1612725465-eb5831e2a489b993bf8c6c33f84310db (Хакимзянов, Черный - Методы вычислений(часть 3)), страница 7

Пусть условие (2.17) выполнено. Решениезадачи (2.15) может быть представлено как un = T n,k uk . Отсюда°° ° °kun k ≤ °T n,k ° · °uk °(1)(1)40и в силу равномерной ограниченности (2.17) норм операторов переходаследует равномерная устойчивость по начальным данным (2.16).Докажем теперь необходимость условия (2.17). Пусть схема равномерно устойчива по начальным данным, т. е. выполнено неравенство(2.16) при всех 0 ≤ k < n ≤ M и для любого uk ∈ Hh . Тогда, посколькуun = T n,k uk , можем записать° °°°kun k(1) = °T n,k uk °(1) ≤ M1 °uk °(1) ,т.

е. для любого uk ∈ Hh° n,k k °°T u °(1)kuk k(1)≤ M1 .(2.18)Поскольку норма оператора в конечномерном пространстве Hh есть° n,k k °°T u °° n,k °(1)°T ° = max,kuk k(1)uk ∈Hhто из неравенства (2.18) следует выполнение условия (2.17) равномерной ограниченности норм операторов перехода.Теорема 2.2 (достаточный признак равномерной устойчивости).Достаточным условием равномерной устойчивости схемы (2.2) по начальным данным является равномерная ограниченность норм операторов перехода° k°°S ° ≤ 1 + C0 τ, k = 1, 2, .

. . , M,(2.19)где C0 ≥ 0 — постоянная, не зависящая от τ и h.Д о к а з а т е л ь с т в о. Для всех 0 ≤ k < n ≤ M° n,k ° ° n n−1°°°°°°T ° = °S S· · · S k+1 ° ≤ kS n k · °S n−1 ° · · · °S k+1 ° ≤n−k≤ (1 + C0 τ )n≤ (1 + C0 τ ) ≤ (1 + C0 τ )M≤ eC0 τ M = eC0 T .Отсюда в силу теоремы 2.1 следует равномерная устойчивость схемы(2.2) по начальным данным с постоянной M1 = eC0 T .Теорема 2.3. Если схема (2.2) имеет постоянные операторы A и Bи устойчива по начальным данным, то она равномерно устойчива поначальным данным.41Д о к а з а т е л ь с т в о.

По условию оператор перехода со слоя nна слой (n + 1) является постоянным, т. е. не зависит от времени. Тогдаразрешающий оператор есть T n,0 = S n S n−1 · · · S 1 = (S)n и поскольку схема устойчива по начальным данным, то для всех n = 1, . . . , Mвыполняется оценка° °kun k(1) ≤ M1 °u0 °(1) , ∀u0 ∈ Hh .Следовательно,°° °°kun k(1) = °(S)n u0 °(1) ≤ M1 °u0 °(1) .Отсюда° n 0°°(S) u °(1)ku0 k(1)≤ M1 ,∀u0 ∈ Hh .Таким образом, k(S)n k ≤ M1 , n = 1, . . . , M , т. е.

нормы всех степенейоператора S ограничены постоянной M1 . Тогда также° n,k ° ° n−k °°T ° = °(S)° ≤ M1(2.20)для всех 0 ≤ k < n ≤ M , т. е. оператор перехода со слоя k на слойn равномерно (по n и k) ограничен. В силу теоремы 2.1, данная схемаравномерно устойчива по начальным данным.2.5.

Связь между устойчивостью по начальным данными устойчивостью по правой части. Вернемся к рассмотрению неоднородной схемы (2.2). Уравнение этой схемы мы записали в виде (2.13)и получили для решения формулу (2.14). Переходя к норме решенияи используя неравенство треугольника, получаем оценкуnX° n+1 °°° ° °° n+1,k+1 ° ° k °°u° ≤ °T n+1,0 ° · °u0 ° + τ°T° · °f ° .(1)(1)(1)(2.21)k=0Выберем теперь норму на слое для функций ϕn специальным образом, а именно положим°°kϕn k(2) = kf n k(1) ≡ °B −1 ϕn °(1) .(2.22)Равенство (2.22) называется условием согласования норм. Тогда из оценки (2.21) следует утверждение.42Теорема 2.4.

