1612725465-eb5831e2a489b993bf8c6c33f84310db (Хакимзянов, Черный - Методы вычислений(часть 3)), страница 3

. . ≤CCCCCnn° °≤ °w0 °C + τ (n + 1) maxkϕn kC = τ (n + 1) maxkϕn kC ≤ T maxkϕn kC .nnnТеперь из оценок, установленных для слагаемых vh и wh , получаемоценку для решения uh исходной задачи:° n+1 °°°°°°°°u° = °v n+1 + wn+1 ° ≤ °v n+1 ° + °wn+1 ° ≤CCCCno≤ max max|µ0 (tn )|, max|µl (tn )|, k(u0 )h kC + T maxkϕn kC ≤nnnno≤ (1 + T ) max max|µ0 (tn )|, max|µl (tn )|, k(u0 )h kC , maxkϕn kC .nnnСогласно определению норм (1.12) и (1.13), отсюда следует неравенствоkuh kUh ≤ (1 + T )kfh kFh ,(1.25)означающее (в предположении однозначной разрешимости разностнойзадачи) устойчивость линейной схемы в равномерной сеточной нормес постоянной C = 1 + T .Приме́ним принцип максимума для установления устойчивости явной и полностью неявной схем.

Вначале рассмотрим явную схемуun+1− unjj= νΛunj + ϕnj , j = 1, . . . , N − 1,τun0 = µ0 (tn ), unN = µl (tn ), n = 0, . . . , M,u0j = u0 (xj ), j = 0, . . . , N.n = 0, . . . , M − 1,(1.26)Лемма 1.1. При выполнении условияτ≤h22νявная схема (1.26) устойчива в равномерной норме.13(1.27)Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что разностная задача (1.26)однозначно разрешима. Перепишем разностное уравнение схемы¡¢un+1= (1 − 2r) unj + r unj−1 + unj+1 + τ ϕnj , j = 1, . . . , N − 1, (1.28)jгде r = ντ /h2 , и учтем условие (1.27), из которого вытекает неравенство1 − 2r ≥ 0.

Тогда будет справедливо следующее неравенство:¯ n+1 ¯¯u¯ ≤ (1 − 2r) kun k + r (kun k + kun k ) + τ maxkϕn kjCCCCnили¯ n+1 ¯¯ ≤ kun k + τ maxkϕn k ,¯ujCCnКроме того, в граничных узлах¯ n+1 ¯¯u¯ ≤ max |µ0 (tn )| ;0j = 1, . . . , N − 1.¯ n+1 ¯¯u¯ ≤ max |µl (tn )| .NnnПолученные оценки свидетельствуют о том, что явная схема удовлетворяет принципу максимума (1.22). Тогда утверждение леммы будетследовать из теоремы 1.1.Мы показали, что выполнение условия (1.27) является достаточнымдля устойчивости явной схемы (1.26). Что будет, если это условие неудовлетворяется? Оказывается, что при его нарушении явная схема может стать неустойчивой. Покажем это, рассмотрев задачуun+1− unjj= νΛunj , j = 1, . . . , N − 1,τun0 = 0, h unN = 0, in = 0, .

. . , M,u0j = sin (1 − hl )πj , j = 0, . . . , N,n = 0, . . . , M − 1,(1.29)где N — четное число.Решение этой задачи вычисляется по формуле unj = q n u0j , гдеhh πiντq = 1 − 4r sin2 (1 − ) , r = 2 .l 2h°°°°Поэтому kun kC = |q|n °u0 °C . Очевидно, что °u0 °C ≤ 1. Но в узле с номером j0 = N/2 начальная функция принимает значениеhihhπiu0j0 = sin (1 − )πj0 = sin (N − 1)= ±1.l2° 0°Следовательно, °u ° = 1 и kun k = |q|n .CC14Пусть шаги τ и h используемой сетки связаны законом предельногопереходаντ= r = const,(1.30)h2причем1r> ,(1.31)2т. е.

