2-2 -2'-2'. Внутренняя часть объема при вычитании сократится.

Обозначив скорости u₁  и u₂ в живых сечениях элементарных струек  δs₁, δs₂, можно записать приращение количества движения элементарных масс в струйках:

,

перейдя к дифференциалу и, интегрируя по площадям, получим

.

Эти интегралы дают количества движения масс жидкости, протекающей через живые сечения S₁ и S₂ в единицу времени. Они могут быть найдены через средние V₁ и V₂  скорости в этих сечениях:

,    

получим  приращение количества движения потока при расширении за время dt

.

Внешние силы, действующие на рассматриваемый объем:

 - сила тяжести G = ρS₂l, где l – длина рассматриваемого объема 1-1-2-2;

-  силы давления жидкости на поверхность сечения 1-1 - S₁ ,  имея ввиду, что давление Р₁ действует по всей  площади 1-1 - S₁, так как на кольцевую площадь "1-3 и 4-1" действует реакция стенки трубы, а на поверхность сечения 2-2 - S₂ действует  давление Р2.

Так как давления в сечениях действуют по гидростатическому закону, для определения сил на плоские стенки  надо умножить давления в центре тяжести площадей S₁ и S₂ на их величину. Для проекции импульса получим

Приращение количества движения будет равно импульсу

Используя уравнение неразрывности V₁S₁ = V₂S₂   и значение синуса Sinα = (z₂-z₁)/l и сократив на ρgS₂ получим

 (9.4)

Подставляя    в выражение для hв.р. получим

Потеря напора при внезапном расширении равна скоростному напору, определенному по разность скоростей  для турбулентного режима движения.

Эту формулу  называют формулой  Борда в честь французского ученого, который вывел ее в 1766 г.

Формула хорошо подтверждается при турбулентном режиме течения и используется в расчетах.   Явление  сопротивления при внезапном расширении используется при конструировании лабиринтных уплотнений.

Определим коэффициенты сопротивления относительно скоростей в узком S₂ и широком сечении S₁. Уравнение неразрывности

1.Относительно  скорости V₁ в узком сечении  S₁:

2.Относительно  скорости V₂ в широком сечении  S₂:

9.3. Потери энергии при выходе из трубы в резервуар.

Когда площадь резервуара S_2, велика в сравнении с площадью трубопровода S₁ , S₂/S₁→∞ велико, а скорость V₂→0  мала, потеря на расширение при выходе из трубы  в резервуар

9.3. Постепенное расширение трубы

Местное сопротивление,  при котором труба постепенно расширяется,  называется диффузором. Течение жидкости в диффузоре сопровождается уменьшением скорости и увеличением давления, происходит преобразование кинетической энергии жидкости в энергию давления.

Частицы движущейся жидкости преодолевает нарастающее давление за счет потери  кинетической энергии.  Формула для определения сопротивления диффузора похожа на формула для определения потерь при внезапном расширении

, где φд - коэффициент диффузора.

Определение коэффициента потерь для диффузора основывано на теореме Борда о внезапном расширении. Выражая коэффициент сопротивления относительно скорости V₁ в узком сечении  S₁, получим

Функция φ_д =f(α)  имеет минимум при угле α = 6º φ_д =0,2 (рис.9.5), для угла α = 10º φ_д =0,23-0,25.

Диффузор устанавливают для уменьшения потерь, возникающих при переходе от меньшего к большему диаметра трубы.

а) при  0<α<8-10º на всем протяжении диффузора наблюдается безотрывное движение жидкости;

б) при  8-10º <α<50-60º получается отрыв транзитной струи, с увеличением угла точка начала отрыва перемещается к меньшему сечению трубы;

в) при  50-60º <α   отрыв транзитной струи от стенок начинается сразу за меньшим сечением трубы., с увеличением угла точка начала отрыва перемещается к меньшему сечению трубы;

Прямоугольные диффузоры (с расширением в одной плоскости) имеют оптимальный угол больше, чем у круглых и квадратных, около  10 ÷ 12° (плоские диффузоры).

При  необходимости перехода на угол α > 15 ÷ 25° применяют специальный диффузор, обеспечивающий постоянный градиент давления вдоль оси dp/dx = const и равномерное нарастание давления,  при прямой образующей градиент давления убывает вдоль диффузора, рис.9.6.

