1612725465-eb5831e2a489b993bf8c6c33f84310db (Хакимзянов, Черный - Методы вычислений(часть 3)), страница 4

По лемме2r1.8.4 общее решение уравнения (1.45) задается формулойuj = α Reµj + β Imµj = α cos jϕ + β sin jϕ,j = 0, ±1, ±2, . . . . (1.49)Это решение является ограниченным при любых постоянных коэффициентах α и β. Собственные функции (1.49) соответствуют собственнымзначениямϕλ = λ(ϕ) = 1 − 2r + 2r cos ϕ = 1 − 4r sin2 ,(1.50)219где 0 < ϕ < π. Отметим, что собственные функции (1.46), (1.47) и собственные значения (1.48) тоже можно описать формулами (1.49), (1.50),если в последних положить ϕ = 0 и ϕ = π.Итак, мы установили, что ограниченные собственные функции оператора перехода описываются формулой (1.49), а соответствующие имсобственные значения задаются формулой (1.50).Пусть в схеме (1.34) шаги сетки τ и h связаны законом предельного перехода (1.30).

Тогда собственные числа λ (ϕ) не зависят от τ ,и, следовательно, спектральный признак устойчивости (1.42) сводитсяк требованию|λ (ϕ)| ≤ 1(1.51)илиϕ≤ 1,∀ϕ ∈ [0, π].2Очевидно, что это неравенство эквивалентно условию−1 ≤ 1 − 4r sin2τ≤h2.2ν(1.52)Итак, условие (1.52) необходимо для устойчивости явной схемы, аппроксимирующей задачу Коши. Но на практике мы решаем задачив ограниченной области и потому нас интересует необходимое условиеустойчивости разностных схем, предназначенных для решения начально-краевых задач, а не задачи Коши.

В предыдущем пункте мы получили необходимое условие устойчивости (1.27) явной схемы, аппроксимирующей начально-краевую задачу. Видим, что полученные условия(1.27) и (1.52) совпали. Всегда ли будут совпадать необходимые условияустойчивости разностной схемы для решения начально-краевой задачии той же схемы, но для задачи Коши? Для некоторых схем такое совпадение обосновать не трудно, но в общем случае — это не простой вопрос,требующий глубокого исследования (подробнее см.

работу [1]). На практике полученный для неограниченной области необходимый признакустойчивости применяют следующим образом. Если для некоторой схемы, аппроксимирующей задачу Коши, признак (1.42) не выполняется,то эта схема признается непригодной и для решения начально-краевойзадачи.Замечание. Необходимое условие устойчивости (1.52) было получено в результате решения задачи на собственные значения для оператора перехода Rh . При этом нам пришлось проделать довольно большую20работу по исследованию корней характеристического уравнения (1.44).Между тем собственные значения (1.50) оператора перехода Rh можно получить проще.

Этот простой способ заключается в следующем.В качестве начальной функции в схеме (1.34) берется гармоникаu0j = eijϕ ,j = 0, ±1, . . .(1.53)и решение задачи (1.34) ищется в видеunj = λn eijϕ .(1.54)Множитель перехода λ = λ(ϕ) определяется в результате подстановкивыражения (1.54) в однородное разностное уравнение (1.34):λn ei(j−1)ϕ − 2λn eijϕ + λn ei(j+1)ϕλn+1 eijϕ − λn eijϕ=ν.τh2Из получающегося отсюда соотношенияλ−1e−iϕ − 2 + eiϕ=ντh2следует, что множители перехода λ(ϕ) вычисляются по той же формуле(1.50), что и собственные значения оператора Rh .Описанный способ вычисления множителей перехода мы будем неоднократно использовать в дальнейшем при исследовании устойчивостиразностных схем с постоянными коэффициентами.1.6. Устойчивость в среднеквадратичной норме.

До сих пормы рассматривали вопросы устойчивости схем в равномерной норме.Сейчас мы исследуем устойчивость схемы с весами в среднеквадратичной сеточной норме, при этом будет использоваться представление решения в виде конечного ряда Фурье.Чтобы воспользоваться результатами § 4 из работы [16], перейдемот исходной схемы (1.5) к схеме с однородными краевыми условиями.Для этого используем тот же прием, который применялся для стационарного уравнения теплопроводности в § 8 работы [16], а именно введемсеточную функциюvjn = µ0 (tn ) +xj(µl (tn ) − µ0 (tn ))l21(1.55)и рассмотрим разность zjn = unj − vjn .

