Курс лекций по математическому анализу, страница 7

Прилюбом таком х будет получатся убывающая геометрическая прогрессия.1Следовательно, S ( x) .1 xЕсли Sn ( x) - n-я частичная сумма ряда, то S ( x)  Sn ( x)  rn ( x) , гдеrn ( x)  U n1 ( x)  U n2 ( x)  ...rn ( x) - остаток ряда.Для всех х из области сходимости lim Sn ( x)  S ( x) , следовательноnlim rn ( x)  lim S ( x)  Sn ( x)  0 , то есть остаток сходящегося ряда стремится кnnнулю при n → ∞.Определение. Функциональный ряд называется мажорируемым внекоторой области изменения х, если существует такой сходящийсячисловой ряд 1  2  3  ...  n  ...

с положительными членами, что длялюбого х из данной области U n ( x)   n для любого n.Теорема 1. Пусть имеем ряд непрерывных дифференцируемых функцийU1(x) + U2(x) + U3(x) + … + Un(x) + … мажорируемых на отрезке [a, b], и пусть59S ( x) -сумма этого ряда. Пусть и х ∈ [a, b]. Тогдаxxx S (t )dt  U (t )dt  U1x2(t )dt  ...  U n (t )dt  ...(Без доказательства)Теорема 2. Если ряд U1(x) + U2(x) + U3(x) + … + Un(x) + … , составленный изфункций, имеющих непрерывные производные на отрезке [a, b], сходится наэтом отрезке к сумме S ( x) , и ряд U1 ( x)  U 2 ( x)  ...

 U n ( x)  ...мажорируем на том же отрезке, то сумма ряда производных равнапроизводной от суммы первоначального ряда, то естьS ( x)  U1 ( x)  U 2 ( x)  ...  U n ( x)  ...(Без доказательства)110. Степенные ряды. Область сходимости.Определение. Функциональный ряд видаa0  a1x  a2 x2  a3 x3  ...  an x n  ... , (1)где a0 , a1, a2 , a3 ,..., an ,... - постоянные числа (коэффициенты) называетсястепенным рядом.Для решения вопроса об области сходимости такого ряда докажем сначаласледующую теорему:Теорема Абеля.1) Если степенной ряд (1) сходится про некотором 0 ≠ 0 то он сходитсяабсолютно при любых x, таких что || < |0 |2) Если он расходится при некотором 0′ , то он расходится при любых x|| > |0′ |Доказательство.1) Так как ряд а0 + 1 0 + 1 02 … + 0 + ⋯(2)сходится то 0 стремится к 0 , при n стремящемся к бесконечности,то есть существует M>0 такое, что все члены ряда (1) по абсолютнойвеличине меньше M.

Перепишем (1) в виде :⁡а0 + 1 0 ( ) + 2 02 ( )2 + ⋯ + 0 ( ) + ⋯(3)00060затем рассмотрим ряда0 +|1 0 | ( ) |+|2 02 ||( )|2 + ⋯ + | 0 ||( )| + ⋯⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(4)000002 + |( )| + |( )| + ⋯ + |( )| + ⋯⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ (5)и ряд0Если || < |0 | то (5) – геометрическая прогрессия с q<1, тогда (5)сходится , и (4) сходится , в итоге , (3) или (1) абсолютно сходятся.2) Пусть в 0′ ряд (1) расходится, тогда он бы расходился в любой точке|| > |0′ | , иначе бы сработала 1 часть теоремы . Теорема доказана.Для чего нужна эта теорема: то есть существует R⋮ Если || < , торяд сходится, а если || > – расходится ,то есть верна теорема:Теорема: Область сходимости степенного ряда есть интервал с центром вначале координат.R называют радиусом сходимости. При x=R и x= -R может быть всякое.Для каждого ряда вопрос о сходимости решается индивидуально.Причем для некоторых рядов R=0, а для других R = ∞.Способ определения радиуса сходимости.⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡а0 + 1 + 2 2 … + + ⋯(1)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡|а0 | + |1 ||| + |2 |||2 … + | ||| + ⋯По признаку Даламбера lim→∞ ||| <11+1⁡⁡⁡⁡⁡ = ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ = lim→∞ |(2)| = ∗ ||, ∗ || < 1 получается, что+1|⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ или, используярадикальный признак Коши,=1lim √| |→∞Примеры:Найти область сходимости1)∑∞=0!(R=∞)2) ∑∞=1∗3[-3; 3)Теорема о дифференцировании степенных рядов:61Если степенной рядS(x) = а0 + 1 + 2 2 … + + ⋯имеет интервал сходимости (-R;R), то ряд⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡φ(x) ⁡ = ⁡а1 + 22 + 33 2 … + −1 + ⋯(1)(2)Имеет тот же интервал сходимости, причем φ(x) = S ( x) если || <⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(без доказательства).Более общие понятия степенного ряда.а0 + 1 ( − ) + 2 ( − )2 … + ( − ) + ⋯Что можно сказать об области сходимости такого ряда?Лекция 15.

Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена.Применение рядов к вычислениям определенных интегралов.120. Ряды Тейлора и Маклорена.Раньше было показано, что для функции f(x), имеющей все производные до(n+1)- го порядка включительно, в окрестности точки x = a справедливаформула Тейлора:() = () + ⁡(1) , () =(−)1! ′ () + ⁡(−)22! ′′ () + ⋯ +(−)! () + ()где () – остаточный член , который вычисляется по формуле(−)+1(+1)! (+1) [ + ( − )]⁡⁡⁡⁡0 < < 1.⁡⁡⁡ Если же f(x) имеетпроизводные любого порядки в окрестности точки x=a, то в формуле (1) nможет быть как угодно большим.Пусть в рассматриваемой окрестности → ⁡0⁡при⁡ → ∞⁡: lim→∞ () =0.Тогда, перейдя к пределу в формуле (1), получим рядТейлора() = () + ⁡(−)1! ′ () + ⋯ +(−)! () + ⋯(2)Формула (2) справедлива лишь тогда, когда lim→∞ () = 0. В этом случаеряд сходится и его сумма равна ().62Докажем , что () = () + (), где⁡ () = () + ⁡(−)!(−)1! ′ () + ⋯ + ().⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡Так как по условию lim→∞ () = 0, тоf(x) = lim→∞ () , но () −n-ая часть суммы ряда (2) .

ее предел равенсумме ряда , стоящем в правой части формулы (2) , тогда (2) справедлива.Кроме того из выше изложенного , следует, что ряд Тейлора представляетданную функцию f(x) тогда и только тогда , когда lim→∞ () = 0. Еслиlim→∞ () ≠ 0 , то ряд не представляет данной функциии, хотя и можетсходиться(к другой функции)Если в (2) положить а = 0, тополучится ряд Маклорена:1!!⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡() = (0) + ⁡ ′ (0) + ⋯ + (0) + ⋯(3)130 .Примеры разложения функций в ряд Маклорена и Тейлора.140 .Применение рядов к вчислениям определенных интегралов.Лекция 16. Ряды Фурье. Определение.

Постановка задачи. Примерыразложения функций в ряд Фурье в интервале (-; ).На прошлой лекции мы говорили об степенных рядах⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ = 1 +⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ = −1!33!++22!55!+ ⋯+!+ ⋯⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(-∞,∞) 2−1− ⋯ + (−1)−1 (2−1)! + ⋯⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(-∞,∞)Достоинство: простота рядов. Но есть одно но! Вот например sinx – функцияпериодическая , а степенной ряд это не учитывает. А это важно. (Например,в колебательных системах). Как же не потерять это свойство? Попробуемвыразить f(x)63через периодические функции sinx и cosx.Тригонометрические ряды ФурьеЭти ряды будут выступать, например, как метод решения дифференциальныхуравненийв частных производных.150 .Ортогональная система функций на отрезке [a,b].

Примерыортогональных систем.Определение. Непрерывные функции f(x) и (x) – ортогональны на [a,b],если выполняется условие ∫ f(x) φ(x)dx = 0(*)Для чего нужна непрерывность? Для существования определенногоинтеграла!Определение. Система непрерывных функций φ1 (x), φ2 (x) …⁡φ (x) на [a,b]называется ортогональной системой на этом отрезке, если любые двефункции этой системы ортогональны, то есть, если ∫ f (x) φ (x)dx =0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ i=k=1,2,…n (i≠k)Рассмотрим бесконечную систему функций 1, sinx, cosx ,sin2x, cos2x,…, sinnx,cosnx (1) Такая система называется тригонометрической системнойфункций.Теорема.

