Маджитова Ф.Ш., Маджитов Д.Ф. Краткий справочник и индивидуальные задания по элементарной математике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИФ.Ш. Маджитова, Д.Ф. МаджитовКраткий справочник и индивидуальные заданияпо элементарной математикеУчебное пособиеМосква, 20111УДК 517Рекомендовано к изданию в качестве учебного пособияредакционно-издательским советом МГУПИРецензент:Головешкин В.А.профессор, д.т.н.Маджитова Ф.Ш., Маджитов Д.Ф.Краткий справочник и индивидуальные задания по элементарнойматематике. Учеб.

пособие. М.: МГУПИ, 2011. 72 с.Настоящее пособие содержит краткий справочный материал поэлементарной математике, примеры и задачи с решениями, а также вариантыиндивидуальных заданий для закрепления практических навыков.Пособие может быть использовано для самостоятельного повторенияшкольного курса математики студентами и поступающими в МГУПИ.Данные методические указания адресованы тем, кто поступил в МГУПИ, иставят целью помочь своему читателю самостоятельно повторить школьныйкурс математики.© МГУПИ, 20112Авторы данного пособия не ставили перед собой задачу охватамаксимальновозможногоколичестваразделовэлементарнойматематики. Задача более простая - осветить и дать краткиепояснения только к тем разделам, в которых студенты снедостаточной математической подготовкой испытывают наибольшиетрудности при изучении высшей математики.С этой целью в первом разделе методических указаний приводитсясправочный материал и пояснения к ряду примеров и задач изсоответствующих разделов элементарной математики.

Во второмразделе приведены варианты индивидуальных заданий для закрепленияпрактических навыков.3ОглавлениеПредисловие……………………………………………………………………….3Раздел 1. Сведения из элементарной математики………………………………41. Арифметика………………………………………………………………...42. Алгебраические преобразования………………………………………….63. Алгебраические уравнения………………………………………………..84. Показательные и логарифмические уравнения…………………………105.

Система уравнений……………………………………………………….126. Неравенства……………………………………………………………….147. Графики функций…………………………………………………………188. Преобразование тригонометрических выражений……………………..239. Тригонометрические уравнения…………………………………………3110.Решение прямоугольных треугольников………………………………..3411.Геометрия………………………………………………………………….35Раздел 2. Варианты индивидуальных заданий………………………………...44Часть 1……………………………………………………………………………44Часть 2……………………………………………………………………………744Раздел 1.

СВЕДЕНИЯ ИЗ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ1. АрифметикаАрифметика - это наука о числах. В арифметике изучаются простейшиесвойства чисел и правила вычислений.Среди чисел выделяются следующие:1. Натуральные числа. Их множество обозначается N = {1, 2,3,...} .2. Целые числа Z= {..., −3, −2, −1, 0,1, 2,3,...} .m3. Рациональные числа=Q  , m, n ∈ Z } .n4. Иррациональные числа- это числа, которые не могут бытьm, т.е.

не являютсяnрациональными. Примерами таких чисел являются 2,число π.представлены в виде несократимой дробиВ своей совокупности все эти числа называются действительнымичислами. Их множество обозначается R . Имеет место следующиевключения: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.К арифметическим действиям относятся: сложение, вычитание,умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня.

Есливыполняются несколько действий, то результат, вообще говоря, зависит отпорядка действий.Пример 1. Вычислить: 3 + 5 × 2.Выполняя указанные действия двумя способами:1)3 + 5 ⋅ 2 = (3 + 5)и ⋅ 2 = 8 ⋅ 2 = 162)3 + 5 ⋅ 2 = 3 + (5 ⋅ 2)получаем= 3 + 10 =различные13,результаты.Для получения правильного результата установлен следующий порядокдействий:1) возведение в степень и извлечение корня (в порядке их следования);2) умножение и деление (в порядке их следования);3) сложение и вычитание (в порядке их следования).При наличии скобок сначала выполняются действия в скобках вуказанном порядке, а затем все остальные действия вне скобок опять же ссоблюдением указанного выше порядка.Пример 2.

