Маджитова Ф.Ш., Маджитов Д.Ф. Краткий справочник и индивидуальные задания по элементарной математике, страница 9

Решить систему уравнений:  x + y.3x xy − 54 =x + y6. Определить полную поверхность конуса, если угол между образующейи плоскостью основания равен α , а площадь осевого сечения равна Q .Часть 2.Вариант №11. Упростить выражение и вычислить его значение приxи=1y+ 2=1− 2−211 1222xy+()xy+ − x+ y .− 1112 xy2x 2 + y 2  ( x + y )2. Привести к виду, удобному для логарифмирования1 + cosx + cos 2 x + cos3 x.2cos 2 x + cos x − 13. Решить уравнение: 52 ⋅ 54 ⋅ 56...52 x =0, 04−28.4. Найти область определения функции y =3 − x + arcsin3 − 2x.55.

Определить объем правильной треугольной усеченной пирамиды, еслисторона большего основания равна a , сторона меньшего основанияравна b , а острый угол боковой грани равен ϕ .Вариант №21. Упростить выражение:23  4 bx3 + 4 a 2bx 4 + bx  + bx + 32 x+ ax(b + 3x−1)2.2. Найти значение a , при котором один корень уравненияx 2 + ( 2a − 1) x + a 2 + 2 =0 вдвое больше другого.91624.

Решить неравенство: log 1 ( x − 6 x + 18 ) + 2log5 ( x − 4 ) < 0.3. Решить уравнение: sin 2 x + sin 2 2 x =.5635. В основание конуса вписан правильный треугольник, длина стороныкоторого равна a . Плоскость, проходящая через вершину конуса исторону треугольника, образует в сечении с поверхностью конусаправильный треугольник. Найти объем конуса.Вариант №31.

Упростить выражение:x 4 − ( x − 1)(x22− 1) − x 22+x 2 − ( x 2 − 1)22x 2 ( x + 1) − 12x 2 ( x − 1) − 1+x 4 − ( x + 1)2.2. В каких точках график функции=y log 3()x 2 + 21 − x 2 + 12 пересекаетось OX ?23. Решить уравнение ( sin x + 1) + cos 2 x = tgx + 2.4. Решить неравенство:x2 − 2x − 8x2 + 1> 0.5. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с острымуглом α . Каждое боковое ребро равно b и наклонено к плоскостиоснования под углом β . Найти объем пирамиды.Вариант №41. Решить уравнение:a ( x + 1)  xx +1 a +1  a +11:+−−+ 1 =.−1ax + 1 ax + 1 x + a  ( x + a −1 ) a 23πππ2. Доказать тождество: sin 2  − α  − sin 2 ( 2π − α ) + tg sin α ⋅ cos  − α  =.333 43.Три числа, сумма которых 114, можно рассматривать как трипоследовательных члена геометрической прогрессии или как первый,четвертый и двадцать пятый члены арифметической прогрессии. Найтиэти числа.4. Решить неравенство: 3lgx + 2 < 3lgx +5 − 2.5.

Основанием пирамиды служит ромб с острым углом α . Боковые гранинаклонены к плоскости основания под углом ϕ . Определить объемпирамиды, если радиус круга, вписанного в ромб равен r .Вариант №51. Упростить выражение:21+ a 3 2− a 1+ a a + a + a1  a +13a − .+⋅13 −2 1 − 3 a2a  a−3 + 3 a2. При каком k уравнения 2 x 2 − ( 3иk +42 ) =x + 129 0233336x 2 −0( k −имеют общий корень?3. Решить уравнение: logx+411326 log x + 4 2 + log( x + 4)3 ( x + 4 ) .=−3264x+)=324.

Решить уравнение: cos 4 x − sin 4 x =.5. В правильной четырехугольной пирамиде угол при вершине равен α , аобъем - V . Найти радиус шара, вписанного в пирамиду.Вариант №61. Решить уравнение: 4 ab3 + 4 a 3b 1 − ab   a − 3 a a + 3 a 2 + 4−:.a+ bab   3 a − 1 3 a + 1 2 x + 2 y =332. Решить систему уравнений:  x + y.2 = 323. Найти область определения функции y =4 − log 2 ( x − 1) .4. Решить уравнение: 3sin 2 2 z + 7cos 2 z − 3 =0.5.

