Курс лекций по математическому анализу, страница 8

Если периодическая функция f(x) с периодом 2⁡π – кусочномонотонная и ограниченная на [−π,⁡π] , то ряд Фурье, построенный на этойфункции сходится во всех точках. Сумма полученного ряда S(x) равназначению функции f(x) в точках непрерывности функции. В точках разрываf(x) сумма ряда S(x) равна среднему арифметическому пределу f(x) слева исправа , то есть , если x = c – точка разрыва, то ()= =(−0)+(+0)2Без доказательства. Эта теорема называется теоремой Дирихле.Примеры.21) f(x)=x [−π,⁡π], 0 = 0 ,⁡⁡⁡ = 0, ⁡⁡⁡⁡⁡ = (−1)+1⁡⁡⁡⁡[−π, 0]⁡2) f(x)={, 0 = π,−⁡⁡⁡⁡(0, π]0⁡⁡⁡ − четная⁡2 = 2 (π − 1) = {− 4 ⁡⁡ − нечетная , = 0ππ223) f(x)=⁡ ⁡[−π, π]Лекция 17. Ряды Фурье для четных и нечетных функций и для функцийс периодом 2l.180 .

Ряды Фурье для четных и нечетных функций.а) Записать ряд Фурье в обычном виде.6702+ ∑∞=1 + (1)Где,1π1π1π0 = ∫−π ()π = ∫−π ()⁡⁡π(2) = ∫−π ()⁡⁡⁡⁡⁡π(2)б) Вспомнить определение четных и нечетных функций.πРассмотрим ∫−π () в случае () − четная⁡или⁡⁡() − ⁡нечетная.π0π(−) = () − четная⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ ∫−π () = ∫−π () + ∫0 () =πππ∫0 (−) + ∫0 () = 2 ∫0 ()(−) = −() − нечетнаяπ0πππ∫−π () = ∫−π () + ∫0 () = ∫0 (−) + ∫0 () =ππ− ∫0 () + + ∫0 () = 0В) Разложим в ряд Фурье четную функцию f(x) тогда f(x)*sinnx - нечетная,f(x)*cosnx – четная(2)=>2π2π0 = ∫0 ()⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡π = ∫0 ()⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ (3)π = 0То есть ряд Фурье содержит только косинусыЕсли f(x )- нечетная, то f(x)*cosnx - нечетная , f(x)*sinnx - четная(2)=>0 = 068 = 02(4)4 = ∫0 ()⁡⁡⁡⁡⁡πТо есть ряд Фурье содержит только синусыФормулы (3) и (4) позволяют упростить вычисление коэффициентов рядаФурьеПример:f(x)=⁡ 2 ⁡⁡⁡⁡[−π, π]19 0 .

Ряд Фурье для функций с периодом 2l.Рассмотрим f(x) периодическую с периодом равным 2l . Сделаем замену=. Тогда функция ( )- будет периодической с периодом 2π и ееможно разложит на отрезке [−π, π]02( ) =+ ∑∞=1 + , где1π1π1π0 = ∫−π ( )π = ∫−π ( )⁡⁡π = ∫−π ( )πВвернемся к старой переменной=⁡⁡⁡⁡ = =>1110 = ∫− (x) = ∫− (x)π = ∫− (x)l1l = ∫− (x)l⁡⁡Все что говорилось о рядах с периодом в 2π, сохраняется для рядов спериодом в 2lПример: f(x) = x – 1[-1; 1}6920 0 . О разложении в ряд Фурье непериодических функций.Пусть f(x) располагается на[0;l], дополняя ее определение произвольнымобразом на[-l;0] мы можем разложить ее в ряд Фурье , в частностиможно ее проложить на [-l;0] четно или нечетно .Пример.1) Разложить по косинусам (синусам) функцию f(x)=x+1, заданную на[0;π].70Оглавление.ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХЛекция 1.

Основные определения. Приращения. Непрерывность…. …………1Лекция 2. Частные производные и их геометрический смысл. Полноеприращение и полный дифференциал. Применение дифференциала кприближенным вычислениям…………………………………………………………………….…5Лекция 3.Частные производные высших порядков.Равенство2 f2 f=………………………………………………..7xyyxЛекция 4. Производная сложной функции. Полная производная. Полныйдифференциал. Производные от функций, заданных неявно……………………10Лекция 5. Экстремум функции двух переменных. Наибольшее и наименьшеезначения функции двух переменных в замкнутой области. Касательнаяплоскость и нормаль к поверхности………………………………………………….…..13Лекция 6.

Скалярное поле. Линии и поверхности уровня. Производная понаправлению. Градиент и его связь с производной по направлению……….17Кратные и криволинейные интегралы.Лекция 7. Определение двойного интеграла и его вычисление………………21Лекция 8. Двойной интеграл в полярных координатах. Тройной интеграл иего вычисление. Механические приложения кратных интегралов……………28Лекция 9. Криволинейный интеграл по координатам и его вычисление.Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от путиинтегрирования………………………………………………………………………………………………34Лекция 10.

Поверхностный интеграл по координатам и его вычисление…..42Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье.71Лекция 11. Числовые ряды. Основные понятия. Необходимый признаксходимости. Свойства…………………………………………………………………………………..44Лекция 12. Достаточные признаки сходимости числовыхзнакоположительных рядов………………………………………………………………………..50Лекция 13. Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости.Абсолютная и условная сходимости.

Знакочередующийся ряд. ПризнакЛейбница…………………………………………………………………………………………..………….54Лекция 14. Функциональные ряды. Интегрирование и дифференцированиерядов. Степенные ряды. Область сходимости……………………………………………58Лекция 15. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена.Применение рядов к вычислениям определенных интегралов………………62Лекция 16.

Ряды Фурье. Определение. Постановка задачи. Примерыразложения функций в ряд Фурье в интервале (-; ) …………………………..…63Лекция 17. Ряды Фурье для четных и нечетных функций и для функций спериодом 2l…………………………………………………………………………………………………..6772.