Курс лекций по математическому анализу (1012985)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ДОРОХОВ. В. М.Курс лекций по математическому анализу. 2-ой семестр.Бакалавриат. 4-й факультет.ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХЛекция 1. Основные определения. Приращения. Непрерывность.10. Основные понятия.До сих пор мы рассматривали функции одной переменной. Однако приизучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух, трех иболее переменных.Примеры. 1. = .

(Площадь прямоугольника).2. = . (Объем параллелепипеда).3. = . (Сила тока в цепи (Закон Ома)).Определение 1. Если каждой паре (x,y) значений двух, независимых другот друга переменных величин X и Y, из некоторой области их изменения Dсоответствует определенное значение величины Z, то мы говорим, чтозадана функция двух независимых переменных величин, определенная вобласти D.Обозначения: = (, ), = (, ) и т.д..Функции двух переменных можно задавать аналитически и таблично.При проведении экспериментов получается только табличное задание.Пример табличного задания функции = .Как и функция одной переменной функция двух переменныхсуществует, вообще говоря, не для любых значений x и y.1Определение 2.

Совокупность пар (x,y) значений X и Y , при которыхопределяется функция = (, ), называется область определенияфункции двух переменных.Геометрически область определения изображается множеством точекплоскости. В частности – вся плоскость или часть плоскости, ограниченнаялиниями.Линии, ограничивающие область определения, называются границамиобласти. Точки области определения, не лежащие на границе, называютсявнутренними точками области.Если границы входят в область определения, тообласть замкнутая. Если не входят – открытая.Примеры: Найти области определенияследующих функций:1.

= 2 − 2. = √1 − 2 − 23. = ln⁡( + )Определение функции двух переменных можно обобщить на случайтрех и более переменных.Сформулируйте самостоятельно определения функции трехпеременных, n переменных.Что будет представлять собой область определения функции трехпеременных?20.

Геометрическое изображение функции двух переменных.Рассмотрим функцию z=f(x, y), определенную в области D.P(x0, y0, z0) , где z0 = f(x0,y0).Геометрическое место точек (x,y,z), координаты которыхудовлетворяют уравнению z = f(x,y), называется графиком функциидвух переменных.В частном случае это поверхность в трехмерном пространстве.Пример: z = x2 + y22Что можно сказать о графиках функцийтрех и более переменных?30. Частные и полное приращенияфункции двух переменных.Рассмотрим функцию z=f(x, y).Положим y = const.

Тогда частноеприращение функции по х находитсятак: ∆ = ( + ∆, ) − (, ).Если положить х = const, то частноеприращение по у находится поформуле:∆ = (, + ∆) − (, ).Полное приращение ищется так: ∆ = ( + ∆, + ∆) − (, ).Легко показать, что полное приращение не равно сумме частных, тоесть, что∆ ≠ ∆ + ∆ Пример.⁡⁡Пример. Вычислить частные иполное приращения функции z = х2+ ху + у2 + 3при изменении х от 2 до 2,1, у от 1до 1,2.2(2,1) = 2 + 2 ∙ 1 + 12 + 3 = 10∆ = 2,12 + 2,1 ∙ 1 + 12 + 3 − 10 = 0,51∆ = 22 + 2 ∙ 1,2 + 1,22 + 3 − 10 = 0,84∆ = 2,12 + 2,1 ∙ 1,2 + 1,22 + 3 − 10 = 1,37340. Непрерывность функций нескольких переменных.Определение.

Окрестностью радиуса точки М0(х0, у0) называетсясовокупность всех точек (х, у), удовлетворяющих неравенству√(х − х0 ) + (у − ⁡ у0 ) < , то есть совокупность всех точек, лежащихвнутри круга радиуса с центром в точке М0(х0,у0).Если мы говорим, что функция f(x, y) обладает некоторымсвойством вблизиточки (х0 , у0 ), или в окрестности точки(х0 , у0 ), то это значит, что найдетсятакой круг с центром в точке (х0 , у0 ), вовсех точках которого функция обладаетуказанным свойством.Пусть дана функция z=f(x, y),определенная в некоторой области Gплоскости х0у. Рассмотрим точкуМ0(х0,у0), расположенную в области G или на ее границе.Определение. Число А называется пределом функции f(x, y) пристремлении точкиМ(х, у) к точке М0(х0,у0), если для каждого > 0 найдется такое число > 0, что для всех точек М(х, у), для которых выполняется неравенство|ММ0 | < , имеетместо неравенство |(, ) − | < .

Записывается это так:lim f ( x, y )  A .x  x0y  y0Определение. Пусть М0(х0,у0) принадлежит области определенияфункции f(x, y).Функция z=f(x, y) называется непрерывной в точке М0(х0,у0), если(*)lim f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) ,x x0y  y04причем М(х, у) стремится к М0(х0,у0) произвольным образом, оставаясьв области определения функции.Пусть х = х0 + ∆х; у = у0 + ∆у. Тогдаlim f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0 )x x0y  y0lim  f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0 )  0x x0y  y0Обозначим ∆ = √(∆х)2 + (∆у)2Следовательно, ⁡⁡⁡ lim z  0 .(**) 0Определение.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторойобласти, называется непрерывной в этой области.Если равенство (*) не выполняется, то функция в данной точке терпитразрыв.1). z=f(x, y) определена во всех точках некоторой области, заисключением точкиМ0(х0,у0).2). Не существует lim f ( x, y )x  x0y  y03).lim f ( x, y )  f ( x0 , y0 )x x0y  y0Лекция 2. Частные производные и их геометрический смысл.

