Маджитова Ф.Ш., Маджитов Д.Ф. Краткий справочник и индивидуальные задания по элементарной математике, страница 2

Решить уравнение:2x +1 4 − x.=3− xx +1Так как 3 −иx ≠ 0 1 0x + ≠ , то это уравнение можно заменить эквивалентным,если обе части данного уравнения умножим на (3 − x) ⋅ ( x + 1) . Получим2 x 2 + x + 2 x + 1 = 12 − 3 x − 4 x + x 2или x 2 + 10 x − 11 =0.Находим корни этого уравненияx1,2 =−5 ± 25 + 11 =−5 ± 6;x1 =−11, x2 =1.Проверкой убеждаемся, что эти числа являются решениями исходногоуравнения.Ответ : {−11;1} .Пример 8.

Решить уравнение:( x + 2 x) 2 − 7( x 2 + 2 x) + 6 =0.29Введем обозначение x 2 + 2 x =y , тогда относительно новой неизвестной y ,получим следующее квадратное уравнение y 2 − 7 y + 6 =0.Решения которогоy1,2 =7497 5±− 6 = ± , y1 = 1, y2 = 6.242 2Для нахождения решений исходного уравнения следует еще решить дваквадратных уравнения:x 2 + 2 x =6 ⇒ x 2 + 2 x − 6 =0 ⇒ x1,2 =−1 ± 1 + 6 =−1 ± 7;x 2 + 2 x =1 ⇒ x 2 + 2 x − 1 =0 ⇒ x3,4 =−1 ± 1 + 1 =−1 ± 2.Непосредственной проверкой можно убедиться, что все четыре числаявляются решениями исходного уравнения.{}Ответ : −1 − 7; − 1 + 7; − 1 − 2; − 2 + 2 .Процесс решения уравнений заключается в основном в замене данногоуравнения другим, ему равносильным. Поэтому следует помнить о том, чтоновое уравнение может быть и не равносильным, если выражение, на котороемы умножаем или делим, может быть равным нулю.

Можно также возводитьобе части уравнения в одну и ту же степень или извлекать из обеих частейкорни одной и той же степени. Однако при этом также могут получитьсяуравнения, неравносильные исходным. Поэтому всегда следует проводитьпроверку полученных решений, ибо могут быть получены лишние корни,которые исходному уравнению не удовлетворяют.4. Показательные и логарифмические уравненияПри решении показательных и логарифмических уравнений необходимо,прежде всего, знать свойства степеней и логарифмов. Остановимся вкратцена определении и свойствах логарифмов.Логарифмом числа b (b >по0)основанию ( a 0)a >называется показательстепени x ( x ∈ R) , в которую нужно возвести число a , чтобы получить числоb .

Обозначение: log a b = x.Запись x = log a b равносильна записи a x = b. Из определения логарифмавытекает основное логарифмическое тождество: a log b = b.aОсновные свойства=log a a 1;=log a 1 0=log a blog a ( M ⋅ N=) log a M + log a Nlog a=bMlog a M − log a N=Nlog a M n n log a M=log a10log c blog c a1logb alog a b =n log an blog10b lgb==; log eb lnbПоказательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестноевходит только в показателе степени при постоянных основаниях.Простейшим показательным уравнением является уравнение вида:(4.1)a f ( x ) = b,где a > 0 (aи≠ 1) 0 b > - некоторые числа.Уравнение (4.1) эквивалентно уравнению(4.2)f ( x) = log a bЕсли f ( x)то имеем=x=,x . log a bРассмотрим показательное уравнение вида(4.3)Pn (a x ) = 0,где Pn - некоторый многочлен степени n.Для нахождения решения уравнения (4.3) вводится новая переменнаяxрешаетсякакалгебраическоеуравнениеи уравнение Pn ( y ) 0y a=относительно неизвестного y.

