Курс лекций по математическому анализу, страница 6

Пусть Sn = ∑=1 i ; n = ∑=1 i.Из (3) следует, что Sn ≤ n(4)Так как ряд (2) сходится, то⁡⁡⁡lim ⁡n→∞ = ⁡. Таккак ряд с положительными членами, то < , аугловая (4) => Sn<⁡. То есть последовательные части сумм ограниченнасверху и возрастает => существует lim→∞ = ⁡⁡притом s< .Пример. 1) 1+122+133+144+…+1+ … сходиться. 1+122+123+124+… +12+…геометрический признак.12)121∗2+122++12∗22123++1241+… +3∗23+… +121∗2+…+…Теорема 2. Если ≤ ⁡ и ряд (1) расходится, то и ряд (2) – расходится.Доказательство.

Из условия ≤ ⁡ следует, что Sn<⁡ , но lim ⁡n→∞ =∞ => и lim ⁡n→∞ = ∞Пример. 1+1√2+11231+ +1√3+…+1√+…1+…+ +…Лекция12.Достаточныезнакоположительных рядов.признакисходимостичисловых50. Признак Даламбера.Теорема. Рассмотрим ряд с положительными членами 1 + 2 +…+ ++1 +…(1)50Если limn→∞+1= , где –конечное чиcло,(2)то 1) ряд сходится <1. 2) ряд расходится >1Доказательство.1) Пусть <1. Рассмотрим число q, такое что <q<1.

Из определенияпридела следует,что начиная с некоторого номера n ≥N :| +1 +1− | < − , где − любое наперед заданное число, из этого следует:>+1 < то есть +1 < ;далее .+1 < +2 < +1 < 2 и такРассмотрим два ряда:1 + 2 + ⋯ + + +1 + +2 +. ..(1) + + 2 + ⋯(1’)Ряд (1’) –сходится, то и сходится ряд (1) по принципу сравнения рядов.2) Пусть >1 , тогда из равенства (2) следует, что начиная с некоторогономера N для всех n≥N +1> 1 , тогда +1 > , получается, что ⁡не⁡стремится⁡к⁡0⁡⁡⁡и⁡ рядрасходится.Замечание 1. Ряд будет расходиться и в том случае , если limn→∞, так как и этом случае начиная с некоторого номера n=N +1+1=∞> 1, тогда+1 > , ≠ 0.Замечание 2. Если limn→∞+1= 1, то признак Даламбера не дает ответана вопрос о сходимости ряда.

Нужно применить какой-нибудь другойпризнак.51Замечание 3. Если limn→∞+1= 1, но отношение +1⁡для всех номеровn, начиная с некоторого больше 1,то ряд расходится. Это следует из того, что +1> 1 , то +1 > , ≠ 0⁡.Пример.1) 1 +11∗2+11∗2∗3+⋯+11(+1)! = ; +1 =2)∑∞=113 ∗23)⁡∑∞=1211∗2∗3∗…+⋯то следует , что limn→∞+1= 0 < 1 ряд сходится.1( < 1)3⁡⁡⁡⁡⁡(2 > 1)60. Радикальный признак Коши.Теорема.Рассмотрим ряд с положительными членами 1 + 2 + ⋯ + + ⋯(1)Если limn→∞ √ = ⁡, где - конечное число, то1) В случае < 1 ряд сходится2) В случае > 1 ряд расходитсяДоказательство.1) Пусть < 1 , рассмотрим : < < 1 , то начиная с некоторого n=N при| √ − | < − следует , что √ < ; < ; < и так далее, приn≥N.Рассмотрим 2 ряд1 + 2 + ⋯ + + +1 + ⋯(1’)(1) + +1 + ⋯Ряд (1’) сходящаяся геометрическая прогрессия, значит ряд (1) сходится.522)Пусть⁡⁡ > 1 , то начиная с n=N√ > 1⁡, получается > 1.

