1612725465-eb5831e2a489b993bf8c6c33f84310db (Хакимзянов, Черный - Методы вычислений(часть 3)), страница 8

Известна [8]Теорема (о квадратном корне из оператора). Существует единственный положительный самосопряженный квадратный корень A1/2из любого положительного самосопряженного оператора A, перестановочный со всяким оператором, перестановочным с A.Далее будем предполагать, что в уравнении (2.29) A и B — самосопряженные операторы и A — положительный оператор, т. е.

A = A∗ > 0,B = B ∗ . По теореме о квадратном корне существует оператор A1/2 , который является положительным и самосопряженным. Подействуем наобе части уравнения (2.29) оператором A1/2 B −1 . В результате получимуравнение(A1/2 u)t + (A1/2 B −1 A1/2 )A1/2 un = 0.Обозначив x = A1/2 u, перепишем последнее уравнение в видеxn+1 = Sxn ,n = 0, 1, . . . ,(2.32)где S = E − τ A1/2 B −1 A1/2 .Лемма 2.1.

Для ρ-устойчивости схемы в HA необходимо и достаточно выполнение оценкиkSk ≤ ρ.(2.33)Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу самосопряженности оператора A1/2для функций u и x = A1/2 u справедливо равенствоkxk = kukA .В самом деле,kxk =p(x, x) =(2.34)qp(A1/2 u, A1/2 u) = (Au, u) = kukA .Достаточность. Пусть kSk ≤ ρ и un — произвольный элемент изHh .

Тогда° n+1 °°x° = kSxn k ≤ ρkxn kи на основе равенства (2.34) получаем, что° n+1 °°u° ≤ ρkun k ,AAт. е. схема устойчива в HA с постоянной ρ.47(2.35)Необходимость. Пусть xn ∈ Hh — произвольный элемент пространства Hh . В силу положительности оператора A1/2 существует единственное решение un уравнения A1/2 un = xn . Поскольку схема ρ-устойчива в HA , то выполнена оценка (2.35), следовательно, и оценка° n+1 °°x° ≤ ρkxn k.В силу равенства xn+1 = Sxn получаемkSxn k ≤ ρkxn k.Отсюда ввиду произвольности xn ∈ Hh следует неравенство kSk ≤ ρ.Лемма доказана.Лемма 2.2.

Пусть L и Q — операторы, действующие в Hh , причем оператор L−1 : Hh → Hh существует. Тогда операторные неравенства Q ≥ 0 и L∗ QL ≥ 0 эквивалентны.Д о к а з а т е л ь с т в о следует из тождества(L∗ QLu, u) = (QLu, Lu) = (Qv, v),где v = Lu и u = L−1 v.Лемма 2.3. Пусть Q : Hh → Hh — самосопряженный положительный оператор. Тогда и Q−1 является таким же.Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку Q > 0, то обратный операторQ−1 существует и ∀u ∈ Hh , u 6= 0(Q−1 u, u) = (v, Qv) = (Qv, v) > 0,где v = Q−1 u, т. е. Q−1 является положительным оператором. Крометого, для любых u, v ∈ Hh(Q−1 u, v) = (Q−1 u, QQ−1 v) = (Q∗ Q−1 u, Q−1 v) = (u, Q−1 v),(2.36)т. е.

Q−1 — самосопряженный оператор.Лемма 2.4. Пусть A и B — самосопряженные положительныеоператоры, α и β — любые действительные числа. Тогда эквивалентныоператорные неравенстваαA ≥ βB(2.37)иαB −1 ≥ βA−1 .48(2.38)Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме о квадратном корне существуетсамосопряженный положительный оператор B 1/2 . Согласно лемме 2.3,¡¢−1обратный оператор B 1/2также является самосопряженным и по¡¢−1ложительным.

Умножая неравенство (2.37) с обеих сторон на B 1/2,согласно лемме 2.2 получаем неравенство, эквивалентное (2.37)³´−1³´−1 ³´−1³´−1≥ β B 1/2B 1/2 B 1/2 B 1/2,A B 1/2α B 1/2т. е.αC ≥ βE,(2.39)¡¢−1 ¡ 1/2 ¢−1где C = B 1/2A B. Поскольку A > 0, то из леммы 2.2 следует, что и C > 0.