После этого решение исходного уравнения(4.3) сводится к решению простейших показательных уравнений вида: a x = yi ,где yi (i 1,=2,...,корниn) уравнения ( ) Pn0.yПример 9. Решить уравнение:3 ⋅ x 81 − 10 x 9 + 3 =0.Обозначим x 9 = y, получим следующее квадратное уравнение 3 y 2 − 10 y + 3 =0,корни которого =y1,210 ± 100 − 36 10 ± 81==; y1 =, y2 3.663Таким образом, решение данного уравнения свелось к решению уравнений2129 = ⇒ 3 x =3−1 ⇒ =−1 ⇒ x =−2;3x22x9 =3 ⇒ 3 x =31 ⇒ =1 ⇒ x =2.xОтвет : {−2; 2} .xЛогарифмическим уравнением называется уравнение, в которомнеизвестное входит под знаком логарифма.Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида(4.4)log a f ( x) = b, (a > 0, a ≠ 1).с множеством допустимых значений x , для которых f ( x) > 0.Уравнение (4.4) эквивалентно уравнению(4.5)f ( x) = a b .bЕсли f ( x)то имеем=x=,.x aЛогарифмическое уравнение видаPn (log a x) = 0решается аналогично показательному уравнению (4.3).11Пример 10.

Решить уравнение:lg 3 x − lg 2 x − 6lgx =0.Предварительно преобразуем это уравнение к видуlgx (lg 2 x − lgx − 6) =0,из которого следует:1)lgx =0 ⇒ x1 =12)lg 2=Пустьx − lgx − 6 0. , =тогда lgx yy 2 − y − 6 = 0 ⇒ y1,2 =111 5±+6 = ± ,242 2y1 =−2, y2 =3.Таким образом, получим:lgx =−2 ⇒ x2 =10−2 =0, 01lgx =3 ⇒ x3 =103 =1000.Так как множество допустимых значений x исходного уравненияудовлетворяет условию x > 0, то все три значения x1 , x2 , x3 являютсярешениями.Ответ : {0,1;1;1000} .5. Системы уравненийНесколько уравнений, рассматриваемых совместно, называются системойуравнений. Система уравнений называется линейной, если все уравнениясистемы линейные.

Рассмотрим систему линейных уравнений с двумянеизвестнымиb1a11 x + a12 y =b2a21 x + a22 y =Если=a11 a12a21 a22(5.1)= a11 ⋅ a22 − a21 ⋅ a12 ≠ 0,то система имеет единственное решениеyx=, y,=xгдеb1 a12a11 b1x ==b1a22 − b2 a12 ,  y ==b2 a11 − b1a21.b2 a22a21 b2Если = 0и x ≠0, y ≠0, то система не имеет решений. Если= 0и =x 0, =y 0, то система имеет бесчисленное множество решений или неимеет решений.Пример 11. Решить систему уравнений:73 x + 2 y =40.4 x − 5 y =12Решение:3 2==−15 − 8 =−23 ≠ 0,4 −572 x −115x ==−35 − 80 =−115, x = ==5,40 − 5−2337 y 92y ==−4.120 − 28 =92, y = = =4 40 −23Ответ : {(5; −4)} .Для системы нелинейных алгебраических уравнений, в отличии от системлинейных уравнений, не существует универсального метода решения, апоэтому при решении каждой конкретной системы нелинейных уравненийприходится применять специальные приемы решений, основанные наиспользовании особенностей алгебраических уравнений, составляющихданную систему.Пример 12.

