Маджитова Ф.Ш., Маджитов Д.Ф. Краткий справочник и индивидуальные задания по элементарной математике, страница 4

При этомперед приводимой функцией ставится тот знак, который имеет эта функция всоответствующей четверти, если считать угол α острым.Значения тригонометрических функций некоторых углов.π π π πТакие углы, как 0, , , , , π ,6 4 3 23π, 2π будут часто встречаться. Значения2тригонометрических функций этих углов приведены в таблице ирекомендуется их запомнить.27Угол αФункцииsinαcosαtgαctgαπ3π22π10-100-1013несущ.0несущ.0330несущ.0несущ.ππππ6432012221322232120331несущ.310Значениятригонометрическихфункций острых углов легко находятсяиз прямоугольных треугольников.Покажем это на примере.Рис.

15Найдем sin 30°, cos 30°, tg 30° . Для этого рассмотрим прямоугольныйтреугольник АВС (рис.15).Известно, что катет, лежащий против угла в 30° , равен половинесгипотенузы, т.е. если АВ=с, то ВС= . По теореме Пифагора:2ссс 3BC 2 12ACс=−=. Тогда sin30°= sinA=;= =42ABс2с 3AC3sin30°32=cos30=° cosA= =; =tg 30°=.2ABсcos30° 32Запомнить значения тригонометрических функций острого угла проще так:значения синусов 0°,30°, 45°, 60°,90° , т.е. первую строчку приведенной вышетаблицы можно представить в виде следующей последовательности:0 1 2 3 4, ,,,, все члены которой - дроби, имеющие один и тот же2 2 2 2 2знаменатель, равный 2, а числителями являются корни квадратные из0,1,2,3,4. Значения косинусов этих углов представляются так же в видепоследовательности тех же чисел, только расположенных в обратномпорядке:4 3 2 1 0,,, ,.2 2 2 2 2Для нахождения значений тангенсов этих углов нужно воспользоватьсяформулами (8.1) и (8.2).Рассмотрим примеры.28Пример 19.

Упростить выражение:3π− 2α )2A=.3πcos (2α + β ) + cos (2α − β ) − sin( + 2α )2sin(2α + β ) + sin(2α − β ) − cos (Решение. Первые два слагаемых в числителе и знаменателе объединим ивоспользуемся формулами (8.3) и (8.4), а третьи слагаемые преобразуем поформулам приведения:3π− 2α )2 sin 2α cos β + sin 2α2==A3π2[cos(2α + β ) + cos(2α − β )] − sin( + 2α ) cos 2α cosβ + cos 2α2sin 2α (2cos β + 1)= = tg 2α .cos 2α (2cos β + 1)Ответ : tg 2α .[ sin(2α + β ) + sin(2α − β )] − cos(Пример 20. Доказать тождество:sin 6α + cos 6α + 3sin 2α ⋅ cos 2α =1.6Решение: Сначала преобразуем sin α + cos 6α , представляяα )3 и используя формулы сокращенного=sin 6α и (cos=sin 2α )3 cos 6α (2умножения, и получим:sin 6α + cos 6α = ( sin 2α )3 + (cos 2α )3 = ( sin 2α + cos 2α )( sin 4α − sin 2α cos 2α + cos 4α ).А теперь подставим полученное выражение в левую часть тождества,учитывая, что sin 2α + cos 2α =1.

Тогдаsin 6α + cos 6α + 3sin 2α cos 2α =sin 4α − sin 2α cos 2α + cos 4α + 3sin 2α cos 2α =sin 4α + 2 sin 2α cos 2α + cos 4α = ( sin 2α + cos 2α ) 2 = 1.Итак, тождество доказано.Пример 21. Вычислить: sin2α ;иcos 22иα , еслиtg α0,=sin6α 090<.α <°πРешение: Найдем сначала cosα ,учитывая, что α ∈(0; ) :2+ 1 − sin α =1 − 0,36 =cosα =0,8.2А теперь вычислим искомые значенияsin 2α =2 sinα ⋅ cosα =2 ⋅ 0, 6 ⋅ 0,8 =0,96;cos 2α = cos 2α − sin 2α = (0,8) 2 − (0, 6) 2 = 0, 28;sin 2α 0,96 243α== = 3 .tg 2=7cos 2α 0, 28 7Обратные тригонометрические функцииАрксинусом x (обозначается Arcsin x ) называется множество углов (дуг),синус которых равен x . Главным значением этого множества называетсяугол (дуга) от −π2доπ2ππ22обозначается arcsin x , т.е.