То есть ≠ 0 ряд расходится.Замечание. Если limn→∞ √ = 1, то надо дополнить исследованиепримером : ∑∞=1(2+11)⁡ Предел равен < 1.270. Интегральный признак Коши.Теорема. Пусть члены ряда 1 + 2 + ⋯ + + ⋯⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ (1)положительны и не возрастают , то есть1 ≥ 2 ≥ ⋯ ≥ ≥ ⋯(1’)и пусть f(x) такая непрерывная невозрастающая функция , чтоf(1)=⁡1 ; f(2)=⁡2 ;… f(n)=⁡ …(2)Тогда :∞1) Если ∫1 f(x) сходится, то и (1) сходится.∞2) Если ∫1 f(x) расходится , то и (1) расходится.Доказательство.Рассмотрим площадь с основанием (1)53+1 − < ∫f(x) < 1Перейдя к пределу, при n стремящейся к бесконечности , −⁡части суммы,получим∞lim +1 − 1< ∫ f(x) < →∞1∞Если ∫1 f(x) сходится, то есть имеет конечное число , то и lim→∞ +1существует, следовательно, ряд сходится.∞Если ∫1 f(x) расходится, то и lim→∞ не существует, следовательно, рядрасходится.Пример.

Покажем , что гармонический ряд расходится, используяинтегральный признак Коши.dx,x1а признак Даламбера здесь ответы не даны.1, где k – любое число, называется обобщенным гармоническимkn 1 nрядом. ПриРяд > 1⁡⁡ такой ряд сходится, а при ≤ 1⁡⁡ расходится.Лекция 13. Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости.Абсолютная и условная сходимости. Знакочередующийся ряд. ПризнакЛейбница.80. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.Определение. Ряд U1 - U2 + U3 – U4 + … , где U1 , U2 ,U3 , U4 , …положительные числа, называется знакопеременным рядом.Теорема Лейбница.

Если в знакопеременном ряде54U1 - U2 + U3 – U4 + … + (-1)n+1Un + ….(Un> 0)(1)Члены ряда таковы, что U1 > U2 > U3 > U4>… >Un > ….(2)и(3)(1).lim→∞ = 0 ,Доказательство. 1). Рассмотрим сумму n = 2m первых членов рядаS2m = (U1 – U2) + (U3 – U4) + … + (U2m-1 – U2m)Так как верно условие (2), то U2m-1 – U2m > 0 для любого m. Следовательно,S2m > 0 и возрастает с увеличением m.Теперь запишем S2m в другом виде:S2m = U1 – ( U2 - U3) – (U4 – U5) - … - (U2ь-2 - U2m-1) – U2mОпять каждое выражение в скобках положительно. Следовательно, S2m <U1.Таким образом, S2m возрастает и ограничена сверху. Значит⁡⁡ lim S2m = S,→∞причем0 < S < U12).

Теперь рассмотрим нечетное число слагаемых.S2m+1 = S2m + U2m+1 Так как по условию (3) lim→∞ 2+1 = 0, тоlim S2m+1 = lim S2m + lim U2m+1 = S + 0 =S, Таким образом, lim Sn = S как→∞→∞→∞→∞при четном так и при нечетном n и следовательно ряд (1) сходится.Замечание 1. Теорема Лейбница справедлива, если условие (2)выполняется начиная с некоторого номера n = N.55Замечание 2.Теорема Лейбница иллюстрируется геометрически так:Нечетные Sn расположены справа от S, четные – слева.Замечание 3.

Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условиямтеоремы Лейбница, то нетрудно оценить ошибку, которая получится, еслиего сумму S заменить Sn. При этом мы отбрасываем все члены ряда, начинаяс Un+1. Но эти члены составляют ряд. А его сумма не превосходит Un+1.Значит, ошибка не превосходит первого из отброшенных членов ряда.Примеры. 1 – 3. Сходятся ли ряды?1.  1n 1n 11n(сходится)n 11(сходится)nn 12 3 4n3.