Полноеприращение и полный дифференциал. Применение дифференциалак приближенным вычислениям.50. Частные производные функции нескольких переменных.Определение.Обозначения:Определение.=;lim ⁡∆ = lim ⁡⁡⁡(+∆,)−(,)x 0∆→0 ∆z Ix ; (х, у);⁡;= ⁡ lim ⁡⁡y 0∆ ∆= ⁡ lim ⁡y 0.∆(,+∆)−(,)∆.5Правила вычисления остаются те же, что и при вычислении обычныхпроизводных. Просто если мы вычисляем производную по однойпеременной, то ко всем остальным относимся как к константам.1. z = x2sin .2. z = xy.3. u = x2 + y2 + xtz3Примеры:60. Полное приращение и полный дифференциал.∆ = ( + ∆, + ∆) − (, )Пусть в рассматриваемой точке частные производные непрерывны.Прибавим и отнимем (, + ∆)∆ = [( + ∆, + ∆) − (, + ∆)] + [(, + ∆) − (, )](̅ ,+∆)По теореме Лагранжа ( + ∆, + ∆) − (, + ∆) = ∆ ∙,где х < х̅ < х + ∆х.(, + ∆) − (, ) = ∆ ∙(,̅)у,где у < у̅ < у + ∆у.Следовательно, ∆ = ⁡ ∆ ∙(̅ ,+∆)+ ∆ ∙(,̅)у.Так как частные производные непрерывны, тоlim(̅ ,+∆)x 0y 0=(,)и lim(,̅)уx 0y 0=(,)у, следовательно, потеореме о связи функции с ее пределом, имеем(̅ ,+∆)=(,)+ 1и(,̅)⁡⁡⁡(,)уу⁡=⁡⁡⁡⁡+ 2 , где 1 и 2 -бесконечно малые величины.

Тогда полное приращение можно переписатьв виде:∆ =(,)⁡⁡⁡∆⁡+(,)у⁡ ∆ + 1 ∆ + 2 ∆.Первые два слагаемые, образующие главную часть приращения, называютсяполным дифференциалом . Таким образом6 =(,)⁡⁡⁡∆⁡+(,)у⁡ ∆Легко показать, что ∆⁡= и ∆ = //и тогда = + .Понятно, что ∆ ≈ .Пример: Найти полный дифференциал функции = 3 2 + .7. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.Пусть функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (х0, у0).∆ = (0 + ∆, 0 + ∆) − (0 , 0 ), следовательно,(0 + ∆, 0 + ∆) = (0 , 0 ) + ∆, то есть ∆ ≈ .=(0 ,0 )⁡⁡⁡∆⁡+(0 ,0 )⁡ ∆, следовательно,у(0 + ∆, 0 + ∆) = (0 , 0 ) +(0 ,0 )⁡⁡⁡∆⁡+(0 ,0 )у⁡ ∆.Пример: Вычислить приближенное значение 1,083,96.Лекция 3. Частные производные высших порядков. Равенство2 f2 f=.xyyx80.

Частные производные высших порядков.Пусть z = f(x, y).⁡⁡⁡⁡⁡исами, вообще говоря, являютсяфункциями двух переменных. Следовательно:2 z- два раза по х.x 22 z- сначала по х, потом по у.xy72 z- сначала по у, потом по х.yx2z- два раза по у.y 2Вторых производных четыре штуки.3 z 3 z3 z 3 z3 z3 z3 z3 z;;;;;;;.x 3 x 2y xyx xy 2 yxy yx 2 y 2x y 3Производных третьего порядка - 8 штук.Вообще, частная производная n-ого порядка есть производная отпроизводнойn z(n – 1) порядка.

НапримерСначала n раз беретсяx p y n pпроизводная по х, а потом (n-p) раз берется производная по у.Примеры: 1. Найти все производные второго порядка для функции f(x< y) =x3y + y3.3 z3 z2. Для функции z = y e + x y +1 найтии.x 2yyx 2Зависит ли результат дифференцирования функции нескольких переменныхот порядка дифференцирования по разным переменным, то есть будут ли2 xравныили2 32 f2 fиxyyx3 f3 fи?xyttyxМесто⁡для⁡формулы.09 .

Равенство2 f2 f=.xyyxТеорема: Если функция z=f(x, y) и ее частные производные f x , f y , f xy , f yxопределены и непрерывны в точке М(х, у) и в некоторой ее окрестности, то вэтой точке f xy = f yx .Доказательство: Рассмотрим выражение8А = [( + ∆, + ∆) − ( + ∆, )] − [(, + ∆) − (, )].Если ввести вспомогательную функцию () = ⁡(, + ∆) − (, ),то А = ( + ∆) − ().Так как по предположению f x определена в окрестности точки М(, ), то,следовательно, дифференцируема на [, + ∆].

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций