1612725465-eb5831e2a489b993bf8c6c33f84310db (Хакимзянов, Черный - Методы вычислений(часть 3)), страница 5

Для схемы с весами (1.75) выполнение условия σ0 ,приσ ≥ 0,σ≥(1.79)1 (1 − ε)h2 σε ≡ −, приσ < 0,24τ νдостаточно для ее устойчивости по правой части. Здесь ε — некоторая постоянная, не зависящая от τ и h и удовлетворяющая неравенствам 0 < ε < 1.Д о к а з а т е л ь с т в о.

Оценим решение (1.78), используя неравенство треугольника и равенство Парсеваля:°°°°N−1−1°°°NXX° n+1 ° °ϕnk°n(k) °(k) °°u°≤°qk T(k) u ° + τ · °u °≤°°°°°1 + νστ λkk=1k=1vuN −1 ³´2uXnT(k)+ max≤ max |qk | tkk=1kτ|1 + νστ λk |= max |qk | · kun k + maxkk27vuN −1uX2t(ϕnk ) =k=1τkϕn k .|1 + νστ λk |(1.80)Отметим, что при выполнении условия (1.79) имеет место неравенство σε > σ0 , поэтому будет верным неравенство (1.69) и схема будетустойчивой по начальным данным.Если σ ≥ 0, то с учетом (1.71) имеем 1 + νστ λk ≥ 1.

Следовательно,° n+1 °°u° ≤ kun k + τ kϕn k .Отсюда°°°°¢° n+1 °¡°u° ≤ kun k + τ kϕn k ≤ °un−1 ° + τ kϕn k + °ϕn−1 ° ≤ . . .... ≤ τnXkϕm k ≤ τ (n + 1) max kϕm k ≤ Tm=00≤m≤nmax0≤m≤M −1kϕm k .Итак, при условияхσ ≥ σ0 ,σ≥0(1.81)схема будет устойчивой по правой части с постоянной C2 = T .Пусть теперь σ < 0 и выполнено условие леммы (1.79), т. е. σ ≥ σε .Тогд൶1 (1 − ε)h21 + νστ λk ≥ 1 + νσε τ λk = 1 +−ντ λk >24τ ν> 1 − (1 − ε)h2 4h2λk > 1 − (1 − ε)= ε > 0.44 h2Поэтому из оценки (1.80) следуют неравенства° n+1 °°u° ≤ kun k + τ kϕn k ≤ .

. . ≤ τ (n + 1) max kϕm k ≤ T max kϕn k .0≤m≤nεεε nПоследнее неравенство означает устойчивость схемы по правой частис постоянной C2 = T /ε.Следствие. Схема повышенного порядка аппроксимации устойчива по правой части.Д о к а з а т е л ь с т в о. Схема с весами имеет повышенный порядок аппроксимации O(τ 2 + h4 ) при выполнении условий (1.16), (1.17).Очевидно, что σ∗ > σ0 . Кроме того, приτ≥h26ν28(1.82)будет выполняться неравенство σ∗ ≥ 0, что, согласно лемме 1.4, гарантирует устойчивость схемы повышенного порядка аппроксимации поправой части.Остается рассмотреть случай, когда неравенство (1.82) нарушается,т. е.h2τ<.(1.83)6νВ этом случае σ∗ < 0 и надо убедиться в том, что при некотором значении ε выполняется неравенство σ∗ ≥ σε .

Подходящее значение ε можнонайти, например, из равенства σε = σ∗ , т. е.1 (1 − ε)h21h2−= −.24τ ν2 12τ νСледовательно, подходит ε = 2/3.Итак, условие (1.79) леммы 1.4 выполняется при любых соотношениях между шагами τ и h, поэтому схема повышенного порядка аппроксимации будет абсолютно устойчивой по правой части.Исследуем теперь устойчивость в среднеквадратичной норме схемыс весами в общем случае неоднородного разностного уравнения и ненулевых начальных данных£¤un+1− unjj− νΛ σun+1+ (1 − σ) unj = ϕnj ,jτun0 = unN = 0, u0j = u0 (xj ).(1.84)Определение.

Схема называется устойчивой по начальным данным и по правой части, если для ее решения верна оценка° °kun k ≤ C1 °u0 ° + C2 max kϕm k, n = 1, . . . , M,(1.85)0≤m≤M −1где C1 и C2 — положительные постоянные, не зависящие от h и τ .Теорема 1.2 (об устойчивости схемы с весами в среднеквадратичной норме).