Для устойчивости схемы (2.2) по начальным данными правой части достаточно, чтобы выполнялось условие равномернойограниченности (по n и k) операторов перехода со слоя k на слой n:° n,k °°T ° ≤ M1(2.23)для всех 0 ≤ k < n ≤ M . При этом для решения верна оценка³° °´° n+1 °°u° ≤ M1 °u0 ° + kϕk(2) ,(1)(1)(2.24)означающая устойчивость (2.5) по начальным данным и по правойчасти при условии (2.22) согласования норм и выборе нормы kϕk(2) поформуле (2.7).Установим связь между устойчивостью по начальным данным и устойчивостью по правой части.Теорема 2.5. Если схема (2.2) равномерно устойчива по начальным данным, то она устойчива и по правой части при условии согласования норм (2.22).Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу теоремы 2.1 из равномерной устойчивости схемы по начальным данным, следует равномерная ограниченность (2.17) оператора T n,k .

Тогда по теореме 2.4 схема будет устойчивапо правой части при условии согласования норм (2.22), при этом длярешения задачи (2.11) будет выполняться оценкаnX° n+1 °° k°°u° ≤ M1 τ°ϕ ° .(1)(2)(2.25)k=0Замечание. Условие равномерной ограниченности норм оператора перехода (2.19) является достаточным условием устойчивости схемытакже и по правой части.Теорема 2.6. Если схема (2.2) имеет постоянные операторы Aи B, то устойчивость по начальным данным необходима и достаточна для устойчивости по правой части при условии согласования норм(2.22).Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть схема устойчива по начальнымданным. Поскольку она имеет постоянные операторы, то, в силу теоремы 2.3, она равномерно устойчива по начальным данным, а тогда потеореме 2.5 схема устойчива и по правой части (при условии (2.22)).43Пусть, наоборот, схема (2.2) устойчива по правой части, т. е. длярешения задачи (2.11) при условии (2.22) выполнено неравенство (2.12)с нормой kϕk(2) , определенной равенством (2.7):nX° n+1 °° −1 k °°u° ≤ M2 τ°B ϕ ° ,(1)(1)n = 0, 1, . .

. .(2.26)k=0По определению устойчивости эта оценка имеет место при любой правойчасти f k = B −1 ϕk . С другой стороны, из представления (2.14) решениязадачи при u0 = 0 получаемun+1 =nXT n+1,k+1 τ f k .k=0Поскольку операторы постоянные, то S n ≡ S, T n+1,k+1 = (S)n−k и тогдаnXun+1 =(S)n−k τ f k .(2.27)k=0Выберем правую часть схемы ϕk так, чтобыτ f k = τ B −1 ϕk = ηδk,k0 ,где η — произвольная сеточная функция, η ∈ Hh ; k0 — произвольноецелое число; δk,k0 — символ Кронекера. Тогда из формулы для решения(2.27) следует, чтоun+1 =nX(S)n−k τ f k =k=0nX(S)n−k ηδk,k0 = (S)n−k0 η.k=0Поэтому° n+1 °°°°°°u° = °(S)n−k0 η ° ≤ °(S)n−k0 ° · kηk .(1)(1)(1)В то же время по условию° n+1 °°u° ≤ M2 kηk .(1)(1)° n−k °0°Следовательно, °(S)≤ M2 . Учитывая произвольность k0 и n, приходим к выводу, что нормы степеней оператора S ограниченыk(S)m k ≤ M2 ,m = 1, 2, .

