1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (Курс высшей математики. В 5-ти т. Т. 2 Смирнов В. И. 2008)

В. И. СмирновДопущено Научно-методическим советом по математикеМинистерства образования и науки Российской Федерациив качестве учебника для студентов механико-математическихи физико-математических факультетов университетови технических высших учебных заведенийСанкт-Петербург«БХВ-Петербург»2008УДКББК510(075.8)22.1я73С50Смирнов В. И.С50Курс высшей математики. Том II / Пред. Л. Д. Фаддеева, пред.и прим. Е. А.

Грининой: 24-е изд. — СПб.: БХВ-Петербург, 2008. —848 с.: ил. — (Учебная литература для вузов)ISBN 978-5-94157-910-5Фундаментальный учебник по высшей математике, переведенный намножество языков мира, отличается, с одной стороны, систематичностью истрогостью изложения, а с другой — простым языком, подробными пояснениями и многочисленными примерами.Во втором томе рассматриваются обыкновенные дифференциальныеуравнения, линейные дифференциальные уравнения и дополнительные сведения по теории дифференциальных уравнений; кратные и криволинейныеинтегралы, несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра;векторный анализ и теория поля; основы дифференциальной геометрии; ряды Фурье; уравнения с частными производными математической физики.В настоящем, 24-м, издании отмечена устаревшая терминология, сделаны некоторые замечания, связанные с методикой изложения материала, отличающейся от современной, исправлены опечатки.Для студентов университетов и технических вузовУДК 510(075.8)ББК 22.1я73Предисловие академика РАН Л.

Д. ФаддееваРецензент: Л. Д. Кудрявцев, член-корреспондент РАН, академик Европейскойакадемии наук, президент Центра современного образования, профессорРедактор: Е. А. Гринина, канд. физ.-мат. наукОригинал-макет подготовлен издательствомСанкт-Петербургского государственного университетаISBN 978-5-94157-910-5© Смирнов В.

H., Смирнова Е. В., 2008© Оформление, издательство "БХВ-Петербург", 2008ОГЛАВЛЕНИЕПредисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9ГЛАВА IОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ§ 1. Уравнения первого порядка . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. Общие понятия (11). 2. Определение решения по начальному условию. Теорема существования и единственности (14). 3. Уравнения сотделяющимися переменными (17). 4. Примеры (19). 5. Однородноеуравнение (24). 6. Линейные уравнения и уравнение Бернулли (29).7. Способ Эйлера—Коши (35). 8. Применение степенных рядов (38).9. Общий интеграл и особое решение (40). 10. Уравнения, не решенные относительно y′ (43). 11. Уравнение Клеро (46). 12. УравнениеЛагранжа (50).

13. Огибающие семейства кривых и особые решения(52). 14. Изогональные траектории (56).§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков и системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .15. Общие понятия (59). 16. Графические способы интегрированиядифференциального уравнения второго порядка (62). 17. Уравнениеy (n) = f (x) (65). 18. Понижение порядка дифференциального уравнения (67). 19. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений (72). 20. Примеры (77). 21.

Системы уравнений и уравнениявысших порядков (83). 22. Линейные уравнения с частными производными (85). 23. Геометрическая интерпретация (89). 24. Примеры (92).1159Г Л А В А IIЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯИ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ§ 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25. Линейные однородные уравнения второго порядка (97). 26. Ли-974Оглавлениенейные неоднородные уравнения второго порядка (102). 27. Линейные уравнения высших порядков (104). 28. Однородные уравнениявторого порядка с постоянными коэффициентами (107). 29.

Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (111). 30. Частные случаи (113). 31. Корни решений иколеблющиеся решения (115). 32. Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами (120). 33. Линейные уравнения и колебательные явления (122).

34. Собственные и вынужденные колебания (125). 35. Синусоидальная внешняя сила и резонанс(128). 36. Предельные задачи (134). 37. Примеры (137). 38. Символический метод (139). 39. Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами (143). 40.

Линейныенеоднородные уравнения с постоянными коэффициентами (147).41. Пример (149). 42. Уравнение Эйлера (150). 43. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами (153). 44. Примеры (158).§ 4. Интегрирование с помощью степенных рядов . .

. . . . . . . . . . . . .45. Интегрирование линейного уравнения с помощью степенного ряда (163). 46. Примеры (167). 47. Разложение решения в обобщенныйстепенной ряд (169). 48. Уравнение Бесселя (172). 49. Уравнения,приводящиеся к уравнению Бесселя (177).§ 5. Дополнительные сведения по теории дифференциальныхуравнений . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50. Метод последовательных приближений для линейных уравнений (179). 51. Случай нелинейного уравнения (190). 52. Дополненияк теореме существования и единственности (198). 53. Сходимостьметода Эйлера—Коши (202). 54. Особые точки дифференциальныхуравнений первого порядка (206). 55. Автономные системы (217).56.