При выполнении условия (1.79) схема с весами (1.84) устойчива в среднеквадратичной норме по начальным данным и по правой части.Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу линейности задачи (1.84) еерешение uh можно представить в виде суммы uh = vh + wh решения vhразностной задачи (1.61) с нулевой правой частью и решения wh задачи29(1.75) с нулевыми начальными условиями. Согласно леммам 1.3 и 1.4,верны оценки° °kv n k ≤ °u0 °, n = 1, . .

. , M,kwn k ≤ C2max0≤m≤M −1где(C2 =T,T,εkϕm k ,n = 1, . . . , M,приσ ≥ 0,приσ < 0,из которых следует справедливость неравенства (1.85), означающегоустойчивость схемы (1.84) как по правой части, так и по начальнымданным.1.7. Метод энергетических неравенств. На примере схемы с весами (1.84) покажем теперь, как можно исследовать устойчивость схемс помощью метода энергетических неравенств.Вводя обозначениеun+1 − unut =,τи используя очевидные равенстваun+1 = un + τ ut ,un = un+1 − τ ut ,(1.86)¡¢ τ¡¢ τun+1 = 0, 5 un+1 + un + · ut , un = 0, 5 un+1 + un − · ut , (1.87)22получаемσun+1 + (1 − σ)un =¡¢¡¢= 0, 5σ un+1 + un + 0, 5στ ut + 0, 5(1 − σ) un+1 + un − 0, 5(1 − σ)τ ut =¡¢= (σ − 0, 5) τ ut + 0, 5 un+1 + un .С учетом полученного тождества перепишем разностное уравнение¡¢ut − (σ − 0, 5) ντ Λut − 0, 5νΛ un+1 + un = ϕn(1.88)и умножим его скалярно в Hh на сеточную функцию 2τ ut :22τ kut k − 2 (σ − 0, 5) τ 2 ν (Λut , ut ) −¡ ¡¢ ¡¢¢−ν Λ un+1 + un , un+1 − un = 2τ (ϕn , ut ) .30(1.89)Поскольку un ∈ Hh , un+1 ∈ Hh , ut ∈ Hh , то из первой разностнойформулы Грина следуют равенства(Λut , ut ) = −kutx̄ ]|2 ,¡ ¡ n+1¢ ¡¢¢¡¤Λ u+ un , un+1 − un = − ux̄n+1 + unx̄ , un+1− unx̄ =x̄¡¤= − ux̄n+1 , un+1+ (unx̄ , unx̄ ] = −kun+1]|2 + kunx̄ ]|2 .x̄x̄Следовательно, равенство (1.89) принимает такой видno22τ kut k + (σ − 0, 5) τ νkutx̄ ]|2 + νkun+1]|2 =x̄= νkunx̄ ]|2 + 2τ (ϕn , ut ) .(1.90)Лемма 1.5.

Условие σ ≥ σ0 является достаточным для устойчивости схемыпо начальным данным в энергетической нормеr³ с весами´◦kuk ◦ =Au, u = kux̄ ]|.AД о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим выражение в фигурных скобкахравенства (1.90) через2J = kvk + (σ − 0, 5) τ νkvx̄ ]|2 ,где v = ut , и покажем, что J ≥ 0, если σ ≥ σ0 . Действительно,22J ≥ kvk + (σ0 − 0, 5) τ νkvx̄ ]|2 = kvk −h2kvx̄ ]|2 .4Воспользовавшись теперь полученной ранее оценкой (2.4.25)kvx̄ ]|2 ≤42kvk ,h2v ∈ Hh ,(1.91)будем иметьh2 42·kvk = 0.4 h2Из равенства (1.90) при учете оценки J ≥ 0 следует неравенство2J ≥ kvk −νkux̄n+1 ]|2 ≤ νkunx̄ ]|2 + 2τ (ϕn , ut ) ,(1.92)называемое энергетическим.

Если ϕn ≡ 0, то из него вытекают следующие неравенства:kux̄n+1 ]| ≤ kunx̄ ]| ≤ . . . ≤ ku0x̄ ]|,31или° °kun k ◦ ≤ °u0 ° ◦ ,AAn = 1, . . . , M,(1.93)что и означает устойчивость схемы по начальным данным в энергетической норме kuk ◦ .AЛемма 1.6. Выполнение условияσ ≥ σε ≡1 (1 − ε)h2−,24τ ν0<ε≤1(1.94)достаточно для устойчивости схемы (1.84) по правой части в равномерной сеточной норме.Д о к а з а т е л ь с т в о.

