Маджитова Ф.Ш., Маджитов Д.Ф. Краткий справочник и индивидуальные задания по элементарной математике, страница 5

=b 2tgα.2Из  AC1 B1 :AC1 =B1C1 ⋅ ctg β =BC ⋅ ctg β =b ⋅ tgα ⋅ ctg β .Высоту призмы найдем из  ACC1h = CC1 =AC12 − AC 2 =bcosα ⋅ sinβИтак :=b 2tg 2α ctg 2 β − b 2 = bctg β tg 2α − tg 2 β =sin(α + β ) sin(α − β ).b3tgαV=2cosα ⋅ sinβsin(α + β ) sin(α − β ).b3tgαОтвет :2cosα ⋅ sinβsin(α + β ) sin(α − β ).Задача 2. Боковая поверхность конуса равна S , а полная поверхность- P .Найти угол между высотой и образующей.Дано: конус,Sбок . = S ,S полн. = P.α =?Решение: По условию:S=π=Rl Sбок .S полн. = π R 2 + π Rl = P,т.е. имеем систему S = π Rlπ R2.P − S =Деля почленно одно равенство на другое, получим34R P−S=.lSИз OAB sinα=R P−S=, т.е.lSP−S.SP−SОтвет : arcsin.Sα = arcsinЗадача 3. в правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро bобразует с плоскостью основания угол α .

Определить радиус шара,описанного около пирамиды.Дано: SABCD − пирамида, ∠SAC =α,AS= SC= b.Найти:Rопис.шара = ?Решение: Рассмотрим большой круг, проходящий через точки A и C , ACS диагональное сечение пирамиды, а это значит, что радиус окружности,описанной около  ACS , и есть радиус шара. Рассмотрим  ACS :AS2bcosα ,= CS= b, AC= 2 AO=1S b 2 cosα ⋅ sinα .=Отсюда :abcb2b3cosα.==24 S 4b cosα ⋅ sinα 2 sinαbОтвет :.2 sinαR=35Таблица 1.Геометрическая фигура1.

ТреугольникОпределения,обозначенияСвойства исоотношенияa, b,стороныc−;abc= =α , β , γ − углы;sinα sinβ sinγSплощадь−h ;высота;−(теорема синусов);p − полупериметр;a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cosα1(теорема косинусов);p=(a + b + c),2a ⋅ ha 1==Sa ⋅ b ⋅ sinγ ;r − радиус вписанной22окружности;a ⋅b ⋅cS; r;=R =R − радиус описанной4Spокружности.S=p ( p − a )( p − b)( p − c).2.

Равнобедренныйтреугольникa=b3. Прямоугольныйтреугольникγ= 90°α =βВысота, медиана ибиссектриса, пересекающиеоснование, совпадаютa2cR ==; S4a 2 − c 2 .2h4a 2 + b2 =c2(теорема Пифагора )α + β = 90°,a ⋅bS=.2α= β= γ= 60°,4. Равностороннийтреугольникa= b= c36a 3a2 3=h =, S.24a 3 h,=r =63a 3 2h==R 2=r.335. Трапецияaс a; основания;с, −b,боковыеd−стороны;m − средняя линия;h − высота.6. Параллелограммa+c,2a+cS=⋅ h = m ⋅ h.2m==, b d ,=α γ ,=β δ.a c=Диагонали, пересекаясь,делятся пополам.aс b; d ,l ,диагонали;f−a, bстороны;, c, d −,γ ,δ −α , βуглы.a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 2a 2 + 2b 2 == l2 + f 2(сумма квадратов сторонравна суммеквадратов диагоналей).S = a ⋅ b ⋅ sinα = a ⋅ h =1l ⋅ f ⋅ sin ϕ .2a= c, b= d , α= β= γ= δ= 90l = f;=7. Прямоугольникaс b; d ,α= 90°8. Ромбaс b; d ,a=bS = a ⋅b =1 2l ⋅ sin ϕ .2a= b= c= d ,ϕ= 90°,1S=lf= a 2 ⋅ sinα .2a= b= c= d ,α= β= γ= δ= 90°,9.