− ≤ arcsin x ≤ .29Имеет место следующая формула: Arcsin x =(−1) k arcsin x + π k , k ∈ Z . Аналогичноопределяются функции:а) y = arcсos x , причем 0 ≤ arcсos x ≤ π и имеет местоформула Аrcсos x =± arcсos x + 2π k , k ∈ Z ;πб) y = arcсtg x , причем − ≤ arc tgx ≤πи Аrctg x= arctg x + π k , k ∈ Z ;22x arcctg x + π k , k ∈ Z .≤ π и Аrcсtg =в) y= arcсtg x , 0arcсtgx≤9.

Тригонометрические уравненияТригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащеенеизвестную величину только под знаком тригонометрических функций.Простейшие тригонометрические уравнения - это уравненияsinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a, где а- любое действительное число.Рассмотрим их решения.1.Уравнение вида sinx=a.Если а ≤ 1 , то решения уравнения определяются формулойx=(−1) n arcsinaгде n +Zπ n,∈ ,если a > 1, то уравнение действительных решений не имеет.В частности,a 0,==еслито x π k ;если a= 1, то x=π2+ 2π k ;π−1, то x =− + 2π k , k ∈ Z .если a =22.

Уравнение cosx=a.Если а ≤ 1 , то x =± arccos a + 2π n, n ∈ Z ,при |a|>1 уравнение действительных решений не имеет.В частности,πесли a =0, то x = + (2k + 1);2=еслиa 1,=то x 2π k ;π (2k + 1), k ∈ Z .−1, то x =если a =3. Уравнение tgx=a имеет решение при любом действительном значенииа, которые определяются формулойx=arctgaгдеk k,Z+π∈ .4. Уравнение ctgx=a также имеет решения при всех действительныхзначениях а и x =arcсtga +kπ где, k Z∈ .Единого метода, следуя которому удалось бы решить любоетригонометрическое уравнение, не существует.

Но общая цель состоит впреобразовании входящих в уравнение тригонометрических выраженийтаким образом, чтобы рассматриваемое уравнение привелось к простейшемуили распалось на несколько простейших.30В каждом конкретном примере нужно искать свой способ преобразованиярассматриваемого уравнения.

Иногда приходится перебирать разныепреобразования, прежде чем удастся найти путь, ведущий к цели, и здесьуспех зависит от умения грамотно проводить тригонометрическиепреобразования, что дается только практикой.Многие тригонометрические уравнения допускают несколько способоврешения и при этом форма записи корней зависит от выбранного путирешения. Желательно, конечно, выбирать наиболее простой и короткий путьрешения уравнения.В процессе преобразований уравнений надо следить за ихэквивалентностью, чтобы не допустить потери корней (например, присокращении левой и правой частей уравнения на общий множитель) илиприобретения лишних корней (например, при возведении обеих частейуравнения в квадрат). Нужно выяснять, принадлежат ли получающиесякорни ОДЗ рассматриваемого уравнения, а также делать проверку в техслучаях, когда допускались неэквивалентные преобразования.Пример 22.

Решить уравнение:(1 + cos 4 x) sin 2 x =cos 2 2 x.Решение. Учитывая, что1 + cosи 4выносяx=2cos 2 2 x 2за скобку,cos 2получимxуравнениеcos 2 2 x(2 sin 2 x − 1) =0,которое распадается на два простейших уравнения=cos 2 xи 0=2 sin. xОтсюдаπx = +πk2или2и 2x =(−1) nОтвет :π4(2π612π1), x =4+πnk+или(2k + 1); (−1) nπ12k ∈Zx=(−1) n+πn6π12+πn2, n ∈ Z., k, n ∈ Z.Пример 23. Решить уравнение:cos 2 x + 3sin 2 x + 2 3sinx ⋅ cosx =1.Решение.