Легко проверить, что функция zjnявляется решением следующей задачи с однородными краевыми условиями:£¤zjn+1 − zjnvjn+1 − vjn= νΛ σzjn+1 + (1 − σ) zjn + ϕnj −,ττnz0n = 0, zN= 0,(1.56)zj0 = u0 (xj ) − vj0 .Отметим, что в силу условий согласования (1.4) выполняются равен0= 0. Таким образом, далее вместо схемы (1.5) мы можемства z00 = zNисследовать схему с весами с однородными краевыми условиямив которой£¤un+1− unjj= νΛ σun+1+ (1 − σ) unj + ϕnj ,jτun0 = 0, unN = 0,u0j = u0 (xj ),(1.57)u00 = u0N = 0.(1.58)Обозначим через Hh линейное пространство сеточных функций, определенных на одномерной сетке ω̄h и принимающих нулевые значенияв граничных узлах x0 = 0 и xN©= l.ª При каждом фиксированном значении n сеточные функции un = unj являются элементами пространстваHh . В силу равенств (1.58), начальная функция u0 также принадлежитпространству Hh .В пространстве Hh введем среднеквадратичную нормуp(1.59)kuk = (u, u),где(u, v) =N−1Xuj vj h.j=1Эту норму мы будем использовать для оценки сеточных функций наразных временны́х слоях, поэтому норму (1.59), как и введенную ранеенорму (1.11), назовем нормой на слое.

Но в отличие от нормы (1.12)теперь норму сеточных функций из пространства Uh введем так:kuh kUh = max kun k.0≤n≤M22(1.60)Исследуем сначала устойчивость схемы с весами (1.57) с нулевойправой частью£¤un+1− unjj= νΛ σun+1+ (1 − σ) unj ,jτun0 = unN = 0, u0j = u0 (xj ).(1.61)Определение. Схема (1.57) называется устойчивой по начальнымданным, если для решения задачи (1.61) верна оценка° °(1.62)kuh kUh ≤ C1 °u0 °,где C1 — положительная постоянная, не зависящая от h и τ .Для исследования устойчивости схемы (1.57) по начальным даннымнайдем решение разностной задачи (1.61) и оценим его в норме (1.60).Как мы знаем, собственные функции u(k) (k = 1, . .

. , N − 1) оператора◦A второй разностной производной (2.4.2), определенного на множествесеточных функций Hh , задаются формулой (2.4.5)rµ¶kπxj2(k)uj =sin, j = 0, . . . , N(1.63)llи образуют ортонормированный базис в Hh (см. леммы 2.4.3 и 2.4.4). Начальная функция u0 принадлежит пространству Hh , поэтому ее можнопредставить в виде конечного ряда Фурьеu0 =N−1X0T(k)u(k) .(1.64)k=1Согласно лемме 2.4.4 о разложении сеточных функций пространства0Hh величины T(k)— это коэффициенты Фурье разложения функции u0в конечный ряд Фурье по базису u(k) , т. е.³´0T(k)= u0 , u(k) .На каждом временно́м слое решение задачи (1.61) принадлежит пространству Hh , поэтому функцию un также можно представить в видеконечного ряда ФурьеN−1Xnnu =T(k)u(k)(1.65)k=123nс неизвестными коэффициентами T(k).

Для их определения подставимразложение (1.65) в разностное уравнение схемы (1.61):"#N−1 T n+1 − T nX(k)(k)n+1n+ νσλk T(k) + ν(1 − σ)λk T(k) u(k) = 0,τk=1◦где λk — собственные значения оператора A, соответствующие собственным функциям u(k)µ¶4kπhλk = 2 sin2, k = 1, . . . , N − 1.(1.66)h2lВ силу линейной независимости функций u(k) , выражение в квадратныхскобках равно нулю и, следовательно,n−1n0= qk T(k)= . . . = qkn T(k),T(k)гдеqk =1 − (1 − σ) τ νλk.1 + στ νλk(1.67)Итак, функция (1.65) удовлетворяет разностному уравнению, начальному условию и однородным краевым условиям и, следовательно,является решением рассматриваемой разностной задачи (1.61).Лемма 1.3. Для схемы с весами (1.57) выполнение условияσ≥1h2−≡ σ02 4τ ν(1.68)достаточно для ее устойчивости по начальным данным.Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что при условии (1.68) справедливо неравенство|qk | < 1.(1.69)В самом деле, используя выражение (1.67) для qk , получаемqk = 1 −τ νλk.1 + στ νλk(1.70)◦Учитывая условие (1.68) и оценку собственных значений оператора A(см.