условие (1.27) нарушено. Возьмем положительное число ε = r−1/22r .Тогда найдется такое числоh>0,чтопривсехh≤hбудетвыпол∗∗£¤няться неравенство sin2 (1 − hl ) π2 > 1 − ε. Отсюда следует оценкаq < 1 − 4r(1 − ε) = −2r < −1.Тогда при использовании равномерных норм (1.12), (1.13) будем иметьравенстваkfh kFh = 1; kuh kUh = |q|M = |q|T /τ .В силу неравенства |q| > 2r > 1, получаем неограниченный рост нормычисленного решения при τ → 0, поэтому для выбранной функции fhнеравенство (1.9) не выполняется ни при какой постоянной C, т. е. схема не может быть устойчивой по определению. Таким образом, условие(1.27) является не только достаточным, но и необходимым для устойчивости рассматриваемой явной схемы (при законе предельного перехода(1.30)).

Следовательно, явная схема (1.26) относится к классу условноустойчивых схем, которые характеризуются тем, что их устойчивостьимеет место не для произвольных шагов h < h0 и τ < τ0 (h0 и τ0 — числа, фигурирующие в определениях устойчивости), а только при некоторых дополнительных связях между шагами сетки (например, вида(1.27)).Определение. Разностная схема называется условно устойчивой,если она устойчива лишь при некоторых дополнительных ограничениях на шаги сетки τ и h.Определение.

Разностная схема называется абсолютно устойчивой, если она устойчива при любых шагах h и τ .Лемма 1.2. Полностью неявная схема (1.18) абсолютно устойчива.Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы показали, что полностью неявнаясхема удовлетворяет принципу максимума (1.22) при любых шагах τи h, поэтому она, согласно теореме 1.1, устойчива в равномерной норме, причем при любых шагах τ и h.151.5.

Спектральный метод Неймана. Используя принцип максимума, мы строго обосновали устойчивость явной и полностью неявной схем, исходя из определения устойчивости. На практике это не всегда удается сделать из-за сложности применяемых схем. Поэтому частоиспользуются некоторые практические приемы, позволяющие относительно легко отсеивать неустойчивые схемы. Один из таких приемовносит название спектрального метода Неймана. Он применяется дляанализа устойчивости линейных разностных схем по начальным данным. В этом методе проверяется некоторое условие, называемое необходимым спектральным признаком устойчивости.

При нарушении этогоусловия делается вывод о неустойчивости схемы. Выполнение необходимого условия не гарантирует устойчивости схемы, поэтому для строгого доказательства устойчивости необходимо привлекать другие методыисследования устойчивости.Применим спектральный признак для исследования устойчивостиявной схемыun+1− unjunj−1 − 2unj + unj+1j=ν+ ϕnj ,2τhu0j = u0 (xj ), j = 0, ±1, ±2, . . . ,n = 0, ..., M − 1,(1.32)аппроксимирующей задачу Коши для уравнения теплопроводностиut = νuxx + f, ν = const > 0,u (x, 0) = u0 (x) , −∞ < x < ∞.Запишем схему (1.32) в операторном виде Lh uh = fh , где n+1½ nunj−1 − 2unj + unj+1 uj − unjϕj−ν.Lh uh ≡,f≡2hhu0 (xj ) 0 τujПусть схема устойчива.

Поскольку она линейная, то условие ее устойчивости имеет видkuh kUh ≤ Ckfh kFh .(1.33)При использовании сеточных норм (1.12) и (1.13) (вернее, аналогов указанных норм для задачи Коши — задачи без краевых условий) неравенство (1.33) запишется так:·¸° °kun kC ≤ C max °u0 °C ,max kϕm kC , n = 1, .

. . , M.m=0,...,M −116Это условие устойчивости должно, в частности, выполняться и приϕnj ≡ 0, поскольку если схема устойчива, то она устойчива и при нулевой правой части разностных уравнений. Таким образом, решениеоднородной разностной задачи Кошиun+1− unjunj−1 − 2unj + unj+1j=ν,τh20uj = u0 (xj )должно удовлетворять условию° °kun kC ≤ C °u0 °C ,n = 1, . . . , M(1.34)(1.35)для произвольной ограниченной сеточной функции u0j . Свойство (1.35)называется устойчивостью схемы по начальным данным в равномерной сеточной норме.Обозначим через Rh оператор перехода от текущего временно́го слояк следующему слою по времениun+1 = Rh un .(1.36)Этот оператор каждой сеточной функции unj , определенной на слоеtn = nτ , ставит в соответствие сеточную функцию un+1, определенjную на слое tn+1 = (n + 1) τ .