Высота правильной треугольной пирамиды равна h , а двугранный уголпри боковом ребре равен 2α . Определить объем пирамиды.Вариант №71. Упростить выражение:3 x() ()5x+ y + x− y  ⋅3 x.x −1x + xy2. Решить уравнение: sin2 x + cos 2 x + sinx + cosx + 1 =0.y + log 2 x x log 2 3 + log 2 y =3. Решить систему уравнений: .y + log3 y x log312 + log3 x =4. Решить неравенство: 4 x + 2 < 2 x + 10.4244425. В трапеции ABCD длина меньшего основания BC равна 3 м, длиныбоковых сторон AB и CD равны по 3 м. Диагонали трапеции образуютмежду собой угол вπ3.

Найти длину основания AD .Вариант №810,333...− log3 42+ 5log25 4.101+lg 3 − 49log7 2x+73x2. Решить уравнение:−8=− 2.3xx+71. Вычислить:273. Найти область определения функции y =log x.arcsin ( x − 3)4. Решить уравнение: cos7 x + sin 2 2 x = cos 2 2 x − cos x.5. Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник,основание которого равно a и угол при основании равен α .Определить объем призмы, если ее боковая поверхность равна суммеплощадей ее оснований.65Вариант №91.

Упростить выражение:13a −11 3. 2 20 + 14 2 ⋅ 6 − 4 2 + 2 ( a + 3) a − 3a − 1  :2 a +1()2. Решить уравнение: log3  3x −13 x + 28 +  =log5 0, 2.9223. При каких значениях x произведение ( x − 1)( x − 2 ) ( 3 − x ) положительно?4. Решить уравнение: cos3x ⋅ sin7 x = cos 2 x ⋅ sin8 x.5. В шаре из точки его поверхности проведены три равные хорды подуглом 2α друг к другу. Определить их длины, если радиус шара равенR.Вариант №1021.

Решить уравнение: 3 x − 1 + 3 x − 2 − 3 2 x − 3 =0.2. Синус угла, образованного диагональю ромба с его стороной, равен 0,2.найти косинусы углов ромба.1033. Решить уравнение: log 2 x + log x 2 =.4. При каких значениях a неравенство x 2 + 2 x + a > 10 удовлетворяется прилюбом действительном значении x .5. Боковая поверхность конуса, будучи развернута на плоскость,представляет круговой сектор с углом α и хордой a .

Найти объемконуса.Вариант №113 + 4, 2 : 0,1.11: 0,3 − 2  ⋅ 0,312534 x − 7.1. Найти число, 3,6% которого составляет2. Решить уравнение: x + 2 − 2 x − 3=3. Тангенс суммы двух углов треугольника равен 2. найти синус третьегоугла треугольника.=y4. Найти область определения функции41log 416 − log8 ( x 2 − 4 x + 3) .25. В основание конуса вписан квадрат, сторона которого равна a .Плоскость, проходящая через вершину конуса и сторону квадрата, даетв сечении с поверхностью конуса треугольник, угол при вершинекоторого α . Найти объем конуса.Вариант №121.

Упростить выражение:4(1 − 2a + a 2 )( a 2 − 1) ( a − 1) :a 2 + 2a − 3.4a +1662. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма всех еечленов, стоящих на нечетных местах, равна 36, а сумма всех членов,стоящих на четных местах равна 12. Найти эту прогрессию.3. Решить уравнение: cos 2 x + 5cosx =2 sin 2 x. xy = 8.4. Решить систему уравнений: logy+logx=2,5xy5. Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника,проходит через вершину противолежащего острого угла и имеет центрна гипотенузе. Найти ее радиус, если катеты равны 3 и 4.Вариант №131. Упростить выражение:a 2 − a − 2 + ( a − 1) a 2 − 4a 2 + a − 2 + ( a + 1) a 2 − 4, если a ≥ 2.2. Решить уравнение: 6log x + x log x =12.263. Доказать тождество:6sin x + sin x ⋅ cos ( x + y )= tg ( x + y ) .cos y − sin x ⋅ sin ( x + y )4.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиямиy=2иx − x 23. y=45. Плоские углы при вершине параллелепипеда равны между собой иравны 45° . Длины ребер, сходящихся в одной вершине, равны a, b, c .Найти объем параллелепипеда.Вариант №1442+ 32− 31. Доказать, что +4. = 2 + 2+ 32−2−39.2. Решить уравнение: ( x + 1)( x + 3)( x + 5 )( x + 7 ) =3. Привести к виду, удобному для логарифмированияsin70° + 8cos 20° ⋅ cos 40° ⋅ cos80°.4. Решить неравенство: log 2 1 + log 1 x − log 9 x  < 1.95. Радиус основания конуса равен R , а образующая наклонена кплоскости основания под угол α .