Вычислить:55 + 15 : 3 − 2 ⋅ (10 − 2 ⋅ 3 + 4) + 3 ⋅ (1 + 4).1)10 − 2 ⋅ 3 + 4 = 10 − 6 + 4 = 8;2)1 + 4 =5;3)2 ⋅ (10 − 2 ⋅ 3 + 4) =16;4)3 ⋅ (1 + 4) =15;5)15 : 3 = 5;6)5 + 15 : 3 − 2(10 − 2 ⋅ 3 + 4) + 3 ⋅ (1 + 4) = 5 + 5 − 16 + 15 = 9.Ответ : {9} .Пример 3. Вычислить:0,125 : 0, 25 + 1,5625 : 2,5+ (0,85 + 1,9) ⋅ 0,5.(10 − 22 : 2,3) ⋅ 0, 46 + 1, 61)0,125 : 0, 25 + 1,5625 : 2,5 =0,5 + 0, 625 =1,125;220 46230 − 220 4610 ⋅ 462)(10 − 22 : 2,3) ⋅ 0, 46 + 1, 6 = (10 −)⋅+ 1, 6 =⋅+ 1, 6 =+ 1, 6 =23 1002310023 ⋅1000, 2 + 1, 6 =1,8;3)(0,85 + 1,9) ⋅ 0,5 = 2, 75 ⋅ 0,5 = 1,375;1,1254)+ 1,375 = 0, 625 + 1,375 = 2.1,8Ответ : {2} .При выполнении различных арифметических действий необходимопомнить действия с дробями, со степенями, пропорции, проценты.Представим этот справочный материал в виде опорных блоков.ab+=cca+ba; −=cba⋅c ac×=;b⋅c bda=b−a=baac±=;−b bda⋅c a c=;:b⋅d b dad ± cb;bda⋅d  a ; =b⋅c  b nan.bnПропорцияПроцент − одна сотая часть числаa=bA − 100% A 100⇒ x=⇒ =B − x% BxcdB ⋅100%Aad = bca=bc; b=dadcA − 100% A 100Ap⇒ x=.⇒ =x − p% xp1001an = a⋅ a⋅ ...⋅ a , n ∈ N ; a1 = a; a 0 = 1; a − n = n ;an разa m ⋅ a n = a m + n ; a m : a n = a m − n ; ( ab) n = a n ⋅ b n ; ( a m ) n = a mn .6n−aарифметическийкорень na ≥ 0,n− степениойa ≥ 0, n ∈ N , n > 1;−aарифметическийквадратный корень( n a )n =a;m k=ana ⋅b =na ⋅ n b;na=bnn,a2=aa;bm=a; a nmknam .Пример 4.

Вычислить:21  1  −113− 11 26+ 4  :   ⋅  .5 42   1 3      1 − 2 21125111112 1−−−−2 +−−−−2−226633333331)22 + 2 =⋅2 2 =2 =2 ;+4 = 5 +2 =+2 =5−33121 −  2−1152 5−115−2− 1   1 32332)   ⋅   =2 ⋅ 2 =2 =2 3 ;4 22−1333)2 3 : 2=2 3=2=1.21 Ответ :   .22. Алгебраические преобразованияАлгебраические преобразования связаны с выполнением арифметическихдействий над выражениями, содержащими числа и буквенные величины.Для упрощения алгебраических выражений и доказательстваалгебраических тождеств необходимы знания по действиям с дробнымивыражениями, с целыми и дробными показателями степеней и умелогоиспользования формул сокращенного умножения:a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)a 3 − b3 = (a − b) ⋅ (a 2 + ab + b 2 )(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2a 3 + b3 = (a + b) ⋅ (a 2 − ab + b 2 )(a − b) 2 =a 2 − 2ab + b 2(a + b )3 =a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3(a − b)3 =a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b37Пример 5.