Кроме того, непосредственно проверяется, что C = C ∗ .Следовательно, существует корень квадратный C 1/2 — самосопряжен¡¢−1ный положительный оператор и обратный оператор C 1/2, такжеявляющийся самосопряженным и положительным. Поэтому согласнолемме 2.2 неравенство (2.39) эквивалентно следующему:αE ≥ βC −1илиµ³αE ≥ βB1/2´−1³A B1/2´−1 ¶−1.Поэтому исходное неравенство (2.37) будет эквивалентно неравенствуαE ≥ βB 1/2 A−1 B 1/2 ,которое после умножения с обеих сторон на самосопряженный опера¡¢−1тор B 1/2переходит, согласно лемме 2.2, в эквивалентное неравенство (2.38).2.8.

Необходимое и достаточное условие устойчивостиТеорема 2.7. Пусть в схеме (2.2) A и B — положительные, самосопряженные и постоянные операторы. Тогда для ρ-устойчивостисхемы в HA по начальным данным необходимо и достаточно выполнения неравенства1−ρ1+ρB≤A≤B.(2.40)ττ49Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем вначале, что оператор переходаS из уравнения (2.32) является самосопряженным оператором:(Sx, y) = ((E − τ A1/2 B −1 A1/2 )x, y) = (x, y) − τ (A1/2 B −1 A1/2 x, y) == (x, y) − τ (x, A1/2 B −1 A1/2 y) = (x, (E − τ A1/2 B −1 A1/2 )y) = (x, Sy).Здесь мы использовали свойство самосопряженности оператора B −1(см. лемму 2.3) и квадратного корня A1/2 .Перейдем теперь от неравенства (2.33) к эквивалентным неравенствам между операторами исходной схемы. По теореме о норме самосопряженного оператора условие kSk ≤ ρ из леммы 2.1 эквивалентнотребованию2|(Sx, x)| ≤ ρkxk , ∀x ∈ Hh .В виде операторных неравенств последнее неравенство записываетсятак−ρE ≤ S ≤ ρE,или−ρE ≤ E − τ A1/2 B −1 A1/2 ≤ ρE,где E — единичный оператор.

Отсюда получаем1−ρ1+ρE ≤ A1/2 B −1 A1/2 ≤E.(2.41)ττУмножим это неравенство с обеих сторон на положительный самосо¡¢−1пряженный оператор A1/2. Используя лемму 2.2, получаем1 − ρ −11 + ρ −1A ≤ B −1 ≤A .ττВ силу леммы 2.4, неравенства (2.42) могут быть обращены:(2.42)1−ρ1+ρB≤A≤B.ττТаким образом, доказано, что выполнение операторных неравенств(2.40) является необходимым и достаточным условием устойчивостисхемы.Если 1 ≤ ρ ≤ 1 + C0 τ , то левое неравенство (2.40) будет выполнятьсяавтоматически и для устойчивости необходимо и достаточно выполнения неравенстваτB≥A.(2.43)1+ρТеорема доказана.502.9.

Схема с весами (общий случай). Запишем схему с весамиut + A[σun+1 + (1 − σ)un ] = 0(2.44)в канонической форме (E + στ A)ut + Aun = 0 илиBut + Aun = 0,(2.45)где B = E + στ A.Пусть A = A∗ > 0 — линейный постоянный оператор. ТогдаkAk = sup(Ax, x)x6=02kxk> 0.(2.46)Очевидно, что B = B ∗ . Пустьσ>−1.τ kAk(2.47)Тогда для произвольного x ∈ Hh , x 6= 0 будем иметь(Bx, x) > (x, x) −´(Ax, x)1 ³2=kxk kAk − (Ax, x) ≥ 0,kAkkAkт. е.

при условии (2.47) оператор B является положительным и условиятеоремы 2.7 выполняются.Рассмотрим устойчивость с ρ = 1. В силу теоремы 2.7, необходимоеи достаточное условие устойчивости схемы (2.45) в HA представляетсяв виде неравенства B = E + στ A ≥ 0, 5τ A илиE + (σ − 0, 5)τ A ≥ 0.(2.48)При σ ≥ 0, 5 это неравенство выполнено всегда, так как A > 0, т. е.схема в этом случае абсолютно устойчива.Пусть теперь σ < 0, 5.

Неравенство (2.48) эквивалентно выполнениюдля произвольного x следующего неравенства:τ (0, 5 − σ)(Ax, x) ≤ (x, x),или1(Ax, x)≤.(x, x)τ (0, 5 − σ)51(2.49)Таким образом, при σ < 0, 5 операторное неравенство (2.48) эквивалентно числовому неравенствуkAk ≤илиσ≥1τ (0, 5 − σ)11−.2 τ kAk(2.50)Очевидно, что если σ удовлетворяет условию (2.50), то условие (2.47)также выполняется и оператор B будет положительным.Сформулируем полученный результат в виде следствия из теоремы 2.7.Следствие 1. Пусть A = A∗ > 0.