Квадратaс b; d ,a= b, α= 90°37l f= a 2,=1 22S a=l .=2С = 2π R,10.Круг (окружность)Rрадиус−,С − длина окружности.38S = π R2.Таблица 2.Геометрическое тело1. ПризмаСвойства и соотношенияОснования - равные многоугольникибоковые грани - параллелограммы,боковые ребра параллельны.Sбок =. p ⋅ l ,=S Sбок . + 2 Sосн.,=V Sосн. ⋅ h.2. ПрямоугольныйпараллелепипедВсе грани - прямоугольники.d 2 = a 2 + b2 + c2 ,S= 2(ab + ac + bc),V = a ⋅ b ⋅ c.3.

ПирамидаОснование- многоугольник, боковыеграни - треугольники, имеющиеобщую вершину.=S Sосн. + Sбок . ,=V4. Усеченная пирамида1Sосн. ⋅ h.3Основание S1 и S2 параллельны.S= Sбок . + S1 + S 2 ,V=5. Цилиндрh( S1 + S1 ⋅ S 2 + S 2 ).3Основание - круг, образующаяперпендикулярна к основаниюSбок . = 2π Rh,=S 2π R(h + R),V = π R 2 h.396. КонусОснование- круг, ось перпендикулярна коснованию.S=, lπ Rl=бок .r 2 + h2 ,S π R( R + l ),=1V = π R 2 h.3S=π ( R + r )l ,бок .7. Усеченный конусS= π  r 2 + R 2 + l ( R + r )  ,1=Vπ h(r 2 + R 2 + Rr ).38. Шар (сфера)S = 4π R 2 ,4V = π R3 .340ОСНОВНЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИДля успешного усвоения учебного материала по высшей математикестудент должен уметь:1.

Производить арифметические действия над числами, заданными в видедесятичных и обыкновенных дробей; с требуемой точностью округлятьданные числа и результаты вычислений, производить приближеннуюприкидку результата.2. Проводить тождественные преобразования многочленов, дробей,содержащих переменные, выражений, содержащих степенные,показательные, логарифмические и тригонометрические функции.3. Строить графики линейной, квадратичной, степенной, показательной,логарифмической и тригонометрической функций.4. Решать уравнения и неравенства первой и второй степени, уравнения инеравенства, приводящие к ним; решать системы уравнений инеравенств первой и второй степени и приводящиеся к ним.

Сюда, вчастности, относятся простейшие уравнения и неравенства, содержащиестепенные, показательные, логарифмические и тригонометрическиефункции.5. Решать задачи на составление уравнений и систем уравнений.6. Изображать геометрические фигуры на чертеже и производитьпростейшие построения на плоскости.7. Использоватьгеометрическиепредставленияприрешенииалгебраических задач, а методы алгебры и тригонометрии - прирешении геометрических задач.41Вариант 1.Раздел 2.Варианты индивидуальных заданий.Часть 1. 0,134 + 0, 05 : 0, 0115.1.

Вычислить: 1 11 2 6 18 − 1 − ⋅ 2  6 14 15 7 a 2 − b 2 a 3 − b32. Упростить выражение:−.a − b a 2 − b23. Решить уравнение: (5 x + 1)2 + 6(5 x + 1) − 7 =0.4. Известно, что 2cosгдеα=0− 3, . < α < π Найти cos 2α .5. Решить неравенство: log 22 x + log 2 x − 2 ≤ 0.6. В шар радиуса R вписан конус, боковая поверхность которого в k разбольше площади основания. Найти объем конуса.Вариант 2.33152 − 148  ⋅ 0,381.