Решить систему уравнений: x2 + y 2 =419.x + y =Из второго уравнения находим y= 9 − x и, подставим y в первое уравнение,получим x 2 + 81 − 18 x + x 2 =41 ⇒ 2 x 2 − 18 x + 40 =0.92819 1− 20 = ± .42 29 y41 = 5;− = 9 y52 = 4.− =Из второго находим x 2 − 9 x + 20 =0 ⇒ x1,2 = ±Так как x1 = 4, xследовательно,2 = 5,Ответ : {( 4;5 ) , ( 5; 4 )}.Пример 13. Решить систему уравнений: 4 1 + 5 x − 4 5 − y =3.115 x − y =Обозначим41 +=5иx найдемU ; 4 5 −=y VU 4 + V 4 = 1 + 5 x + 5 − y = 6 + (5 x − y ) = 6 + 11 = 17.Таким образом получим следующую систему уравненийТак как3u + v = 4 417.u + v =(*)u 2 + v 2 = (u +тогдаv) 2 − 2uv,2u 4 + v 4 = (u 2 + v 2 ) 2 − 2u 2 v 2 = (u + v) 2 − 2uv  − 2u 2 v 2 .Введем обозначения u +=v t , uv= s.Тогда t = 3 и u 4 + v 4 =(t 2 − 2S )2 − 2S 2 =(9 − 2S )2 − 2S 2 =2S 2 − 36S + 8113Следовательно, 2S 2=или− 36 S +S81 17S=− 18 + 32 02S1,2 =9 ± 81 − 32 =9 ± 7, S1 =2, S 2 =16.Из системы (*) выделяются две системы:3−v3−v3 u =u =u + v =1) ⇒⇒2v+2 0− 2 0 v 2 − 3=uv = 23v − v=u1 2==, v1 1u2 1==, v2 2,3−v3−v3 u =u =u + v =2) ⇒⇒2− 16 0 v 2 − 3v =+ 16 0.uv = 163v − v =Так как дискриминант квадратного уравнения v 2 − 3v + 16 =0 отрицательный,то эта система не имеет действительных решений.

Окончательно получаем: 4 1 + 5 x =u1 1 + 5 x =16  x1 = 31 )⇒⇒=v15 − y 1 = y1 4 4 5 − y =4u21x = 01 + 5 x = 1 + 5 x =⇒⇒ 220 ) −11.16  y2 =v25 − y = 4 5 − y =Ответ : {( 3; 4 ) , ( 0; −11)}.06. НеравенстваРешить неравенство(6.1)f ( x) <или0 ( ( ) f 0)x > −это значит найти все значения аргумента функции f , при которомнеравенство (6.1) справедливо. Два неравенства считаются эквивалентными,если множества их решений совпадают.При решении неравенств необходимо знать свойства числовых неравенств,которые мы представим в виде опорного блока:Определение: a > b ⇔ a − b > 0 , т.е. точка а расположена на числовой осиправее точки b .1.a > b ⇔ b < a2.a > b, b > c ⇒ a > c3.a > b ⇔ a + k > b + k4.a > b, m > 0 ⇒ am > bm5.a > b, m < 0 ⇒ am < bma n > b n6.a > b, a > 0, b > 0, n ∈ N ⇔  n a > n b1 17.a > b, ab > 0 ⇒ < .a b14Еслито неравенство называется линейным.

Еслиf ( x) = ax + bx + c, то неравенство называется квадратным.Если f ( x) где=Pn ( x),( ) Pn x − многочлен степени n, то неравенство такоготипа целесообразно решать методом интервалов. Находятся вседействительные корни многочлена Pn ( x) , которые делят числовую ось насоответствующие интервалы. Решением неравенства в этом случае являютсяте интервалы числовой оси, на которых знак многочлена Pn ( x) совпадает сознаком неравенства.Множество решений нестрогого неравенстваf ( x=) ax + b,2f ( x) ≤или0( ) 0)(f x ≥представляет собой объединение множества решений неравенства (6.1) имножества решений уравнения f ( x) = 0.Пример 14.