Тогда при σ ≥ 0, 5 схема с весами (2.44) абсолютно устойчива. При σ < 0, 5 для устойчивости этойсхемы необходимо и достаточно выполнения условия (2.50).2.10. Схема с весами для уравнения теплопроводности. Теперь пусть схема с весами (2.44) аппроксимирует уравнение теплопроводностиut = νuxx .(2.51)◦◦Для этого случая A = ν A, где A u = −ux̄x , u0 = uN = 0.◦Оператор A является положительно определенным и самосопряженным. Его норма равна максимальному собственному значению (см. задачу 2.1):µ ¶°◦°πh4° °2.(2.52)°A° = λN −1 = 2 cosh2lСледовательно, оператор A также является положительно определенным и самосопряженным иµ ¶° ◦ ° 4νπh° °2kAk = ν °A° = 2 cos.h2lТаким образом, получилиСледствие 2.

При σ ≥ 0, 5 схема с весами для уравнения теплопроводности абсолютно устойчива. При σ < 0, 5 для устойчивостисхемы в HA необходимо и достаточно выполнение условияσ ≥ σ̂0 =1−2h2µ ¶.πh4τ ν cos22l52(2.53)Отметим, что полученное в лемме 1.5 достаточное условие устойчивости1h2σ ≥ σ0 = −> σ̂0(2.54)2 4τ νявляется хорошим приближением к необходимому и достаточному условию (2.53).ЗАДАЧИРешение некоторых из приведенных ниже задач непосредственновытекает из следствия 2. Предлагается, однако, решать эти задачи с помощью теоремы 2.7, проверяя все ее условия. Устойчивость исследоватьдля постоянной ρ = 1.

Из теоремы 2.7 следует, что для такой постояннойнеобходимое и достаточное условие устойчивости схемы по начальнымданным в HA заключается в выполнении неравенстваτB ≥ A.(2.55)2◦2.1. Доказать, что для вычисления нормы оператора A можно использовать формулу (2.52).2.2. С помощью метода операторных неравенств найти необходимоеи достаточное условие устойчивости по начальным данным явной схемыun+1− unjj= νΛunj + fjn , j = 1, . . . , N − 1,τnnu0 = 0, uN = 0, u0j = u0 (xj ),(2.56)аппроксимирующей первую начально-краевую задачуut = νuxx + f (x, t), 0 < x < l, 0 < t ≤ T, ν = const > 0,u (0, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T,u (l, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T,u (x, 0) = u0 (x) , 0 ≤ x ≤ l, u0 (0) = 0, u0 (l) = 0.(2.57)2.3. С помощью метода операторных неравенств исследовать устойчивость по начальным данным неявной схемыun+1− unjj= νΛun+1+ fjn+1 , j = 1, .

. . , N − 1,jτun0 = 0, unN = 0, u0j = u0 (xj ),аппроксимирующей начально-краевую задачу (2.57).53(2.58)2.4. С помощью метода операторных неравенств исследовать устойчивость по начальным данным схемы Кранка — Николсон³ un+1 + un ´un+1− unjjjjn+1/2= νΛ+ fj,τ2nn0u0 = 0, uN = 0, uj = u0 (xj ),j = 1, . . . , N − 1,(2.59)аппроксимирующей начально-краевую задачу (2.57).2.5. С помощью метода операторных неравенств найти необходимоеи достаточное условие устойчивости по начальным данным конечноразностной схемы11ut,j+1 + ut,j−1 = νΛun+1+ fjn+1 ,j22un0 = 0, unN = 0, u0j = u0 (xj ),j = 1, .

. . , N − 1,(2.60)аппроксимирующей начально-краевую задачу (2.57).2.6. С помощью метода операторных неравенств исследовать устойчивость по начальным данным схемы³ un+1 + un ´211jjn+1/2ut,j−1 + ut,j + ut,j+1 = νΛ+ fj,6362un0 = 0, unN = 0, u0j = u0 (xj ),(2.61)аппроксимирующей начально-краевую задачу (2.57).2.7. С помощью метода операторных неравенств исследовать устойчивость по начальным данным схемы³ un+1 + un ´151jjn+1/2ut,j−1 + ut,j + ut,j+1 = νΛ+ fj,126122un0 = 0, unN = 0, u0j = u0 (xj ),аппроксимирующей начально-краевую задачу (2.57).54(2.62)§ 3.