. . , M.44Тогда° n,k ° ° n−k °°T ° = °(S)° ≤ M2для всех 0 ≤ k < n ≤ M и из теоремы 2.1 следует, что схема равномерноустойчива и тем более просто устойчива по начальным данным.В силу доказанной теоремы мы ограничимся далее лишь исследованием устойчивости схем по начальным данным.2.6. Устойчивость в энергетическом пространстве. Мы получили условия устойчивости двухслойных схем в виде неравенств (2.17)и (2.19) для норм операторов перехода. При этом в пространстве сеточных функций использовались некоторые абстрактные нормы k·k(1)и k·k(2) , операторы A и B могли быть переменными или постоянными.Указанные неравенства трудны для проверки. Поэтому далее мы получим другие достаточно общие и легко проверяемые условия устойчивости схем по начальным данным в виде некоторых неравенств междуоператорами A и B, причем эти условия будут необходимыми и достаточными для устойчивости.

Для упрощения выкладок будем рассматривать только случай постоянных операторов A : Hh → Hhи B : Hh → Hh . Кроме того, теперь будет предполагаться, что Hh— действительное конечномерное гильбертовоp пространство со скалярным произведением (u, v) и нормой kuk = (u, u). Как и прежде, мысчитаем, что A и B являются линейными операторами и задача (2.2)однозначно разрешима при любых входных данных ϕn и u0 , т. е. существует ограниченный обратный оператор B −1 с областью определенияD(B −1 ) = Hh .Напомним основные определения и некоторые свойства операторов,отображающих пространство Hh в себя. Оператор A называется неотрицательным (обозначается A ≥ 0), если(Ax, x) ≥ 0,∀x ∈ Hh .Оператор A называется положительным (A > 0), если(Ax, x) > 0,∀x ∈ Hh ,x 6= 0.Оператор A называется положительно определенным (A ≥ δE), если(Ax, x) ≥ δ(x, x),δ > 0.Оператор A называется самосопряженным (A = A∗ ), если(Ax, y) = (x, Ay),45∀x, y ∈ Hh .Неравенство A ≥ B понимается в том смысле, что A − B ≥ 0 или(Ax, x) ≥ (Bx, x),∀x ∈ Hh .Пусть A = A∗ > 0.

Тогда функция (x, y)A = (Ax, y) будет удовлетворять аксиомам скалярного произведения и, следовательно, можноввести нормуppkxkA = (x, x)A = (Ax, x),(2.28)порожденную оператором A.Определение. Пространство Hh с нормой k · kA называется энергетическим пространством и обозначается HA .Таким образом, далее мы вместо абстрактной нормы k · k(1) будемиспользовать энергетическую норму k · kA пространства Hh и в этойнорме будем устанавливать устойчивость двухслойных схем.

При этомдля получения совпадающих необходимого и достаточного условий устойчивости нам потребуется более специальное определение устойчивости по начальным данным, чем то, которое было раньше.Определение. Схема (2.2) с оператором A = A∗ > 0 называетсяустойчивой с постоянной ρ по начальным данным в пространстве HA(ρ-устойчивой в HA ), если при любых un ∈ Hh , при всех n и при всехдостаточно малых τ и h для решения un+1 уравнениясправедлива оценкаBut + Aun = 0(2.29)° n+1 °°u° ≤ ρ kun k ,AA(2.30)где 0 < ρ ≤ 1 + C0 τ , C0 > 0 — постоянная, не зависящая от τ и h.Поскольку ρn ≤ M1 = eC0 T для всех nτ ≤ T , то ρ-устойчивая в HAсхема является равномерно устойчивой по начальным данным в HAи просто устойчивой в HA в смысле введенных ранее определений.2.7. Вспомогательные утверждения. Для доказательства теорем о необходимом и достаточном условии устойчивости нам потребуется несколько вспомогательных утверждений.

Известна [14]Теорема (о норме самосопряженного оператора). Если оператор S— самосопряженный, тоkSk = supx6=0|(Sx, x)|2kxk46,x ∈ Hh .(2.31)Оператор C называется квадратным корнем из оператора A, еслиC 2 = A. Квадратный корень из оператора A будем обозначать черезA1/2 . Тогда A1/2 · A1/2 = A.