1612725465-eb5831e2a489b993bf8c6c33f84310db (Хакимзянов, Черный - Методы вычислений(часть 3)), страница 6

Построить явную схему, аппроксимирующую начально-краевуюзадачуut = νuxx + f (x, t), 0 < x < l, 0 < t ≤ T, ν = const > 0,ux (0, t) + γu (0, t) = µ0 (t) , 0 ≤ t ≤ T, γ = const ≤ 0,u (l, t) = µl (t) , 0 ≤ t ≤ T,u (x, 0) = u0 (x) , 0 ≤ x ≤ l(1.104)с порядком O(τ + h2 ). Рассмотреть два способа аппроксимации производной ux (0, t) из краевого условия в точке x = 0: на двухточечномшаблоне и на трехточечном. Описать алгоритм получения численногорешения.1.7.

Построить полностью неявную схему, аппроксимирующую начально-краевую задачу (1.104) с порядком O(τ + h2 ). Рассмотреть дваспособа аппроксимации производной ux (0, t): на двухточечном шаблонеи на трехточечном. Описать алгоритм получения численного решения.1.8.

Используя принцип максимума, найти достаточное условие устойчивости в равномерной норме схемы с весами (1.5) для одномерногоуравнения теплопроводности при 0 ≤ σ ≤ 1.1.9. С помощью спектрального метода Неймана показать, что дляполностью неявной двухслойной схемыn+1un+1− unjun+1+ un+1jj−1 − 2ujj+1=ν+ ϕn+1,jτh2u0j = u0 (xj ), n = 0, ..., M − 1, j = 0, ±1, ±2, . . .(1.105)необходимый спектральный признак устойчивости (1.42) по начальнымданным выполняется при любом законе предельного перехода.1.10. С помощью спектрального метода Неймана получить необходимое условие устойчивости по начальным данным двухслойной схемыс весом 0 ≤ σ ≤ 1:£¤un+1− unjj= νΛ σun+1+ (1 − σ) unj ,jτu0j = u0 (xj ), n = 0, ..., M − 1, j = 0, ±1, ±2, .

. . .(1.106)1.11. С помощью метода Фурье найти решение разностной задачиun+1− unjj= νΛunj ,τun0 = 0, unN = 0,u0j = u0 (xj ),j = 1, . . . , N − 1,xj = jh, h = 1/N,35(1.107)аппроксимирующей начально-краевую задачу для однородного уравнения теплопроводностиut = νuxx , 0 < x < 1, 0 < t ≤ T, ν = const > 0,u (0, t) = 0, u (1, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T,u (x, 0) = u0 (x) = sin(πx), 0 ≤ x ≤ 1.(1.108)1.12.

С помощью метода Фурье найти решение разностной задачи,аппроксимирующей начально-краевую задачу для однородного уравнения теплопроводностиun+1− unjj= νΛunj ,τun0 = 0, unN = 0,j = 1, . . . , N − 1,(1.109)1u0j = u0 (xj ) = sin(πxj ) − sin(2πxj ),2xj = jh, h = 1/N.1.13. С помощью метода Фурье найти решение разностной задачи,аппроксимирующей начально-краевую задачу для одномерного уравнения теплопроводностиun+1− unjj= νΛunj + sin(3πxj ), j = 1, .

. . , N − 1,τun0 = 0, unN = 0, n = 0, . . . , M,u0j = u0 (xj ) = sin(πxj ),(1.110)xj = jh, h = 1/N.1.14. С помощью метода Фурье найти решение разностной задачи,аппроксимирующей начально-краевую задачу для одномерного уравнения теплопроводностиun+1− unjj= νΛunj ,τun0 = 1, unN = 0,j = 1, . . . , N − 1,(1.111)u0j = u0 (xj ) = 1 − x2j ,xj = jh, h = 1/N.1.15. Докажите, что схема (1.102) абсолютно устойчива по начальным данным в среднеквадратичной норме.1.16. Докажите, что схема (1.103) абсолютно устойчива по начальным данным в среднеквадратичной норме.36§ 2. Метод операторных неравенств2.1. Каноническая форма двухслойных схем.

В предыдущемпараграфе рассмотрены некоторые методы исследования устойчивостисхемы с весами, аппроксимирующей задачу для уравнения теплопроводности с постоянным коэффициентом ν. В данном параграфе мы познакомимся с достаточно универсальным аппаратом исследования устойчивости произвольных двухслойных схем, записанных в специальномвиде — канонической формеun+1 − un+ A(tn )un = ϕn ,τu0 − заданоB(tn )n = 0, 1, . . . ,(2.1)(индекс j опущен). Предполагается, что A и B являются линейнымиоператорами, заданными на линейном пространстве Hh сеточных функций, определенных на одномерной сетке ω̄h , un ∈ Hh , u0 ∈ Hh .

Операторы A и B могут зависеть от tn . Тогда они называются переменными.Операторы, не зависящие от tn , будем называть постоянными операторами.Оказывается, что при определенных неравенствах между операторами A и B схема будет устойчивой. Таким образом, метод операторныхнеравенств для исследования устойчивости схем основан на приведениисхемы к канонической форме и проверке выполнения некоторых неравенств для операторов A и B.Далее каноническую форму (2.1) двухслойной схемы будем записывать в более компактном видеBut + Aun = ϕn ,u0 − задано,n = 0, 1, .