лемму 2.4.1)84≤ λk < 2 ,(1.71)2lh24приходим к неравенствам1 + στ νλk ≥ 1 +τ νλkh2τ νλk− λk >> 0.242Тогда, во-первых, qk < 1, а во-вторых,τ νλk< 2,1 + στ νλkт. е. неравенство (1.69) действительно выполняется.Оценим теперь решение (1.65) схемы (1.61), используя равенствоПарсеваля (2.4.22) и доказанное неравенство (1.69):−1 ³−1 ³−1 ³´2 NX´2 NX´2° n+1 °2 NX2n+1nn°u° =T(k)=qk T(k)≤= kun k .T(k)k=1Тогдаk=1k=1° n+1 °°°° ° ° °°u° ≤ kun k ≤ °un−1 ° ≤ .

. . ≤ °u0 ° = °u0 °,т. е. справедлива оценка° °kun k ≤ °u0 °,n = 1, . . . , M,означающая, согласно определению (1.62), устойчивость разностнойсхемы по начальным данным с постоянной C1 = 1.Следствие 1. Выполнение условияτ≤h22ν(1.72)достаточно для устойчивости явной схемы по начальным даннымв среднеквадратичной норме.Д о к а з а т е л ь с т в о. Для явной схемы σ = 0, поэтому достаточноеусловие устойчивости (1.68) схемы с весами принимает вид неравенства(1.72).Следствие 2. При σ ≥ 0, 5 схема с весами абсолютно устойчива по начальным данным.

При σ < 0, 5 схема с весами устойчива поначальным данным, если шаг по времени удовлетворяет условиюτ≤h2.2ν (1 − 2σ)25(1.73)Д о к а з а т е л ь с т в о. При σ ≥ 0, 5 достаточное условие устойчивости (1.68) выполняется при любых τ и h, т. е. схема абсолютно устойчива. Легко проверить, что для σ < 0, 5 условие (1.68) эквивалентновыполнению неравенства (1.73).Следствие 3.

Схема повышенного порядка аппроксимации устойчива по начальным данным в среднеквадратичной норме.Д о к а з а т е л ь с т в о. Схема повышенного порядка аппроксимацииполучается при1h2σ = σ∗ ≡ −.(1.74)2 12τ νПоскольку σ∗ > σ0 , то схема повышенного порядка аппроксимацииустойчива.Теперь приме́ним метод разложения в конечные ряды Фурье дляисследования устойчивости схемы с весами (1.57) по правой части. Дляэтого рассмотрим схему (1.57) с нулевыми начальными условиями£¤un+1− unjj= νΛ σun+1+ (1 − σ) unj + ϕnj ,jτun0 = unN = 0, u0j = 0,(1.75)предполагая при этом, что ϕn ∈ Hh .Схему (1.75) можно записать в виде Lh uh = fh , где сеточная функция fh имеет такой же вид, как функция θh ∈ Fh из формулы (1.23).В пространстве Fh правых частей необходимо ввести норму.

В отличиеот равномерной нормы (1.13), теперь будем использовать следующую:kfh kFh = max kϕn k.n(1.76)Определение. Схема (1.57) называется устойчивой по правой части, если для решения задачи (1.75) верна оценкаkuh kUh ≤ C2 max kϕn k,n(1.77)где C2 — положительная постоянная, не зависящая от h и τ .Найдем решение разностной задачи (1.75) и оценим его. Решениебудем искать в виде конечного ряда Фурье (1.65). Правую часть ϕnтакже разложим по базису {u(k) }:nϕ =N−1Xk=126ϕnk u(k) .Подставим эти разложения в схему (1.75):"#N−1 T n+1 − T nX(k)(k)n+1nn+ νσλk T(k) + ν(1 − σ)λk T(k) − ϕk u(k) = 0.τk=1В силу линейной независимости функций u(k) , выражение в квадратныхскобках равно нулю и, следовательно,n+1n(1 + νστ λk ) T(k)= [1 − (1 − σ)ντ λk ] T(k)+ τ ϕnkилиn+1nT(k)= qk T(k)+τ ϕnk,1 + νστ λkгде qk вычисляется по формуле (1.67).Таким образом,un+1j=N−1Xn+1 (k)T(k)ujk=1=N−1X(k)nqk T(k)ujk=1+τN−1Xk=1ϕnk(k)u .1 + νστ λk j(1.78)Лемма 1.4.