1612725465-eb5831e2a489b993bf8c6c33f84310db (Хакимзянов, Черный - Методы вычислений(часть 3)), страница 10

Если же функция ν разрывна, то будет разрывной и производная ux (см. условие сопряжения (3.3)) и подынтегральное выражение в члене дисбаланса становится значительным.В результате решение по данной неконсервативной схеме может сходиться при τ → 0 и h → 0 к другому состоянию, сильно отличающемусяот истинного.3.3. Устойчивость консервативной схемы.

Возьмем однородную консервативную схему с весами (3.8):£¤un+1− unjj= Λ σun+1+ (1 − σ)unj ,jτгде Λuj = (aux̄ )x,j , и рассмотрим для нее разностную задачу с однородными краевыми условиями£¤un+1− unjj= Λ σun+1+ (1 − σ) unj ,jτun0 = unN = 0, u0j = u0 (xj ).62(3.19)Теорема 3.1. Пусть коэффициент теплопроводности ν не зависитот времени и 0 < c1 ≤ ν(x) ≤ c2 . Тогда при σ ≥ 0, 5 консервативнаясхема с весами (3.19) абсолютно устойчива. При σ < 0, 5 для устойчивости этой схемы необходимо и достаточно выполнения условияσ ≥ σ̂0 ≡11−.2 τ kAk(3.20)Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 2.4.2 оператор A второйразностной производной с переменными коэффициентами, введенныйпо формулеAu = −Λu = − (aux̄ )x ,(3.21)является самосопряженным и, поскольку его коэффициенты удовлетворяют условиям 0 < c1 ≤ aj ≤ c2 , (j = 1, . . . , N − 1), то A будет положительно определенным оператором, причем имеет место оценка (2.4.27)c18422kuk ≤ (Au, u) ≤ c2 2 kuk .2lh(3.22)Тогда утверждение теоремы вытекает из следствия 1 теоремы 2.7.Получим теперь достаточное условие устойчивости консервативнойсхемы.

Из правого неравенства оценки (3.22) следует, что kAk ≤ 4c2 /h2 .Тогда111h2σ̂0 ≡ −≤ σ0 ≡ −,2 τ kAk2 4τ c2поэтому условие σ ≥ σ0 будет достаточным условием устойчивости консервативной схемы при σ < 0, 5.ЗАДАЧИ3.1. Определить, с каким порядком разностная схемаun+1− unjj= Λn unj + fjn , j = 1, . . . , N − 1,τun0 = µ0 (tn ), unN = µl (tn ),u0j = u0 (xj ), j = 0, .

. . , N63(3.23)аппроксимирует первую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводностиut = (ν(x, t)ux )x + f (x, t), 0 < x < l, 0 < t ≤ T,u (0, t) = µ0 (t) , u (l, t) = µl (t) , 0 ≤ t ≤ T,u (x, 0) = u0 (x) , 0 ≤ x ≤ l,u0 (0) = µ0 (0), u0 (l) = µl (0).(3.24)3.2. Используя принцип максимума, найти достаточное условие устойчивости в равномерной норме явной схемы (3.23) для уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом ν(x, t) > 0.3.3. Определить, с каким порядком разностная схемаun+1− unjunj+1 − 2unj + unj−1j= νjn+τh2nnnnνj+1 − νj−1 uj+1 − uj−1++ fjn ,2h2hun0 = µ0 (tn ), unN = µl (tn ),u0j = u0 (xj ), j = 0, .

