Маджитова Ф.Ш., Маджитов Д.Ф. Краткий справочник и индивидуальные задания по элементарной математике, страница 3

Так как33 log 2 43 2=⋅=−2,log 1 4 = ⋅3−222 −32 22log 2 22то получаем эквивалентное неравенствоlog3 x − log32 x ≤ −2.Решаем это неравенство как квадратное относительно нового неизвестногоy = log3 x, т.е.y2 − y − 2 ≥ 0y1 =−1, y2 =2В результате получаем, что логарифмическое неравенство эквивалентно двумпростейшим неравенствам:1−1 y ≤ −1 log3 x ≤ −1  x ≤ 3x ≤⇒⇒⇒32y ≥ 2log3 x ≥ 2 x ≥ 3 x ≥ 9.Принимая во внимание, что x > 0, получаем17 1Ответ :  0;  ∪ [9; ∞ ) . 37.

Графики функцийОграничимсялишьграфикамитригонометрических функций.линейных,квадратичныхиЛинейная функцияФункция вида =y ax + b, где x − независимая переменная; a и b −действительные числа, называется линейной функцией.Графиком линейной функции является прямая, проходящая через точкуоси ординат ( 0;b ) и наклоненная к оси абсцисс под углом ϕ таким, чтоtgϕ = a. Здесь a называется угловым коэффициентом, b − начальнойординатой прямой.Для построения прямой =y ax + b достаточно найти две ее точки, задаваяпроизвольные значения x (или y) и определив соответствующие значенияy (или x) из уравнения прямой, и провести прямую через эти точки, так какпрямая вполне определяется двумя своимиточками.Пример 18.

Построить график функции=y 2 x − 3.Решение. Найдем ее точки пересечения скоординатными осями:при x = 0y = −3,3=при y 0=x.23Через полученные точки A(0; −3) и B( ;0)2проводим прямую (рис.1).Рис.1Преобразование графиков функцийГрафики функций часто могут быть построены путем некоторыхпреобразований уже известных графиков других функций. Так, если известенграфик функции y = f ( x), то можно построить графики функций вида:18=y f ( x) + a;=y f ( x + a );y = f (ax);y= a ⋅ f ( x),где a − некоторое число.а) Чтобы построить график функции=y f ( x) + a, достаточно перенестипараллельно график функции y = f ( x) в направлении оси OY на расстояниеa в положительном направлении, если a > 0, и в отрицательномнаправлении, если a < 0 (рис.2).Рис.2б) Чтобы построить график функции =y f ( x + a ), достаточно графикфункции y = f ( x) перенести параллельно в направлении оси OX нарасстояние a в положительном направлении, если a < 0 , и в отрицательномнаправлении, если a > 0 (рис.3).Рис.319в) Чтобы построить график функции y = f (ax) достаточно график функцииy = f ( x) равномерно сжать к оси OY в a раз (если a > 1, то имеет место"сжатие", а если a < 1, то имеет место "растяжение").

Это означает, чтоабсциссы всех точек нужно уменьшить в a раз, если a > 1, или увеличить в aраз, если a < 1, а ординаты оставить без изменения. Если же a < 0 , то куказанным преобразованиям еще прибавится преобразование симметрииотносительно оси OY (рис.4).Рис.4г) Чтобы построить график функцииy= a ⋅ f ( x) , достаточно графикфункции y = f ( x) "растянуть" от оси OX в a раз (если a > 1, то будет"растяжение", а если 0 < a < 1, то будет "сжатие").

Это означает, что ординатывсех точек нужно умножить на число a , а абсциссы оставить прежними. Еслиже a < 0 , то к этим преобразованиям прибавится еще преобразованиесимметрии относительно оси OX (рис.5).Рис.5Покажем в качестве примера, как с помощью таких преобразований можнопостроить график функции y =−3sin(2 x − 4) (рис.6).Сначала построим одну волну синусоиды=y sinx, 0 ≤ x ≤ 2π .20Отметим несколько точек на синусоиде и уменьшим их абсциссы в двараза, не изменяя ординат. Таким образом, в результате "сжатия" графикафункции y = sinx к оси OY , получим график функции y = sin2 x .Затем, увеличивая ординаты точек графика функции y = sin2 x в три раза именяя их знаки на противоположные, не изменяя абсцисс, получим графикфункции y = −3sin2 x.