Для схемы (1.34) оператор перехода имеетвидRh unj = runj+1 + (1 − 2r) unj + runj−1 ,j = 0, ±1, ±2, . . . ,(1.37)где, как и ранее, r = ντ /h2 . Отметим, что из уравнения (1.36) следуетравенствоun = Rhn u0 ,n = 1, . . . , M.(1.38)Пусть схема устойчива по начальным данным, т.

е. неравенство(1.35) выполняется для любой ограниченной функции u0 . Тогда из равенства (1.38) с необходимостью вытекает ограниченность норм степеней оператора переходаkRhn k ≤ C,n = 1, . . . , M.(1.39)Известно [14], что спектральный радиус ограниченного оператора непревосходит нормы этого оператора. Неравенство (1.39) свидетельствует о том, что оператор Rhn ограничен, поэтому для любого числа z изего спектра σ(Rhn ) выполняется оценка|z| ≤ kRhn k ≤ C.17(1.40)Возьмем теперь число λ из спектра оператора Rh . Тогда λn ∈ σ(Rhn ),поэтому, в силу неравенства (1.40), получимn|λ| ≤ C,∀λ ∈ σ(Rh ),n = 1, .

. . , M.(1.41)Согласно лемме 1.8.1, условие (1.41) выполняется тогда и только тогда,когда|λ| ≤ 1 + C1 τ,∀λ ∈ σ(Rh ),(1.42)где C1 — некоторая неотрицательная постоянная, не зависящая от λ и τ .Условие (1.42) называют необходимым спектральным признаком устойчивости Неймана.

Оно является необходимым для устойчивости,поскольку получено из предположения, что рассматриваемая схема устойчива. Оно называется спектральным потому, что в этом условии требуется ограниченность спектра оператора перехода Rh . Итак, необходимое условие устойчивости Неймана можно сформулировать так.Для устойчивости разностной схемы по начальным данным необходимо, чтобы спектр оператора перехода этой схемы лежал в кругерадиуса 1 + C1 τ на комплексной плоскости.Вернемся к схеме (1.34) и посмотрим, какие ограничения на шагисетки следуют из сформулированного спектрального признака устойчивости.

Для этого надо вначале получить спектр оператора Rh , т. е.решить для оператора Rh задачу на собственные значенияRh uj = λuj ,j = 0, ±1, ±2, . . . .(1.43)Собственные функции u найдем, рассмотрев характеристическое уравнение [15]rµ2 + (1 − 2r − λ) µ + r = 0,(1.44)соответствующее разностному уравнению задачи (1.43)ruj+1 + (1 − 2r)uj + ruj−1 = λuj ,j = 0, ±1, ±2, .

. . .(1.45)Отметим, что в этом пункте мы исследуем устойчивость в равномернойнорме, следовательно, рассматриваются только ограниченные сеточныефункции, поэтому и собственные функции будем искать в классе ограниченных функций.18Возможны три случая.1. λ < 1 − 4r или λ > 1.

В этом случае корни µ1 и µ2 характеристического уравнения (1.44) будут вещественными и различными. Тогдаобщее решение уравнения (1.45) будет определяться (см. лемму 1.8.2)формулойuj = αµj1 + βµj2 , j = 0, ±1, ±2, . . . ,где α и β — некоторые постоянные, не равные одновременно нулю.

Поскольку |µ1 | > 1 или |µ2 | > 1, то функция u не может быть ограниченной, поэтому случай действительных различных корней невозможен.2. λ = 1 − 4r или λ = 1. В этих случаях характеристическое уравнение (1.44) имеет кратные корни, равные соответственно µ = −1 илиµ = 1. По лемме 1.8.3 общее решение разностного уравнения (1.45) задается формулойuj = (α + βxj ) µj ,j = 0, ±1, ±2, . . .

.Условие ограниченности функции u приводит к требованию β = 0. Следовательно, в случае кратных корней получаются следующие собственные функции оператора Rh :(1)uj= α(−1)j ,(2)= α = const,ujj = 0, ±1, ±2, . . . ;j = 0, ±1, ±2, . . . .(1.46)(1.47)Они отвечают собственным значениямλ1 = 1 − 4r;λ2 = 1(1.48)соответственно.3. 1−4r < λ < 1. Для таких λ корни характеристического уравнения(1.44) являются комплексно-сопряженнымичисламиµ1 = µ и µ2 = µ̄,¡¢при этом |µ| = 1, µ = eiϕ , ϕ = arccos −1+2r+λ,0<ϕ < π.