Решить неравенство:x 2 − 3x + 2≥ 1.x 2 + 3x + 2Найдем корни знаменателя x 2 + 3x + 2 =0.32Получим x1,2 =− ±93 1− 2 =− ± , x1 =−2, x1 =−1.42 2Следовательно, неравенство имеет смысл, если x ≠ −2и x ≠ −1. Проделаемследующие преобразования:x 2 − 3x + 2x 2 − 3x + 2 − x 2 − 3x − 2−6 x−6 x( x 2 + 3x + 2)1000−≥⇒≥⇒≥⇒≥ 0.x 2 + 3x + 2x 2 + 3x + 2x 2 + 3x + 2( x 2 + 3 x + 2) 2Так как знаменатель положительный, то получившееся неравенство будетэквивалентно неравенству−6 x( x 2 +т.е.3 x + 2) ≥( 0,) 0P3 x ≥ .Корни многочлена P3 ( x) соответственно равны x1 =−2; x2 =−1; x3 =0.Многочлен P3 ( x) принимает положительные значения в промежутках( −∞; −и2 )1;0(− .]Ответ : ( −∞; −2 ) ∪ ( −1;0] .Простейшим показательным неравенством является неравенствоa x > b, (a > 1)(6.2)где a и b − некоторые действительные числа;1)при a > 1,b > 0, x ∈ (log a b ; ∞ );2)при 0 < a < 1, b > 0, x ∈ ( −∞; log a b);3)при a > 0, b < 0, x ∈ R.15Неравенства вида (6.2) могут быть обобщены на случай, когда в показателестепени стоит некоторая функция от x .

Так, множество решений неравенства(6.3)a f ( x ) > b, (a > 1)находятся как множество решений неравенстваf ( x) > log a b,эквивалентного неравенству (6.3).Решение показательного неравенства вида Pn (a x ) > 0 заменой a x = yсводится к последовательному решению неравенства Pn ( y ) > 0 и решениюпростейших показательных неравенств вида (6.2) или систем простейшихпоказательных неравенств.Пример 15. Решить неравенство:25− x + 5− x +1 ≥ 50.Обозначим 5− x= y > 0.

Так как 25− x =и (55− x ) 2 =5y 25неравенство для переменного y принимает вид:5− x +,1 =⋅−x− y то данноеy 2 + 5 y − 50 ≥ 0.Находим корни уравненияy 2 + 5 y − 50 =0:5255 15y1,2 =− ±+ 50 =− ± ; y1 =−10, y2 =5.242 2Так както, следовательно, решение этого квадратного неравенства y ≤ −10и y ≥5.Принимая во внимание, что y > 0, остается решить простейшее показательноенеравенство 5− x ≥ 5, из которого следует, чтоx ≤ −1.Ответ : ( −∞; −1] .Простейшим логарифмическим неравенством является неравенство вида:(6.4)log a x > b,где a и b − некоторые действительные числа.В зависимости от значений a множество решений неравенства (6.4) будутследующими:1)при a > 1, x ∈ (a b ; ∞),2)при 0 < a < 1, x ∈ (0; a b ).Неравенство вида log a f ( x) > b эквивалентно следующим системамнеравенств:1)при a > 1f ( x) > 0 иf ( x) > a b ⇒ f ( x) > a b2)при 0 < a < 1f ( x) > 0 иf ( x) < a b .Неравенства вида Pn (log a x) > 0 решается аналогично неравенству Pn (a x ) > 0.16Пример 16.

Решить логарифмическое неравенство:2log 4 (2 x 2 + 3) < log 2 ( x 2 + 6).Областью допустимых значений является вся числовая ось, так как2 x 2 и+ 3 > 0 6 0x 2 + > для любых x ∈ R. Принимая во внимание, что2log 4 (2 x 2 + 3) =2 ⋅log 2 (2 x 2 + 3)=log 2 (2 x 2 + 3),log 2 4преобразуем неравенствоlog 2 (2 x 2 + 3) < log 2 ( x 2 + 6) ⇒ log 2и, следовательно,2x2 + 3<0x2 + 62 x2 + 3x2 − 3<1⇒ 2< 0.x2 + 6x +6Так как x 2 + 6 > 0, то получим, что исходное логарифмическое неравенствоэквивалентно квадратному неравенству вида x 2 − 3 < 0, решение которогоx > − 3и(x < 3.)Ответ : − 3; 3 .Пример 17. Решить логарифмическое неравенство:3log3 x − log32 x ≤ log 1 4.22 2Множество допустимых значений неизвестного x > 0.