Этот график явился результатом "растяжения" графикафункции y = sin2 x от оси OX в три раза с последующим зеркальнымотражением от оси OX .И, наконец, перенося график функции y = −3sin2 x на две единицы вправо,получим график функцииy=−3sin 2( x − 2) =−3sin(2 x − 4).Рис.6Квадратичная функцияФункция вида y = ax 2 + bx + c, где a, b, c − действительные числа и a ≠ 0,называется квадратичной или квадратным трехчленом.Напомним, что график функции y = x 2 называется параболой; осьсимметрии - ось параболы; точка пересечения параболы со своей осьювершиной.Построим график квадратного трехчлена.

Для этого сначала представимквадратный трехчлен в виде:y= ax 2 + bx + c= a ( x 2 +bbb2b2 x) + c= a ( x 2 + 2 ⋅x + 2 ) − 2  + c=a2a4a4a b 2 b 2 − 4ac) −,2a4aт.е. y = a ( x + α ) 2 + β ,=a ( x +bb 2 − 4acгде α =, β= −.2a4a21(Эти преобразования известны, как "выделение полного квадрата".Выражение α и β запоминать не следует, удобнее каждый раз "выделятьточный квадрат " непосредственно).Теперь видно, что графиком квадратного трехчлена будет парабола,которую можно получать, преобразуя график функции y = x 2 .

Рассмотримпример.Построить график квадратной функции y = 2 x 2 + 4 x − 6.Решение. Преобразуем квадратный трехчлен:y = 2 x 2 + 4 x − 6. = 2( x 2 + 2 x + 1) − 8 = 2( x + 1) 2 − 8.Вершиной параболы будет точка (−1; −8), осью - прямая x = −1.Найдем точки пересечения параболы с осями координат:при x = 0 имеем y = −6,при y =0 , x1 =−3, x2 =1.Строим график (рис.7)Рис.78. Преобразование тригонометрических выраженийОбилие формул очень затрудняет изучение тригонометрии. Однако любуюиз тригонометрических формул легко получить, если твердо знатьопределения и основные свойства тригонометрических функций.

Поэтомукруг формул, находящихся в активной памяти, должен быть достаточноширок.Из теории считаем необходимым напомнить следующие разделы.Тригонометрические функцииВведем систему координат таким образом, чтобы начало координатсовпадало с вершиной произвольного угла α , а положительная полуосьабсцисс- с первымиз образующих угол лучей. На втором луче этого углавозьмем вектор OB произвольной длины r , координаты его обозначим черезx и y (рис.8).22Рис.8Тригонометрические функции угла α определяются следующим образом:Синусом угла α (обозначается sin α ) называется отношение ординатыконца вектора, образующего с осью OX угол α , к длине этого вектора, т.е.sin α =y.rКосинусом угла α (обозначается cosα ) называется отношение абсциссыконца вектора, образующегося с осью OX угол α , к длине этого вектора, т.е.xcosα = .rТангенсом угла α (обозначается tgα ) называется отношение ординаты концавектора, образующего с осью OX угол α , к абсциссе конца этого вектора, т.е.ytgα = .xКотангенсом угла α (обозначается ctgα ) называется величина, обратнаятангенсу угла α , т.е.1x=.tgα yТак как в этих определениях r ≠ 0, то sinα и cosα определены при всехctg=αзначениях α , причемsinα ≤ 1иcosα ≤1.

Функцияx ≠ 0,т.е. α ≠π2ytgα =имеет смысл приx+ π k, k ∈ Z. Функцияctgα имеет смысл, еслиy ≠0, т.е. α ≠ π k, k ∈ ZИногда употребляются функцииsecα=1π,иα ≠ + π kcosα21cosec, =.α ≠ π k k ∈ Zα ,sinαТригонометрические функции острых углов можно определить какотношения длин сторон прямоугольного треугольника (рис.9):23aпротиволежащий катет=;cгипотенузаbприлежащий катетcosα= =;cгипотенузаaпротиволежащий катетtgα= =;bприлежащий катетbприлежащий катетctgα= =.aпротиволежащий катетsinα=Рис.9Так какзначения тригонометрических функций не зависят от длинывектора OB , то для простоты ее можно взять равной единице, т.е. положитьr = 1. Все радиусы - векторы единичной длины лежат в круге с центром вначале координат и радиусом, равным единице.