. . , Nj = 1, . . . , N − 1,(3.25)аппроксимирует начально-краевую задачу (3.24).3.4. Построить явную схему, которая с порядком O(τ + h2 ) аппроксимирует начально-краевую задачу для уравнения теплопроводностиut = (ν(x, t)ux )x + f (x, t), 0 < x < l, 0 < t ≤ T,(νux ) (0, t) = µ0 (t), 0 ≤ t ≤ T,(νux ) (l, t) = µl (t), 0 ≤ t ≤ T,u (x, 0) = u0 (x) , 0 ≤ x ≤ l,ν(0, 0)u0,x (0) = µ0 (0), ν(l, 0)u0,x (l) = µl (0).(3.26)Для аппроксимации производных ux (0, t) и ux (l, t) использовать двухточечный шаблон.3.5. Рассмотрим начально-краевую задачу для однородного уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом ν(x, t) > 0 и однородными краевыми условиями второго рода:ut = (ν(x, t)ux )x , 0 < x < l, 0 < t ≤ T,(νux ) (0, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T,(νux ) (l, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T,u (x, 0) = u0 (x) , 0 ≤ x ≤ l,ν(0, 0)u0,x (0) = 0, ν(l, 0)u0,x (l) = 0.64(3.27)Показать, что для решения этой задачи количество тепла U (t), определяемое по формулеZlU (t) = u(x, t)dx,(3.28)0не меняется со временем, т.

е.U (t) = const = U (0),0 < t ≤ T.(3.29)3.6. Показать, что разностная схемаut,j = Λn unj ,j = 1, . . . , N − 1,hut,0 = 0,2hnnνN−1/2 ux̄,N + ut,N = 0,2u0j = u0 (xj ), j = 0, . . . , N,nunx,0 −ν1/2(3.30)аппроксимирует задачу (3.27) с порядком O(τ + h2 ) и сохраняет дискретный аналог количества тепла (3.28), определяемый формулойU n = un0N −1hh X n+uj h + unN ,22j=1(3.31)т.

е.U n = const = U 0 ,n = 1, . . . , M.3.7. Показать, что для недивергентной разностной схемыnnunj+1 − 2unj + unj−1unj+1 − unj−1νj+1− νj−1+,2h2h2hhhnnnν1/2unx,0 − ut,0 = 0, νN−1/2 ux̄,N + ut,N = 0,22u0j = u0 (xj ),ut,j = νjn(3.32)аппроксимирующей задачу (3.27) с порядком O(τ + h2 ), дискретныйаналог количества тепла (3.31) не является сохраняющейся величиной.Вычислить дисбаланс количества тепла U n+1 − U n при переходе с n-говременно́го слоя на (n + 1)-й.653.8. Показать, что схема с весами (3.8)ut,j = σΛn+1 un+1+ (1 − σ)Λn unj + ϕnj ,jj = 1, . .

. , N − 1,h(σ)(ut,0 − ϕn0 ) = µ0 ,2h(σ)n+1n+1nnnσνN−1/2 ux̄,N + (1 − σ)νN −1/2 ux̄,N + 2 (ut,N − ϕN ) = µl ,u0j = u0 (xj ), j = 0, . . . , N,n+1 n+1nσν1/2ux,0 + (1 − σ)ν1/2unx,0 −(3.33)(σ)где µk = σµk (tn+1 ) + (1¡− σ)µk¢(tn ), (k = 0, l), аппроксимирует задачу(3.26) с погрешностью O τ + h2 , если ϕnj = f (xj , tn ) и с погрешностью¢¡O τ 2 + h2 , если σ = 0, 5 и ϕnj = f (xj , tn + τ /2).3.9.

Показать, что схема с весами (3.33), аппроксимирующая приϕnj ≡ 0 задачу (3.27), сохраняет количество тепла (3.31).3.10. Обозначим через Hh,1 линейное пространство сеточных функций, определенных на одномерной сетке ω̄h . При каждом фиксированном n решение un задачи (3.33) является элементом пространства Hh,1 .В пространстве Hh,1 введем нормуqkuk(1) = (u, u)(1) , u ∈ Hh,1 ,где(u, v)(1) = u0 v0hh+ (u, v) + uN vN ,22(u, v) =N−1Xu, v ∈ Hh,1 ,uj vj h.j=1В пространстве Hh,1 определим оператор−Λn uj ,j = 1, . . . , N − 1,2nux,0 ,j = 0,−ν1/2An uj =h n νN −1/2 2 ux̄,N ,j = N,h(3.34)где разностный оператор Λn задан по формуле (3.9).

