1612725465-eb5831e2a489b993bf8c6c33f84310db (Хакимзянов, Черный - Методы вычислений(часть 3)), страница 2

Например, определение погрешностиаппроксимации ψh = Lh (u)h − fh повторяется дословно (см. § 5 работы[15]). Понятие аппроксимации дифференциальной задачи разностнойсхемой следует подкорректировать с учетом того, что теперь в разностной схеме есть несколько шагов сетки. Пусть Fh — пространство сеточных функций, которому принадлежит правая часть fh схемы. Будемпредполагать, что в этом пространстве введена некоторая норма.Определение. Разностная схема Lh uh = fh аппроксимирует задачу Lu = f на ее решении u(x, t), еслиkψh kFh → 0 при h → 0, τ → 0.Если сверх того имеет место неравенствоkψh kFh ≤ C (τ p + hs ) ,(1.7)где C > 0, p > 0 и s > 0 — некоторые постоянные, не зависящие от τи h, то говорят, что схема аппроксимирует с порядком p по τ и s по h.7Пусть Uh — линейное нормированное пространство сеточных функций uh , определенных на сетке ω̄hτ .

Следующее определение аналогичноопределению 1 из § 7 работы [15].Определение. Разностная схема Lh uh = fh устойчива, если существуют числа h0 > 0, τ0 > 0 и δ > 0 такие, что при любых h < h0 ,τ < τ0 и любом εh ∈ Fh , для которого kεh kFh < δ, разностная задачаLh zh = fh + εh , полученная из исходной разностной схемы добавлениемк правой части возмущения εh , имеет единственное решение zh иkzh − uh kUh ≤ C kεh kFh ,(1.8)где C — некоторая постоянная, не зависящая от h и τ .Это определение дано для произвольного разностного оператора Lh ,в общем случае нелинейного. Если оператор Lh — линейный, то данноеопределение устойчивости равносильно аналогу определения 2 из § 7работы [15].Определение. Разностная схема Lh uh = fh с линейным оператором Lh устойчива, если существуют числа h0 > 0 и τ0 > 0 такие, чтопри любых h < h0 , τ < τ0 и при любом fh ∈ Fh она имеет единственноерешение uh ∈ Uh , причемkuh kUh ≤ C kfh kFh ,(1.9)где C — некоторая постоянная, не зависящая от h и τ .По теореме сходимости (см.

п. 7.3 работы [15]) из аппроксимациии устойчивости следует сходимость схемы с p-м порядком по τи s-м по h:k(u)h − uh kUh ≤ C1 τ p + C2 hs .(1.10)Таким образом, и для разностных схем, предназначенных для решения уравнений с частными производными, изучение сходимости и порядка точности схемы сводится к исследованию погрешности аппроксимации и устойчивости.Приведем пример норм в пространствах Uh и Fh . Вначале мы введемнорму функции на слое. При каждом фиксированном n сеточную функцию uh можно рассматривать как элемент un линейного пространствафункций, определенных на сетке ω̄h .

Норма, введенная в этом пространстве, и называется нормой на временно́м слое tn . Например, равномерная норма на слое определяется формулой¯ ¯kun kC = max ¯unj ¯ .(1.11)j8Тогда равномерную норму сеточных функций из пространств Uh и Fhможно определить так:kuh kUh = maxkun kC ;(1.12)nhikfh kFh = max max|µ0 (tn )|, max|µl (tn )|, k(u0 )h kC , maxkϕn kC , (1.13)nnnгдеk(u0 )h kC = max |u0 (xj )| .j1.3. Погрешность аппроксимации. Поскольку в схеме с весами (1.5) начальные и краевые условия аппроксимируются точно, то порядок аппроксимации схемы будет определяться только невязкой уравнений.

Пусть n ≥ 0 и 0 < j < N . Тогдаψjn =u(xj , tn+1 ) − u(xj , tn )(σ)− νΛuj − ϕnj ,τ(1.14)(σ)где u — достаточно гладкое решение задачи (1.3); uj ≡ u(σ) (xj ):u(σ) (x) = σu(x, tn+1 ) + (1 − σ)u(x, tn ).Оценим порядок погрешности аппроксимации в узле (xj , tn ). Применив формулу Тейлора, получим¡ ¢u(xj , tn+1 ) − u(xj , tn )τ= ut (xj , tn ) + utt (xj , tn ) + O τ 2 ;τ2¡ ¢u(σ) (xj ) = u(xj , tn ) + τ σut (xj , tn ) + O τ 2 ;(σ)(σ)Λuj=(σ)(σ)¡ ¢uj−1 − 2uj + uj+1h2 (σ)(σ)=u(x)+uxxxx (xj ) + O h4 =jxx2h12h2τ σh2uxxxx (xj , tn ) +utxxxx (xj , tn )+1212¡¢+O τ 2 + h4 .= uxx (xj , tn ) + τ σutxx (xj , tn ) +Учитывая, что для решения задачи (1.3) выполняются равенстваut (x, t) = νuxx (x, t) + f (x, t);utxx (x, t) = νuxxxx (x, t) + fxx (x, t);utt (x, t) = ν 2 uxxxx (x, t) + νfxx (x, t) + ft (x, t),9перепишем выражение (1.14) для погрешности аппроксимации в следующем виде:·¸h21h2ψjn = −τ ν 2 σ − +uxxxx − ντ σ utxxxx +2 12τ ν12(1.15)µ¶¡ 2¢1τ4n+f − ϕj − ντ σ −fxx + ft + O τ + h .22В этом равенстве функции u и f , а также их производные вычисляютсяв одной и той же точке (xj , tn ).