Уменьшение потери энергии в таких диффузорах будет тем больше, чем больше угол α, и при углах 40 — 60° доходит до 40 % от потерь в обычных диффузорах. Кроме того, поток в криволинейном диффузоре отличается большей устойчивостью, т. е. в нем меньше тенденций к отрыву потока.

Применяют  также ступенчатый диффузор, состоящий из обычного диффузора с оптимальным углом и следующего за ним внезапного расширения.

9.4. Внезапное сужение трубопровода

При внезапном сужении трубы (рис.9.7) потери энергии связаны с  трением потока при входе в узкую трубу и с потерями на вихреобразование. Поскольку поток не обтекает входной угол, а срывается с него и сужается, поисходит вихреобразование. Кольцевое пространство вокруг суженной части потока заполнено завихренной жидкостью.

Потеря напора определяется по формуле Идельчика, относительно скорости в необходимом для расчета сечении.

Относительно скорости в узком сечении V₁ коэффициент сопротивления равен

                       (9.13)

Относительно скорости в широком сечении V₂

где   ξ_суж - коэффициент сопротивления внезапного сужения зависящий от степени сужения и от сечения к которому приводится коэффициент, n = S₂/S₁ -  степень сужения.

9.5. Потери энергии при выходе из резервуара в трубу.

При выходе из резервуара  в трубу больших размеров и при отсутствии закруглений входного угла,  когда  S₂>>S_{1   ,}отношение  S₂/S₁→0, для выхода из резервуара в трубу получим, используя формулу Идельчика

 коэффициент сопротивления

ξ_в.р.тр. =  0,5.

  Закруглением входного угла (входной кромки) можно значительно уменьшить потерю напора при входе в трубу.

9.6. Потери энергии при постепенном сужении трубы - конфузор.

Постепенное сужение трубы называется конфузором (рис.9.9). Течение жидкости в конфузоре сопровождается увеличением скорости и падением давления. Давление жидкости в начале конфузора выше, чем в конце, поэтому причин к возникновению вихреобразований и срывов потока, как в диффузоре, нет.

В конфузоре имеются только потери на трение,  и поскольку его длина невелика, обычно l/d ≈ 3-4.сопротивление конфузора всегда меньше, чем диффузора и зависит от угла конфузора и его длины, обычные значения коэффициента ζ = 0,06-0,09.  Например, для .

Расчет сопротивления конфузора производится по формуле для определения местных сопротивлений

Следует иметь ввиду, что значение ζ обычно связывается с узким сечением конфузора.

9.7.Поворот трубы

Местное сопротивление при повороте трубы на произвольный угол без закругления  называется  "колено" (рис. 9.10а).  В колене имеют место  значительные потери энергии, так в нем происходят отрыв потока и вихреобразование,  эти потери тем больше, чем больше угол δ. Потерю напора рассчитывают по  формуле

h = ξ_кV²/(2g).

Коэффициенты сопротивления колена круглого сечения определяют экспериментально,   ξ_к возрастает с увеличением угла δ (рис.9.17) и при δ = 90° достигает единицы.

Величина коэффициента сопротивления может быть определена приближенно по формуле

ζк  =Sin²δ

Постепенный поворот трубы (рис.9.10в)  называется отводом. Плавность поворота значительно уменьшает интенсивность  вихреобразования, сопротивление отвода по сравнению с коленом меньше. При  достаточно большом его значении относительного радиуса кривизны отвода R/d , срыв потока устраняется полностью. Коэффициент сопротивления отвода ξ_отв  зависит от  отношения R/d, угла δ, а также от формы поперечного сечения  трубы.

Для отводов круглого сечения при турбулентном режиме течения можно пользоваться эмпирической формулой при R/d>> 1.

Для угла δ= 90°                          ξ'_отв1  = 0,051+0,19*( d/R)                          (9.16),

для углов меньше δ<< 70°        ξ_отв2 = 0,9* ξ’_отв1 *Sinδ_,                          (9.17)

для углов δ >> 100°                   ξ_отв3  = (0,7 + (δ/90)*0,35)*ξ’_отв1             (9.18)

Потеря напора, определенные  по коэффициентам  ξ_отв, учитывают сопротивление, обусловленное кривизной. При расчете трубопроводов, содержащих отводы, следует длины этих отводов  включать в общую длину трубопровода для определения потерь на трение, затем к потере на трение нужно прибавить  потери, определяемые коэффициентом ξ_отв.

Ниже в таблицу сведены коэффициенты местных сопротивлений различной конфигурации.

9.8. Коэффициенты местных сопротивлений.

Таблица 1.