1612725465-eb5831e2a489b993bf8c6c33f84310db (Хакимзянов, Черный - Методы вычислений(часть 3))

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТМеханико-математический факультетГ. С. Хакимзянов, С. Г. ЧерныйМЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙЧасть 3. Численные методы решения задачдля уравнений параболического и эллиптическоготиповУчебное пособиеНовосибирск2008ББК В192.162УДК 518.61+517.949Х 162Хакимзянов Г.

С., Черный С. Г. Методы вычислений: В 4 ч.: Учеб.пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2007. Ч. 3: Численные методы решения задач для уравнений параболического и эллиптическоготипов. 160 с.ISBN 978-5-94356-612-7Учебное пособие соответствует программе курса лекций «Методывычислений», который читается на механико-математическом факультете НГУ. В его третьей части излагаются основы численных методоврешения начально-краевых задач для уравнений параболического типаи краевых задач для уравнений эллиптического типа, формулируются задачи для семинарских занятий, приводятся образцы контрольныхработ и заданий для практических занятий на ЭВМ.Пособие предназначено для студентов и преподавателей математических специальностей высших учебных заведений.Издание подготовлено в рамках выполнения инновационно-образовательной программы «Инновационные образовательные программы итехнологии, реализуемые на принципах партнерства классического университета, науки, бизнеса и государства» национального проекта «Образование».Рецензентканд.

физ.-мат. наук А. С. ЛебедевISBN 978-5-94356-612-7c Новосибирский государственный°университет, 2008c Хакимзянов Г. С.,°Черный С. Г., 2008ОГЛАВЛЕНИЕЗадачиПредисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 1. Одномерное уравнение теплопроводностис постоянными коэффициентами . .

. . . . . . . . . . . . . . .§ 2. Метод операторных неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3. Консервативные схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 4. Трехслойные схемы для уравнениятеплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .§ 5. Схемы для уравнения теплопроводностис несколькими пространственными переменными§ 6. Экономичные разностные схемы . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 7. Метод адаптивных сеток. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 8. Метод конечных элементов . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .§ 9. Контрольная работа по теме«Конечно-разностные схемы для уравнениятеплопроводности». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 10. Контрольная работа по теме«Исследование разностных схем для уравнениятеплопроводности». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 11. Задания для лабораторной работы 4 .

. . . . . . . . . . . .§ 12. Задания для лабораторной работы 5 . . . . . . . . . . . . .4537553453636771729110811790106116124125126128133Ответы, указания, решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . 160ПредисловиеВ третьей части пособия изложены основы численных методов решения начально-краевых задач для уравнений параболического типаи краевых задач для уравнений эллиптического типа, сформулированы задачи по этой теме для семинарских занятий, приведены заданиядля практических занятий на ЭВМ и примеры контрольных работ. Этачасть курса осваивается студентами в первой половине шестого семестра.Теоретические вопросы изложены достаточно кратко.

Для более глубокого изучения рассматриваемых вопросов мы рекомендуем обратиться к учебнику С. К. Годунова и В. С. Рябенького [1], а также к книгамГ. И. Марчука [5], А. А. Самарского [9], А. А. Самарского и А. В. Гулина [11], А. А. Самарского и Е. С. Николаева [12] и учебным пособиям,изданным в НГУ [4; 13]. На лекциях рассматриваются теоретические вопросы, связанные только с первой краевой задачей. Задачи с краевымиусловиями второго и третьего рода вынесены на семинарские занятия.Кроме того, такие задачи имеются в заданиях лабораторных занятийна ЭВМ.Каждый параграф сопровождается задачами, которые необходиморешить на семинарских занятиях.

Многие задачи снабжены указаниями и подробными решениями. Дополнительные материалы для этихзанятий можно найти в задачниках [2; 10].В пособии приведены примеры практических заданий, даны основные рекомендации по их выполнению. Обсуждаются вопросы, связанные с представлением результатов. Отметим, что приведенные в пособии задания допускают многочисленные варианты их выполнения, чтопозволит преподавателям сформулировать для каждого студента индивидуальное задание.

Дополнительные задания можно взять из методических пособий [3; 7; 17].Третья часть пособия имеет самостоятельную сквозную нумерациюпараграфов, рисунков и таблиц и самостоятельный библиографическийсписок. Внутри параграфов для формул и утверждений (лемм и теорем) использована двухиндексная нумерация, например 3.2. Ссылки наформулы, леммы, теоремы из первой части пособия [15] или второй[16] даются добавлением спереди к их номеру цифры 1 или 2.