. . ,(2.2)гдеun+1 − un.τПример. Запишем в канонической форме (2.2) двухслойную схемус весами (1.84) для уравнения теплопроводности (1.2). Для этого достаточно учесть тождество (1.86), переписать разностное уравнение схемыut =ut − νσΛun+1 − ν(1 − σ)Λun = ϕnв видеut − νστ Λut − νΛun = ϕn37(2.3)и ввести операторыA = −νΛ,B = E + στ A.(2.4)Определение. Если оператор B является тождественным(B ≡ E), то схема (2.2) называется явной, в противном случае —неявной.Из формулы (2.4) следует, что в общем случае схема с весами является неявной. Она превращается в явную при σ = 0.2.2. Общее определение устойчивости.

Рассмотрим произвольную двухслойную схему (2.2). Начальный вектор u0 и правая часть ϕnназываются входными данными задачи. Пусть kun k(1) — норма на слоедля сеточных функций из пространства Hh , kϕn k(2) — норма на слоедля функций из правой части разностных уравнений.Определение. Двухслойная схема (2.2) называется устойчивой,если существуют положительные постоянные M1 и M2 , не зависящиеот τ , h и входных данных задачи, такие, что при достаточно малыхτ и h и любых u0 и ϕn решение un схемы существует, единственнои для всех n = 1, . . .

, M удовлетворяет неравенству° °kun k(1) ≤ M1 °u0 °(1) + M2 kϕk(2) ,(2.5)¡¢где kϕk(2) — некоторая норма для функции ϕ = ϕ0 , . . . , ϕn−1 , вычис° k°ленная по нормам °ϕ °(2) на слоях с номерами k = 0, . . . , n − 1.Далее мы всегда будем предполагать, что решение задачи (2.2) существует и единственно. Поэтому для доказательства устойчивости будетдостаточно проверить выполнение оценки (2.5).Замечание. В качестве нормы kϕk(2) могут использоваться, например, следующие:° °kϕk(2) = max °ϕk °(2) ;(2.6)0≤k≤n−1kϕk(2) =n−1X° °τ °ϕk °(2)(2.7)k=0илиkϕk(2)Ãn−1!1/2X ° °2τ °ϕk °(2)=.k=038(2.8)Приведенная оценка (2.5) означает устойчивость схемы по начальным данным и правой части.

В предыдущем параграфе из частных примеров видно, что проверка устойчивости линейной схемы может бытьсведена к доказательству ее устойчивости отдельно по начальным данным и правой части (см. теорему 1.2). Дадим соответствующие определения в общем случае.Определение. Если для решения задачиBut + Aun = 0,u0 − задановерна оценкаn = 0, . . . , M − 1,° °kun k(1) ≤ M1 °u0 °(1) ,n = 1, . . . , M,(2.9)(2.10)то схема (2.2) называется устойчивой по начальным данным.Определение. Если для решения задачиBut + Aun = ϕn ,u0 ≡ 0верна оценкаn = 0, . .

. , M − 1,kun k(1) ≤ M2 kϕk(2) ,n = 1, . . . , M,(2.11)(2.12)то схема (2.2) называется устойчивой по правой части.2.3. Операторы перехода. Запишем двухслойную схему (2.1)в видеun+1 = S n+1 un + τ f n ,(2.13)где S n+1 = E − τ B −1 A, f n = B −1 ϕn . При этом, естественно, предполагается, что оператор B −1 существует. Вообще говоря, S n+1 = S n+1 (tn ),так как A = A(tn ) и B = B(tn ).

Оператор S n+1 называется операторомперехода со слоя n на слой (n + 1).Используя представление схемы в виде (2.13), получаем цепочку равенствun+1 = S n+1 un + τ f n =£¤¡¢= S n+1 S n un−1 + τ f n−1 + τ f n = S n+1 S n un−1 + τ f n + S n+1 f n−1 =£¤¡¢= S n+1 S n S n−1 un−2 + τ f n−2 + τ f n + S n+1 f n−1 =¡¢= S n+1 S n S n−1 un−2 + τ f n + S n+1 f n−1 + S n+1 S n f n−2 =¡¢= . . .

= S n+1 S n · · · S 1 u0 + τ f n + S n+1 f n−1 + · · · + S n+1 S n · · · S 2 f 0 .39Следовательно, для решения можем написать выражениеun+1 = T n+1,0 u0 + τnXT n+1,k+1 f k ,(2.14)k=0где T n+1,k = S n+1 S n · · · S k+1 , k = 0, . . . , n, T n+1,n+1 = E — тождественный или единичный оператор.Определение. Оператор T n+1,k называется оператором переходасо слоя k = 0, . . . , n на слой (n + 1).Определение. Оператор T n+1,0 = S n+1 S n · · · S 1 называется разрешающим оператором.2.4.

Равномерная устойчивость по начальным даннымОпределение. Будем говорить, что схема (2.2) равномерно устойчива по начальным данным, если при постановке начальных данных uk на любом слое k, 0 ≤ k < M однородная схемаBut + Aun = 0,uk − заданоn = k, . . . , M − 1,устойчива, причем устойчивость равномерная по k, т. е.° °kun k ≤ M1 °uk °(1)(1)(2.15)(2.16)при всех 0 ≤ k < n ≤ M , где M1 > 0 — постоянная, не зависящая отτ и h.Равномерная устойчивость означает, что схема устойчива относительно возмущений, вносимых на каждом слое по времени, а не толькона нулевом.Замечание. Из равномерной устойчивости по начальным даннымследует обычная устойчивость по начальным данным, но не наоборот.Теорема 2.1. Необходимым и достаточным условием равномернойустойчивости схемы (2.2) по начальным данным является равномерная (по n и k) ограниченность операторов перехода T n,k со слоя k наслой n:° n,k °°T ° ≤ M1 для всех 0 ≤ k < n ≤ M.(2.17)Д о к а з а т е л ь с т в о.