Заменим единицу на sin 2 x + cos 2 x и, разделив обе части уравненияна cos 2 x (потери корней не будет, т.к. если cosx = 0,то sinx = ±1, а эти значенияне удовлетворяют уравнению), получим:tg 2 x + 3tgx =0.Откудаtgx 0иtgx 3==x πnили=Ответ : π n;xи =π3π3(3k − 1).(3k − 1), n, k ∈ Z .31Пример 24. Решить уравнение:2 sin x + 4 ⋅ 2cos x =6.2Решение. Заменим cos x на 1 − sin 2 x и перепишем уравнение в виде:212 sin x + 4 ⋅ 2 ⋅ sin2 x =6.22Обозначим 2sin x = t > 0 и получим квадратное уравнение1t + 8⋅ =6tили t 2 − 6t + 8 =0,корни которого равны=tиt4=2. Отсюда sin 2 x = 2 (не годен, т.к.

sin x ≤ 1 )1222и sin 2 x = 1.Решая последнее уравнение, т.е. sinx = ±1 , получимπx =+ π k , k ∈ Z .2Ответ :π2+ π k, k ∈ Z.10. Решение прямоугольных треугольниковРешить треугольник - это значит по заданным величинам трех основныхэлементов треугольника, из которых хотя бы один является стороной,вычислить величину трех остальных его основных элементов. Сторонытреугольника и его углы называются основными элементами. Если А,В,Свершины углов треугольника, то этими же буквами принято обозначать исами углы (и их величины), маленькими буквами а,b,с- обозначают стороны(и их величины).Пусть АВС - прямоугольный треугольник, С - прямой угол, а и b- катеты,противолежащие острым углам А и В, с гипотенуза (рис.17).

Тогда:ab=, sinB,ccba=cosA =, cosB,ccab=tgA =, tgB,babactgA ==, ctgB.ab=sinA(10.1)(10.2)(10.3)(10.4)Рис.16Могут представиться следующие четыре случая.1. Даны гипотенуза и один из острых углов, вычислить прочие элементы.Решение. Пусть даны с и А. Угол B=πпо формулам (10.1), (10.2).a= c ⋅ sinA,b= c ⋅ cosA.322− A тоже известен. Катеты находим2. Даны катет и один из острых углов, вычислить остальные элементы.Решение. Пусть даны а и А. Угол B=asinAнайдем=b a=tgB, c или) , ( =.

bπ2− A . Из формул (10.3), (10.1)atgA3. Даны катет и гипотенуза, найти остальные элементы.Решение. Пусть даны а и с (причем а<c). Угол найдем по формуле (10.1)aa=или A arcsin ;cc=sinAзатем B=π2− A , b= c ⋅ cosA (или b= c ⋅ sinB ).4. Даны катеты, найти прочие элементы.Решение. Из формулы (10.3) найдем угол А:=tgAaa=или A arctg ,bbа затем угол B==cπ2− A . Гипотенузу определим по теореме Пифагораa 2 + b2 .11. ГеометрияОбъем теоретического материала не позволяет нам привести здесь болееили менее должного его изложения. Поэтому основной справочный материалмы расположим в следующих двух таблицах и ограничимся решением трехзадач.Задача 1. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольникABC , у которого ∠C= 90°, ∠A= α и катет AC = b .

Диагональ боковой гранипризмы, проходящей через гипотенузу AB , образует с боковой гранью,проходящей через катет AC , угол β . Найти объем призмы.Дано: ABCC1 A1 B1 − прямая призма.β.∠C= 90°, ∠A= α , AC = b , ∠C1 AB1 =Найти: V призмы.Решение: Искомый объем найдем по формуле =V Sосн ⋅ h.Известно, что Sосн =b ⋅ BC, BC определим из  ABC :233BC= b ⋅ tgα .Отсюда Socн.