Например, f = f (xj , tn ).Из выражения (1.15) следует, что если ϕnj = f (xj , tn ), то ψjn =¡¢O τ + h2 .Для схемы Кранка — Николсон (σ = 0, 5) с правой частью³τ´ϕnj = f xj , tn +2получаемψjn = −ν³¡¢h2h2τ ´ τuxxxx − ντ utxxxx + f − f + ft + ft + O τ 2 + h4 ,122422т. е.¡¢ψjn = O τ 2 + h2 .И наконец, для схемы с весомσ ≡ σ∗ =1h2−2 12τ ν(1.16)и правой частью³³τ ´ h2τ´ϕnj = f xj , tn ++ fxx xj , tn +2122(1.17)погрешность аппроксимации вычисляется по формулеh2utxxxx + f −12µ¶¡¢τh2τ h2τh2− f + ft + fxx +fxxt + fxx + ft + O τ 2 + h4 =21224122ψjn = −ντ σ∗= −ντ σ∗¡¢h2τ h2utxxxx −fxxt + O τ 2 + h4 .122410Отсюда, учитывая неравенствоτ 2 + h4,2¡¢приходим к выводу, что ψjn = O τ 2 + h4 .

Таким образом, при выполнении условий (1.16), (1.17) получается схема повышенного порядкааппроксимации.τ h2 ≤1.4. Принцип максимума. Познакомимся теперь с некоторымиприемами исследования устойчивости эволюционных разностных задач.Начнем изучение этих приемов с метода, основанного на принципе максимума. Этот метод опирается на проверку некоторого неравенства длярешения разностной задачи. Получим это неравенство, рассмотрев в качестве примера полностью неявную разностную схемуun+1− unjj= νΛun+1+ ϕnj ,jτun0 = µ0 (tn ), unN = µl (tn ),u0j = u0 (xj ), j = 0, . .

. , N.j = 1, . . . , N − 1,n = 0, . . . , M − 1,n = 0, . . . , M,(1.18)Пусть сеточная функция un на временно́м слое tn уже вычислена.Тогда для определения un+1 получим разностную задачуn+1nnrun+1+ run+1j−1 − (1 + 2r)ujj+1 = −uj − τ ϕj ,j = 1, . . . , N − 1,un+1= µ0 (tn+1 ), un+1= µl (tn+1 ),0N(1.19)где r = ντ /h2 .

Коэффициенты разностного уравнения этой задачи удовлетворяют условиям (2.2.10) леммы 2.2.1, поэтому в силу леммы 2.2.2задача (1.19) однозначно разрешима. Построим теперь мажоранту длярешения un+1 . Для этого рассмотрим задачуrūj−1 − (1 + 2r)ūj + rūj+1 = − kun kC − τ max kϕn kC ,nū0 = max |µ0 (tn )| ,nūNj = 1, .

. . , N − 1,= max |µl (tn )| .(1.20)nЭта задача также однозначно разрешима, при этом выполнены все условия леммы 2.2.3 (о мажоранте), поэтому функция ū является мажорантой для решения un+1 и, следовательно, выполняются неравенства¯ n+1 ¯¯u¯ ≤ ūj , j = 0, . . . , N.(1.21)j11Согласно теореме 2.2.1, для решения задачи (1.20) справедлива оценкаnomax ūj ≤ max ū0 , ūN , kun kC + τ max kϕn kC .njСледовательно, неравенство (1.21) принимает такой вид° n+1 °°u° ≤Cno≤ max max|µ0 (tn )|, max|µl (tn )|, kun kC + τ max kϕn kC .nnn(1.22)Мы получили оценку (1.22) решения un+1 полностью неявной схемы на (n + 1)-м временно́м слое через заданные граничные значения,правую часть разностного уравнения и норму решения на n-м слое повремени. Полученное неравенство и лежит в основе определения принципа максимума для произвольной эволюционной разностной схемы,аппроксимирующей задачу (1.3).Определение.

Разностная схема удовлетворяет принципу максимума, если для решения uh разностной задачи Lh uh = fh неравенство(1.22) выполняется при всех n = 0, . . . , M − 1.Теорема 1.1. Пусть линейная разностная схема Lh uh = fh удовлетворяет принципу максимума. Тогда она устойчива в равномернойнорме.Д о к а з а т е л ь с т в о. Представим решение задачи Lh uh = fhв виде суммы uh = vh + wh решения vh задачи Lh vh = ηh и решения whзадачи Lh wh = θh , где n0, ϕj ,µ0 (tn ),0,ηh =θh =(1.23)nµ(t),0,lu0 (xj ),0.В силу принципа максимума, для решения первой задачи имеемоценкиno° n+1 °°v° ≤ max max|µ0 (tn )|, max|µl (tn )|, kv n k ;CCnnn°° okv n kC ≤ max max|µ0 (tn )|, max|µl (tn )|, °v n−1 °C ;nn..........................................n° 1°° ° o°v ° ≤ max max|µ0 (tn )|, max|µl (tn )|, °v 0 ° .CCnn12Таким образом,no° n+1 °°v° ≤ max max|µ0 (tn )|, max|µl (tn )|, k(u0 )h k .CCn(1.24)nТакже в силу принципа максимума, для решения второй задачи получим° n+1 °°°°w° ≤ kwn k + τ maxkϕn k ≤ °wn−1 ° + 2τ maxkϕn k ≤ .