Покажем, что при σ ≥ σεJ ≥ εkvk2 ,(1.95)где v = ut . Имеем22J = kvk + (σ − 0, 5) τ νkvx̄ ]|2 ≥ kvk + (σε − 0, 5) τ νkvx̄ ]|2 =2= kvk −(1 − ε)h2kvx̄ ]|2 .4Отсюда и следует неравенство (1.95), если учесть оценку (1.91).Используя тождество (1.90) и неравенство (1.95), получаем2τ εkut k2 + νkun+1]|2 ≤ νkunx̄ ]|2 + 2τ (ϕn , ut ) .x̄(1.96)Для оценки последнего слагаемого в правой части этого неравенствавоспользуемся ε-неравенством и неравенством Коши — Буняковского:22τ (ϕn , ut ) ≤ 2τ kϕn k · kut k ≤ 2τ ε kut k +2τ2kϕn k .4εТогда из энергетического неравенства (1.96) следуетkux̄n+1 ]|2 ≤ kunx̄ ]|2 +]|2 +≤ kun−1x̄τ2kϕn k ≤2νεn´X°τ ³°2°ϕn−1 °2 + kϕn k2 ≤ .

. . ≤ ku0x̄ ]|2 + τkϕm k .2νε2νε m=032Поскольку u0 = 0, то получаем оценкуkun+1]|2x̄илиτ (n + 1)T2≤· max kϕm k ≤0≤m≤n2νε2νεkun+1]| ≤ Cx̄гдеmax0≤m≤M −1√TC=√,2ν嵶2mmax kϕ k0≤m≤nkϕm k ,σ ≥ σε .√Воспользовавшись неравенством (2.3.17) kukC ≤ 0,√5 lkux̄ ]| из теоремы вложения 2.3.1 и неравенством (2.3.2) kϕm k ≤ l kϕm kC , получимоценку в равномерной норме° n+1 °° ≤ C1 max kϕm k ,°u(1.97)CC0≤m≤M −1где C1 = lC/2.Теорема 1.3 (о равномерной сходимости схемы с весами). Приσ ≥ σε схема с весами (1.5) равномерно сходится.Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку краевые условия и начальные данные в схеме с весами аппроксимируются точно, то погрешностьрешения zh = (u)h − uh является решением следующей задачи с однородными краевыми и начальными условиями¤£zjn+1 − zjn− νΛ σzjn+1 + (1 − σ) zjn = ψjn ,τ n= 0, zj0 = 0,z0n = zN(1.98)где ψjn — погрешность аппроксимации. Для такой задачи из полученнойоценки (1.97) будет следоватьkuh − (u)h kC ≤ C1 max kψ n kC = C1 kψh kFh ,0≤n≤M(1.99)что и означает сходимость схемы в равномерной сеточной норме с соответствующим порядком: kuh − (u)h kC =O(τ + h2 ),если ϕnj = f (xj , tn );³´ O(τ 2 + h2 ), если σ = 0, 5 и ϕn = f x , tn + τ ;jj2=(1.100)O(τ 2 + h4 ), если σ = σ∗³´³´2τhτи ϕnj = f xj , tn ++ fxx xj , tn +.212233ЗАДАЧИ1.1.

Показать, что явная схема (1.26) аппроксимирует задачу (1.3)для однородного уравнения теплопроводности с порядком O(τ + h2 ).При каком законе предельного перехода она будет аппроксимироватьс порядком O(h4 )?1.2. Показать, что при ϕnj = f (xj , tn ) явная схема (1.5) аппроксимирует задачу (1.3) с порядком O(τ + h2 ). Подобрать сеточную функциюϕnj и закон предельного перехода так, чтобы схема аппроксимировалазадачу (1.3) с порядком O(h4 ).1.3.

Найти параметр σ и закон предельного перехода, при которыхдвухслойная схема с весами (1.5)¤£− unjun+1j= νΛ σun+1+ (1 − σ) unj ,jτun0 = µ0 (tn ), unN = µl (tn ),(1.101)u0j = u0 (xj )аппроксимирует задачу (1.3) для однородного уравнения теплопроводности с порядком O(h6 ).1.4. Определить, с каким порядком двухслойная разностная схемаn+1n+1n+1un+1+ unj1 uj−1 − unj−12 uj − unj1 uj+1 − unj+1j++= νΛ,6τ3τ6τ2nnnn(1.102)u0 = µ0 (t ), uN = µl (t ),0uj = u0 (xj )аппроксимирует задачу (1.3) для однородного уравнения теплопроводности.1.5. Определить, с каким порядком двухслойная разностная схемаn+1n+1n+1un+1+ unj1 uj−1 − unj−15 uj − unj1 uj+1 − unj+1j++= νΛ,12τ6τ12τ2nnnnu0 = µ0 (t ), uN = µl (t ),(1.103)0uj = u0 (xj )аппроксимирует задачу (1.3) для однородного уравнения теплопроводности.341.6.