1     ...  (расходится)3 5 72n1n 14. Указать границу ошибки, которую мы сделаем, если за приближенное1111значение суммы ряда ... примем1 2 1 2  3 1 2  3  4 1 2  3  4  5S3 или S4Какое из этих чисел больше точного значения суммы S , а какоеменьше?2.  190. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условнаясходимости. Достаточный признак сходимости знакопеременногоряда.56Определение. Ряд U1+ U2+ …+ Un+ … называетсязнакопеременным, если среди его членов имеются как положительные,так и отрицательные.Знакочередующиеся ряды – частный случай знакопеременных рядов.Теорема.

(Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда)Если знакопеременный ряд U1+ U2+ …+ Un+ …(1)таков, что ряд |1 | + |2 | + |3 | + ⋯ + | | + ⋯(2)сходится, то и данный ряд сходится.Доказательство.Пусть S n - n-я частичная сумма ряда (1) n - n-я частичная сумма ряда (2)S n - сумма всех положительных членов среди n первых;S n - сумма всех отрицательных членов среди n первых. n = S n + S n ;Так как ряд (2) сходится, то lim n   . S n и S n - положительныеТогдаS n ;S n = S n -nвозрастающие величины, меньшие  .

Следовательно, lim Sn  S  иlim Sn  S  Но тогда lim Sn  S   S  и ряд (1) сходится.nnnТаким образом, благодаря этой теореме можно судить о сходимостизнакопеременных рядов по сходимости знакоположительных рядов.sin  sin 2 sin 3sunnПример. Сходится ли ряд ...  ... ,222123n2где  -- любое число.sin n1Для решения рассмотрим ряд исравнимсрядом22nn 1n 1 nЗамечание. Теорема, обратная данной не имеет места. Например, ряд  1n 1n 11сходится, а рядnn 11расходится.nОпределение. Знакопеременный рядU1+ U2+ …+ Un+ …называется абсолютно сходящимся, если ряд |1 | + |2 | + |3 | + ⋯ + | | +⋯сходится.57Определение. Знакопеременный ряд U1+ U2+ …+ Un+ …называется не абсолютно или условно сходящимся, если он сам сходится, аряд |1 | + |2 | + |3 | + ⋯ + | | + ⋯ расходится.Отметим без доказательств следующие свойства абсолютно и условносходящихся рядов.Свойство 1.

Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютносходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда независит от того, в каком порядке стоят его члены.Свойство 2. Если ряд сходится условно, то какое бы мы не задали число А,можно члены ряда переставить так, что его сумма станет равной А. Болеетого, их можно так переставить, что ряд станет расходящимся.Примеры. Какие ряды сходятся условно, а какие абсолютно?1). 1 111 ...1 2 1 2  3 1 2  3  42).

1 1 1 1   ...32 52 7 21 1 13). 1     ...3 5 74).1 1 1 1 1 1 1       ...2 2 22 3 23 4 245).1111 ...ln 2 ln 3 ln 4 ln 56). 1 11 ...23(абс.)(абс.)(усл.)(абс.)(усл.)(усл.)Лекция 14. Функциональные ряды. Интегрирование идифференцирование рядов. Степенные ряды. Область сходимости.58100. Функциональные ряды. Интегрирование и дифференцированиерядов.Определение. Ряд U1(x) + U2(x) + U3(x) + … + Un(x) + … называетсяфункциональным, если его члены являются функциями, зависящими от х.Фиксируя х в таком ряде, мы получаем числовой ряд.Определение. Совокупность тех значений х, при которыхфункциональный ряд сходится, называется областью сходимости ряда.Очевидно, что в области сходимости ряда его сумма есть функция,зависящая от х.Например, ряд 1 + х + х2 + х3 + … + хn + … сходится при х ∈ (-1; 1).