Например, вместо «по формуле (4.2) из пособия [15]» мы пишем «по формуле(1.4.2)», вместо «по теореме 8.3 из пособия [16]» — «по теореме 2.8.3».Доказательство утверждений завершается знаком « ».4§ 1. Одномерное уравнениетеплопроводности с постояннымикоэффициентами1.1. К параболическим уравнениям приводят задачи диффузии(диссипации) тепла, концентрации, импульса, вихря. Например, распространение тепла в стержне, который теплоизолирован на боковойповерхности, но может передавать тепло окружающей среде через своиторцы, описывается уравнением теплопроводностиcρut = (kux )x + f¯,(1.1)где u (x, t) — температура; c — теплоемкость единицы массы; ρ — плотность; k — коэффициент теплопроводности; f¯ — плотность тепловыхисточников (количество тепла, выделяющееся в единицу времени наединице длины).Если коэффициенты c, ρ, k постоянны, то уравнение (1.1) принимаеттакой вид:ut = νuxx + f,(1.2)где ν =kf¯= const > 0, f == f (x, t).cρcρ1.2.

Рассмотрим первую начально-краевую задачу для уравнения(1.2).©Она заключаетсяв отыскании¯ª непрерывной в замкнутой областиD̄ = (x, t) ¯ 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t ≤ T функции u(x, t), которая являетсярешением уравнения (1.2), принимающим при t ∈ [0, T ] заданные значения на концах отрезка [0, l] (краевые условия первого рода) и заданныезначения на всем отрезке [0, l] при t = 0 (начальное условие):ut = νuxx + f (x, t),u (0, t) = µ0 (t) ,u (l, t) = µl (t) ,u (x, 0) = u0 (x) ,0 < x < l,0 ≤ t ≤ T,0 ≤ t ≤ T,0 ≤ x ≤ l.0 < t ≤ T,ν = const > 0,(1.3)Далее всегда будет предполагаться, что начальное и краевые условиязадачи (1.3) согласованы, т. е. выполняются равенстваµ0 (0) = u0 (0),µl (0) = u0 (l).5(1.4)Как и ранее, для компактной записи дифференциальной задачи будем использовать операторное уравнение Lu = f , гдеf (x, t), ut − νuxx , 0 < x < l, 0 < t ≤ T,µ0 (t),u (0, t),0 ≤ t ≤ T,Lu ≡f=u(l,t),0≤t≤T,µl (t),u (x, 0),0 ≤ x ≤ l,u0 (x).Для построения разностной схемы введем равномерную сетку на отрезке [0, l]:© ¯ªω̄h = xj ¯ xj = jh, j = 0, .

. . , N , h = l/N ;равномерную сетку на отрезке [0, T ]:© ¯ªω̄τ = tn ¯ tn = nτ, n = 0, . . . , M ,τ = T /Mи сетку на D̄:¯©ªω̄hτ = ω̄h × ω̄τ = (xj , tn ) ¯ xj ∈ ω̄h , tn ∈ ω̄τ .Пусть unj — значение в узле (xj , tn ) сеточной функции uh , определенной на сетке ω̄hτ . Заменим входящие в дифференциальное уравнениепроизводные следующими разностными отношениями:ut (xj , tn ) ∼un+1− unjj,τuxx (xj , tn ) ∼ unx̄x,j ≡ Λunj .Функцию f непрерывных аргументов x и t заменим некоторой сеточнойфункцией ϕf (xj , tn ) ∼ ϕnj .Для численного решения задачи (1.3) будем использовать схему с весами¤£un+1− unjj= νΛ σun+1+ (1 − σ) unj + ϕnj ,jτun0 = µ0 (tn ),unN = µl (tn ),u0j = u0 (xj ),n = 0, .

. . , M − 1,j = 1, . . . , N − 1,n = 0, . . . , M,n = 0, . . . , M,j = 0, . . . , N,где σ — произвольный вещественный параметр (вес схемы).6(1.5)Схема (1.5) содержит значения искомой функции uh на двух соседних слоях по времени и потому называется двухслойной. При σ = 0 схема называется явной, поскольку значение un+1на (n + 1)-м временно́мjслое находится по явной формуле через значения решения на n-м слое.При σ 6= 0 получаем неявную схему, в которой на (n + 1)-м временно́мn+1слое связаны три неизвестных значения un+1и un+1j−1 , ujj+1 .

Неявнаясхема при σ = 1 называется полностью неявной схемой. Неявная схемас весом σ = 0, 5 называется схемой Кранка — Николсон.Разностную задачу (1.5) также будем записывать в операторном видеLh uh = fh ,(1.6)где n+1¤£uj − unj− νΛ σun+1+ (1 − σ) unj ,jτun0 ,Lh uh = unN , 0uj , nϕ , j nµ0 (t ),fh =µ (tn ), lu0 (xj ).Все понятия, которыми мы пользовались при изучении разностныхсхем для обыкновенных дифференциальных уравнений, переносятсяи на разностные схемы, предназначенные для численного решения уравнений с частными производными.