В этом конусе проведена плоскостьчерез его вершину под углом ϕ к его высоте. Определить площадьполученного сечения.Вариант №151. Упростить выражение: 11+ a1− a1+−−1если1.< a <, 02a 1 − a 2 − 1 + a   a 1+ a − 1− a4x3x2. Решить уравнение: 2+ 2=1.4 x − 8 x + 7 4 x − 10 x + 7670, 2cos x ≤ 13. Решить систему уравнений:  x − 1 1 .+ >02 − x 2124. Решить уравнение: log8 x + ( log8 x ) + ( log8 x ) + ... =.235.

Треугольник вращается вокруг стороны, длина которой равна a .Определить объем тела вращения, если величины прилежащих угловравны α и β .Вариант №161. Упростить выражение:8− x2+ 3 x3 2 3x2 3 x  3 x2 − 4x:2+.++ ⋅ 3 2333 xx+−22+2xx Решить уравнение: ( x + 5 ) + ( x + 3) =2.Найти tg 2α + ctg 2α ,если tgα + ctgα =.aРешить неравенство: log 0,5 ( 5 x + 10 ) < log 0,5 ( x 2 + 6 x + 8 ) .В конус вписан шар. Найти объем шара, если образующая конуса равнаl и наклонена к плоскости основания под углом α .Вариант №172.3.4.5.44a − 2 a +1 4 a +1a>: если + 1, 1.a − 2 4 a +1 4 a −12.

Найдите наименьшее целое значения k , при котором уравнениеx 2 − 2 ( k + 1) x + 12 + k 2 =0 имеет два различных действительных корня?1. Упростить выражение:3. Решить уравнение: 4cos( a+x ) = cosx 2cosa .4. Доказать тождество: log312 = log3 7 ⋅ log 7 5 ⋅ log5 4 + 1.5. Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник суглом α при вершине. Диагональ грани, противоположной данномууглу, равна l и составляет с плоскостью основания угол β . Найтиобъем призмы.Вариант №182b 2 + x 22x11. Решить уравнение: 3 3 −+=0.

При каких значениях b22b −xbx + b + xx−bрешение уравнения будет единственным?2. Решить уравнение: sin 2 x + sin 2 2 x =1.3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y =− x 3 + 3 x 2 + 5 наотрезке [ 0;3].x2 + 4>0.4. Решить систему неравенств:  x 2 − 16 x + 64lg x + 7 > lg ( x − 5 ) − 2lg 25. Найти высоту равнобедренного треугольника, у которого угол приосновании равен α , а разность между радиусами описанной ивписанной окружности равна d .68Вариант №191. Упростить выражение: (1 − cosα )(1 − cosβ )(1 − cosγ ) , если известно, что(1 + cosα )(1 + cosβ )(1 + cosγ ) = sinα ⋅ sinβ ⋅ sinγ .Решить уравнение: ( x − 3) + 3x − 22 = x 2 − 3x + 7.Составить уравнение касательной к кривой =y x 2 − 2 в точке x = 3.Решить неравенство: 3lgx + 2 < 3lgx +5 − 2.Площадь полной поверхности конуса в n раз больше площадиповерхности вписанного в него шара. Найти угол наклона образующейконуса к плоскости его основания.Вариант №2022.3.4.5.2x − 2 x −1.x −1 −1sin (α + β + γ )2.

Показать, что tgα + tg β + tgγ −= tgα ⋅ tg β ⋅ tgγ .cosα ⋅ cos β ⋅ cosγ1. Упростить выражение:3. Решить уравнение: 252 x − x +1 + 92 x − x +1 =34 ⋅152 x − x .24. Решить неравенство:22x 2 + 2 x − 63> 7.x2 − 8x + 75. Определить объем тела, образованного вращением треугольника ABCоколо оси, проходящей через вершину A и параллельной стороне BC ,зная, что BC = a , проекция стороны AB на ось вращения b , а уголмежду AB и осью равен α .Вариант №217 2, (36) ⋅ x − 1 55 x + 30, 2  ⋅ 2,51. Найти x , если= 303, (18).0,32. Три числа, составляющих арифметическую прогрессию, дают в сумме15. Если к ним прибавить соответственно 1,4 и 19, то получается тричисла, составляющих геометрическую прогрессию.