Вычислить:  4− 6,5625.0, 211 ⋅ ( ab − 1) .2. Упростить выражение:+11−− b +a 2  b −a 2 1x+ y =4, 753. Решить систему уравнений:  2.0,=2 y 0, 2 x + 14. Доказать тождество: 1 − 4sin 2α ⋅ cos 2α =cos 2 2α .125. Решить уравнение: 32 x +3 − 4 ⋅ 3x +1 − log610.=66. В конус, образующая которого наклонена к плоскости основания подуглом α , вписан шар объемом V . Найти объем и площадь боковойповерхности конуса.Вариант 3.515172 − 170 + 363 12 .1.

Вычислить:0,8 ⋅ 0, 252. Упростить выражение:a 2 − 4b 2 − a − 2b− 2b.a − 2b − 13. Найти число А, если оно составляет 40% от числа 65.4. Решить уравнение: tgx + 2ctgx =3.5. Решить неравенство: log5 ( x 2 − 2 x − 3) < 0.426. Осевым сечением конуса является треугольник, угол при вершинекоторого равен α . Радиус окружности, описанной около этоготреугольника, равен R . Найти объем конуса.Вариант 4.1.

Вычислить:93 1− 208 +164 2.0, 0001: 0, 0052154 ab (a 2 + b 2 )− 2ab.( a + b )2 − ( a − b )25x −1Решить неравенство:> 3 − 2,5 x.2sin(α − β ) + 2cosα ⋅ sinβУпростить выражение:.2cosα ⋅ cos β − cos (α − β )Решить уравнение: lg ( x3 + 1) − 0,5lg ( x 2 + 2 x + 1) =lg 3.Радиус основания конуса равен R , а образующая наклонена к2. Упростить выражение:3.4.5.6.плоскости основания под углом α . В этом конусе проведена плоскостьчерез его вершину под углом ϕ к его высоте. Найти площадьполученного сечения.Вариант 5. 0, 0121.

Вычислить: + 50, 04104 1⋅ 4560 − 42 .5, 4 3xy( x − y)2−.x2 + y 2x4 − y 43. Построить график функции: =y 2 x + 3.2. Упростить выражение:234. В прямоугольном треугольнике с острыми углами α и β , cosα = ,гипотенуза равна 9 см. Найти катеты и tg β , ctg β .5. Решить неравенство: 52 x +1 > 5x + 4.6. Через две образующие конуса, угол между которыми равен α ,проведена плоскость, составляющая с основанием угол β . Найти объемконуса, если его высота равна h .Вариант 6.5 2 7 85 − 83  : 218  31. Вычислить:  30.0, 042.

Упростить выражение: ( a −3 − b −3 ) a 3b3 + 3ab(a − b)  ⋅ (b − a)−1.3. Решить уравнение: ( x − 9)2 − 8( x − 9) + 7 =0.4. Доказать тождество:1 + sin 2α 1 + tgα=.cos 2α1 − tgα4330( x − y ) xy =.120( x + y ) xy =5. Решить систему уравнений: 6. В конус вписан полушар. Большой круг полушара лежит в плоскостиоснования конуса, а шаровая поверхность касается поверхностиконуса. Найти объем полушара, если образующая конуса равна l исоставляет с плоскостью основания угол, равный α .Вариант 7.751140 − 138  :1812 6Вычислить:  30.0, 00213ab Упростить выражение: − 3 3  ⋅ (a 2 + ab + b 2 ). a −b a −b Какой процент составляет число 7 от числа 25?23В прямоугольном треугольнике с острыми углами α и β , sinα = .

Катет,лежащий против угла α , равен 7 см. Найти гипотенузу иsinβ , cos β , tg β , ctg β .Решить неравенство: log 2log 1 log 2 x > 0.3Образующая конуса равна l и составляет с основанием угол α . Найтиобъем описанной около конуса пирамиды, имеющей своим основаниемромб, острый угол которого равен β .Вариант 8.75 1 95 − 93  ⋅ 2 + 0,37318  41.