Этот круг называюттригонометрическим (окружность - единичной) и им очень удобнопользоваться при изучении тригонометрических функций.Так sinα=y, cosα=x,т.е синус угла равенординате, а косинус- абсциссе конца подвижногорадиуса- вектора OB единичной окружности, образующего угол α сположительной полуосью абсцисс (рис.10,11).Рис.10Рис.1124Касательная, проведенная перпендикулярно горизонтальному диаметруединичной окружности, называется осью тангенсов.Тангенс угла α равен ординате точки М оси тангенсов, в которой она пересекается с прямой, совпадающей с подвижным радиусом –вектором OB ,образующим с положительной полуосью абсцисс угол α (рис.12).Осью котангенсов называется ось, касающаяся единичной окружности вточке пересечения с положительной полуосью ординат и направленнаяодинаково с осью абсцисс.Котангенс угла α равен абсциссе точки оси котангенсов, в которой онапересекается с прямой, совпадающей с подвижным радиусом- вектором ОВ ,образующим с положительной полуосью абсцисс угол α (рис.13).Рис.12Рис.13Знаки тригонометрических функций (рис.14)Рис.1425Периодичность.

Функции sinα и cosα имеют период 2π , а функцииtgα и ctgα - период π , т.е.sin(α + 2π n) =sina,cos (α + 2π n) =cosa,tgα (α + π n) =tgα ,ctgα (α + π n) =ctgα .Функции sinα , tgα , ctgα − нечетные, cosα − четная, т.е.sin(−α ) =− sina;cos (−α ) =cosa;tg (−α ) =−tgα ;ctg (−α ) =−ctgα .Соотношения между тригонометрическими функциями одного и тогоже аргумента:sin 2α + cos 2α =1;πsinα αtg=,  α ≠ (2k + 1)  ;cosα 2=ctgαcosα, (α ≠ π k );sinαtgα ⋅ ctgα =1, (α ≠π2(8.1)(8.2)k );1π, (α ≠ (2k + 1));2cos α211 + ctg 2=, (α ≠ π k ).αsin 2α21 + tg=αТеоремы сложение:sin(α + β )= sinα ⋅ cos β + sinβ ⋅ cosα ;sin(α − β )= sinα ⋅ cos β − sinβ ⋅ cosα ;cos (α + β )= cosα ⋅ cos β − sinα ⋅ sinβ ;cos (α − β )= cosα ⋅ cos β + sinα ⋅ sinβ ;πtgα + tg β =tg (α + β ); α , β ,α + β ≠ + π k  ;1 − tgα ⋅ tg β 2πtgα − tg β =tg (α − β ); α , β ,α − β ≠ + π k  .1 + tgα ⋅ tg β 2Тригонометрические функции двойных и половинных аргументов:sin=2α 2 sinα ⋅ cosα ;cos=2α cos 2α − sin 2α ;2tgα πtg 2α,  2α , α ≠ (2n + 1)  ;=21 − tg α 2261 − cosα;22α 1 + cosαcos 2 =;22sinαα1 − cosαtg==, (α ≠ π k ) .sinα2 1 + cosαsin 2α=Формулы преобразования суммы тригонометрических функций впроизведение:=β 2sinsinα + sinα +β2=β 2sinsinα − sin=β 2coscosα + cos⋅ cosα −β2α +β2−2 sincosα − cos β =α −β2⋅ cos⋅ cosα +β(8.3);α +β2α −β2⋅ sin;(8.4);α −β;22sin(α + β ) πtgα + tg β, α , β ≠ + π k  ;=cosα ⋅ cos β 2sin(α − β ) π=tgα − tg β, α , β ≠ + π k .cosα ⋅ cos β 2Формулыпреобразованияфункций в сумму:произведениятригонометрических1[ sin(α − β ) + sin(α + β )] ;21sinα ⋅ sin=β[cos(α − β ) − cos(α + β )] ;21cosα ⋅ cos=β[cos(α − β ) + cos(α + β )].2sinα ⋅ cos=βФормулы приведения (правило приведения тригонометрическихфункций произвольного угла к функциям острого угла).πЛюбая тригонометрическая функция угла ( ⋅ n + α ) по абсолютной2величине равна той же функции угла α , если n − четное число, исходственной функции (кофункции), если n − число нечетное.