Примеры (220).163179Г Л А В А IIIКРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ,НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ,ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА§ 6. Кратные интегралы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57. Объемы (228). 58. Двукратный интеграл (233). 59. Вычислениедвукратного интеграла (235). 60. Криволинейные координаты (241).61. Трехкратный интеграл (245). 62. Цилиндрические и сферическиекоординаты (252). 63. Криволинейные координаты в пространстве(258).

64. Основные свойства кратных интегралов (261). 65. Площади поверхности (262). 66. Интегралы по поверхности и формула228Оглавление5Остроградского (267). 67. Интегралы по определенной стороне поверхности (272). 68. Моменты (274).§ 7. Криволинейные интегралы . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69. Определение криволинейного интеграл (280). 70. Работа силового поля. Примеры (286). 71. Площадь и криволинейный интеграл(291). 72. Формула Грина (294). 73. Формула Стокса (297). 74. Независимость криволинейного интеграла от пути на плоскости (301).75. Случай многосвязной области (308). 76.

Независимость криволинейного интеграла от пути в пространстве (311). 77. Установившееся течение жидкости (313). 78. Интегрирующий множитель (316).79. Уравнение в полных дифференциалах для случая трех переменных (322). 80. Замена переменных в двойном интеграле (324).§ 8. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81. Интегрирование под знаком интеграла (328). 82. Формула Дирихле (331). 83. Дифференцирование под знаком интеграла (334).84. Примеры (338). 85. Несобственные интегралы (344). 86. Неабсолютно сходящиеся интегралы (350).

87. Равномерно сходящиесяинтегралы (354). 88. Примеры (359). 89. Несобственные кратные интегралы (363). 90. Примеры (369).§ 9. Мера и теория интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91. Предварительные понятия (376). 92. Основные теоремы (379).93. Счетные множества. Действия над точечными множествами(382). 94.

Мера Жордана (385). 95. Квадрируемые множества (388).96. Независимость от выбора осей (392). 97. Случай любого числаизмерений (394). 98. Интегрируемые функции (395). 99. Вычислениедвойного интеграла (398). 100. n-кратные интегралы (402). 101. Примеры (404). 102. Внешняя мера Лебега (406). 103. Измеримые множества (409). 104. Измеримые функции (415). 105. Дополнительныесведения (420). 106. Интеграл Лебега (422). 107. Свойства интеграла Лебега (426). 108. Интегралы от неограниченных функций (431).109. Предельный переход под знаком интеграла (437). 110. Теорема Фубини (441).

111. Интегралы по множеству бесконечной меры(444).280328376Г Л А В А IVВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ§ 10. Основы векторной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112. Сложение и вычитание векторов (447). 113. Умножение векторана скаляр. Компланарность векторов (450). 114. Разложение векторапо трем некомпланарным векторам (451). 115. Скалярное произведение (452).

116. Векторное произведение (454). 117. Соотношения4476Оглавлениемежду скалярным и векторным произведениями (458). 118. Скорости точек вращающегося твердого тела; момент вектора (460).§ 11. Теория поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119. Дифференцирование вектора (463). 120. Скалярное поле и егоградиент (465). 121. Векторное поле; расходимость и вихрь (470).122. Потенциальное и соленоидальное поля (474). 123. Направленный элемент поверхности (477). 124. Некоторые формулы векторного анализа (480). 125. Движение твердого тела и малая деформация(482).

126. Уравнение непрерывности (485). 127. Уравнения гидродинамики идеальной жидкости (488). 128. Уравнения распространениязвука (490). 129. Уравнение теплопроводности (492). 130. УравнениеМаксвелла (494). 131. Выражение оператора Лапласа в ортогональных координатах (498). 132. Операция дифференцирования для случая переменного поля (505).463ГЛАВА VОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ§ 12.

Кривые на плоскости и в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133. Плоская кривая, ее кривизна и эволюта (513). 134. Эвольвента (520). 135. Естественное уравнение кривой (522). 136. Основные элементы кривой в пространстве (524). 137. Формулы Френе(529). 138. Соприкасающаяся поверхность (530). 139. Винтовые линии (531). 140.

Поле единичных векторов (534).513§ 13. Элементы теории поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141. Параметрические уравнения поверхности (535). 142. Перваядифференциальная форма Гаусса (538). 143. Вторая дифференциальная форма Гаусса (540).