Тогда схему с весами (3.33) можно записать в операторном видеut + σAn+1 un+1 + (1 − σ)An un = f n ,66(3.35)где nϕj ,j = 1, . . . , N − 1,2 (σ)ϕn0 − µ0 ,j = 0,fjn =h ϕnN + 2 µ(σ) ,j = N.h lДоказать, что оператор An является самосопряженным в Hh,1 и неотрицательным, но не является положительным. Найти нормированнуюсобственную функцию, отвечающую нулевому собственному значениюоператора An .§ 4.

Трехслойные схемы для уравнениятеплопроводности4.1. Схема Ричардсона. До сих пор для уравнения теплопроводностиut = νuxx + f (x, t)(4.1)с постоянным коэффициентом ν = const > 0 рассматривались двухслойные схемы. Для этого уравнения могут быть построены и трехслойныесхемы, простейшей из которых является схема Ричардсонаun+1− un−1unj+1 − 2unj + unj−1jj=ν+ fjn .2τh2(4.2)Эта схема является явной и ее погрешность аппроксимации имеет порядок O(τ 2 + h2 ).

Напомним, что двухслойная явная схема имеет порядокаппроксимации O(τ + h2 ). Однако при условии τ = O(h) и даже приусловии τ = O(h2 ) схема Ричардсона будет неустойчивой, несмотря нато, что она аппроксимирует уравнение теплопроводности.Чтобы в этом убедиться, используем спектральный метод Неймана исследования устойчивости. Пусть, например, шаги τ и h связанызаконом предельного переходаντ= r = const.h2(4.3)Возьмем решение вида (1.54)unj = λn eijϕ ,67ϕ∈R(4.4)и подставим его в однородное разностное уравнение (4.2).

В результатедля определения множителя перехода λ(ϕ) получаем квадратное уравнениеϕλ2 + λ 8r sin2 − 1 = 0.2Корни этого уравнения действительны, различны и один из них прилюбом ϕ 6= 2πk по модулю больше единицы. Следовательно, для любого r схема Ричардсона неустойчива при законе предельного перехода (4.3), т. е. она уступает даже явной двухслойной схеме, устойчивойпри r ≤ 0, 5.4.2.

Схема Дюфорта — Франкела (схема «ромб») получаетсяиз схемы Ричардсона после замены величины unj в правой части урав¡¢нения (4.2) на 0, 5 ujn−1 + un+1:j¡¢+ un+1+ unj+1un+1− un−1unj−1 − un−1jjjj=ν+ fjn .(4.5)2τh2Множитель перехода λ удовлетворяет уравнению(1 + 2r)λ2 − 4rλ cos ϕ + 2r − 1 = 0,где r = ντ /h2 . Покажем, что при любых r > 0 и ϕ для корней этогоуравнения выполняется неравенство |λ| ≤ 1. В самом деле, дискриминант d = 1 − 4r2 sin2 ϕ рассматриваемого квадратного уравнения можетбыть как отрицательным, так и неотрицательным.

Если корни λ1 и λ2комплексно-сопряженные, то20 < |λ| = λ1 λ2 =2r − 1< 1.2r + 1Если корни действительные, т. е. 4r2 sin2 ϕ ≤ 1, то 0 ≤ d ≤ 1 и√2r cos ϕ ∓ d−1 ≤ λ1,2 =≤ 1.2r + 1Итак, схема Дюфорта — Франкела, полученная небольшой модификацией схемы Ричардсона и также являющаяся явной, удовлетворяет необходимому условию устойчивости при произвольном значении r,т. е. при любых соотношениях между шагами τ и h.Исследуем теперь аппроксимационные свойства схемы Дюфорта —Франкела. Для этого перепишем схему (4.5) в следующем виде:n+1n−1un+1− un−1unj−1 − 2unj + unj+1τ 2 uj − 2unj + ujjj=ν−ν+ fjn .2τh2h2τ268Отсюда видно, что схема «ромб» получается из схемы Ричардсона, имеющей порядок аппроксимации O(τ 2 + h2 ), добавлением члена³ τ ´2−νut̄t ,hобеспечивающего выполнение необходимого условия устойчивости, нопортящего аппроксимационные свойства, поскольку получающаясяв результате добавления этого члена схема Дюфорта — Франкела имеетпогрешность аппроксимации O(τ 2 + h2 + τ 2 /h2 ), т.