Упростить алгебраическое выражение:x 4x x−+ 6 x.: 43 x − 2 x + 2  x − 2 x + 8 x − 161)xxx( x + 2) − x( x − 2) x 2 + 2 x − x 2 + 2 x4x=−== 2;x−2 x+2x −4( x − 2)( x + 2)( x − 2)( x + 2)2) x 4 − 2 x3 + 8 x − 16 = x3 ( x − 2) + 8( x − 2) = ( x − 2)( x3 + 8) = ( x − 2)( x + 2)( x 2 + 2 x + 4) == ( x 2 − 4)( x 2 − 2 x + 4);3)4x4x4 x( x 2 − 4)( x 2 − 2 x + 4)+=+ 6 x = x2 − 2 x + 4 + 6 x =:x6x 2 − 4 ( x 2 − 4)( x 2 − 2 x + 4)( x 2 − 4)4 x= x 2 + 4 x + 4 = ( x + 2) 2 .Ответ : ( x + 2) 2 .Пример 6. Упростить выражение:3(1 − xy )( 3 xy − 1)  1 + xy  :  xy 1 − 3 xy −1 −  − xy.1 + xy 1 + 3 xy   ()1 + xy 1 + 3 xy − 1 − xy=1)1 − =1 + 3 xy1 + 3 xy=33xy (1 − ( 3 xy ) 2 )=1 + 3 xy3xy (1 − 3 xy )(1 + 3 xy )=1 + 3 xyxy (1 − 3 xy );2) xy (1 − 3 xy ) −(1 − xy )( 3 xy − 1)1 + 3 xyxy + xy + 1 − xy1 − xy (1 − 3 xy )  xy +=(1 − 3 xy )==1 + xy 1 + xy= 1 − 3 xy ;( ()())3xy  3 xy  −=xy 0.3)  3 xy 1 − 3 xy : 1 − 3 xy  −=Ответ : {0} .33.

Алгебраические уравненияВыражения вида:(3.1)ϕ ( x) = ψ ( x),где ϕ ( xи) ψ( )x - некоторые функции, называется уравнением с однимнеизвестным. Если положить, что f=( x) ϕ ( x) −ψ ( x), то уравнение (3.1) можнопредставить в виде: f ( x) = 0(3.2)Решить уравнение - значит найти все числовые значения неизвестной x ,которые обращают данное уравнение в тождество. Эти значения называютсякорнями уравнения. Если число a , является корнем уравнения (3.1) или(3.2), тоϕ (a) ≡илиψ (a),( ) 0.

f a ≡Два уравнения называются равносильными, если они имеют одно и то жемножество решений. Уравнения (3.1) и (3.2) называются алгебраическими,если функции ϕ ( x),ψ ( x), f ( x) являются многочленами.8Еслиf ( x=) ax + b ,тоуравнениеax + b =0называетсялинейнымbaуравнением. Его решение x = − .Если f ( x) = ax 2 + bx + c , то уравнениеax 2 + bx + c =0,где a, b, c - некоторые числа, причем a ≠ 0 , называется квадратным.Корни квадратного уравнения (3.3), если дискриминантD =b 2 − 4ac ≥ 0 , определяются формулойx1,2 =(3.3)−b ± b 2 − 4ac.2aКвадратное уравнение вида:x 2 + px + q =0,где p и q - некоторые числа, называется приведенным квадратнымуравнением, его корни определяются формулойx1,2 =−p±2Справедлива теорема Виета:(3.4)p2− q.4bcax 2 + bx + c =0 ⇒ x1 + x2 =− ; x1 ⋅ x2 = ;aa2x + px + q =0 ⇒ x1 + x2 =− p; x1 ⋅ x2 =q.Зная корни x1 и x2 квадратных уравнений (3.3) и (3.4), многочлены 2-ойстепени можно разложить на следующие линейные множители:ax 2 + bx + c= a ( x − x1 )( x − x2 );x 2 + px + q = ( x − x1 )( x − x2 ).Пример 7.