Тригонометрическая системная функция (1) – есть ортогональнаясистема на отрезке [-π ,π].Доказательство. Достаточно проверить условие (*) для любыхпроизведений.1)2)3)4)π1∗ = − | = − (π − (−π)) = 0−πππ11∫−π 1 ∗ = | = (π + sinπ) = 0−ππ1 π∫−π ∗ = 2 ∫−π[( + ) + ( − )] = 0⁡⁡⁡(n ≠m)π1 π∫−π ∗ = 2 ∫−π[( + ) + ( + )] = 0⁡⁡⁡(n ≠m)64π∫−π 11π1π5) ∫−π ∗ = ∫−π[( − ) − ( + )] = 0⁡⁡⁡(n ≠2m)Следствие.πИз 4 следует при n=m∫−π 2 = … = πИз 5 следует при∫−π 2 = 2 ∫−π(1 − 2) = πn=mπ1πПримеры.1).

Система функция 1, cosx, cos2x… ортогональная система на [0,⁡π]2). Система функций sinx, sin2x… ортогональная система на [0,⁡π]Доказательство аналогично доказательству теоремы.160 . Определение тригонометрического ряда и его физический смысл.Определение. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд0вида2+ ∑∞=1 + ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ (**), где0 ,⁡ ,⁡ ( = 1,2, … ∞)- любые действительные числа, называемыекоэффициентами ряда (**)Ряд (**) можно записать по-другому. Для этого введем дополнительныйугол (нормирующий коэффициент) : = ⁡ { ⁡ = ⁡ <->⁡ = √⁡ 2 + ⁡ 2⁡ 2 + ⁡ 2 = ⁡ 2 = ⁡⁡= ⁡⁡⁡ + ⁡ = ⁡ [ + ] = ⁡ ( + )Таким образом ряд (**) приобретает вид:02+ ∑∞=1 ⁡ ( + ) - имеет смысл гармонических колебаний170 . Тригонометрический ряд Фурье функцийf(x+2)=f(x) (Вывод коэффициентов ряда Фурье).65Рассмотрим функцию с периодом равным 2π.

При каких условиях для такойфункции можно найти тригонометрический ряд , сходящийся к даннойфункции?а) Определение коэффициентов ряда по формулам Фурье.Пусть f(x) такова, что она представлена тригонометрическим рядом,сходящимся к данной функции в интервале [-π;π]. То есть, () – сумма ряда⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡() =02+ ∑∞=1 + (***)Проинтегрируем обе части равенства (***) от [-π;π]:ππ ππ0∫−π () = ∫−π 2 + ∑∞=1(∫−π + ∫−π ) =>ππ0∫−π () = 2 | == π0 ⁡−π1π⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0 = ∫−π ()⁡⁡⁡⁡⁡(∆)πТеперь умножим (***) на coskx и проинтегрируем () =π02 +∑∞=1 + => ⁡ ∫−π () =π 0∫−πππ + ∑∞=1(∫−π + ∫−π ) =>2π⁡ ∫−π ()1= ππ = ∫−π ()⁡⁡⁡⁡⁡(∆∆)πТеперь умножим (***) на sinkx и снова проинтегрируем.

Получим1 π = ∫ ()⁡⁡⁡⁡⁡(∆∆∆)π −πКоэффициенты определяются по формулам⁡⁡⁡(∆), (∆∆) и (∆∆∆) –коэффициенты Фурье, а ряд (**) с такими коэффициентами – ряд Фурье.б) Какими же свойствами должна обладать функция, чтобы ряд Фурье длянее сходился и чтобы сумма этого ряда была равна значениям даннойфункции в соответствующих точках.66Определение. Функция f(x)- называется кусочно-монотонной на интервале[a,b] , если этот отрезок можно разбить конечным числом точек 1 , 2 … −1на интервалы (, 1 ), (1 , 2 ) … (−1 , b) … , так чтобы на каждом изинтервалов функция была монотонной (либо невозрастающей ,либонеубывающей).Из определения следует, что если f(x) - кусочно-монотонная функция, иограниченная на [a,b], то она может иметь только разрывы первого рода(скачки).Теорема.