Курс лекций по математическому анализу, страница 2

Тогда по теоремеЛагранжаА = ∆ ∙ / (⁡̅ ) , где < ⁡̅ < + ∆.Но / (⁡̅) = (,̅ + ∆) − / (,̅ ) .Так как f xy определена в точке М(, ), то f x дифференцируема на отрезке, + ∆]⁡Следовательно, по теореме Лагранжа⁡(,̅ + ∆) − (,̅ ) = ∆ ∙ f xy( / , / ), где < ̅ < + ∆. ИтакА = ∆∆ ∙⁡⁡⁡ f xy (̅ , ̅⁡)⁡⁡⁡⁡⁡⁡(1)Переставим в А средние слагаемые:А = [( + ∆, + ∆) − (, + ∆)] − [( + ∆, ) − (, )].Введем вспомогательную функцию⁡⁡⁡ () = ⁡( + ∆, ) − (, ),следовательно,А = ⁡ ( + ∆) −  (). По теореме Лагранжа ⁡А = ∆ ( ̿), где < ̿ < + ∆.Но   (̿) = f  ( + ∆, ̿) − f  (, ̿) = (еще раз теорема Лагранжа) =∆ f yx (,̿ ̿)А = ∆ ∆ f yx (,̿ ⁡̿)(2)Левые части формул (1) и (2) равны, следовательно,⁡ f yx (,̿ ⁡̿ ) = f xy (̅ , ̅⁡)⁡⁡⁡⁡⁡⁡Перейдя в этом равенстве к пределам при∆ → 0и ∆ → 0 , получим9f xy = f yx .Следствие: Если частные производныеn zиx p y n pn zy n p x pнепрерывны,то они равны.Пример: U = exy sin .

Найти 3u 3uи.xyzyzxЛекция 4. Производная сложной функции. Полная производная. Полныйдифференциал. Производные от функций, заданных неявно.100. Производная сложной функции. Полная производная. Полныйдифференциал.Пусть в уравнении z  F (U ,V )U   ( x, y) иV   ( x, y)(1)(2)В этом случае z является сложной функцией, зависящей от x и y .Пусть F , , имеют непрерывные частные производные по своимаргументам.Найдемzиxz.yДадим x приращение x , y  const. Тогда U и V получат приращения xU и  xV .

Следовательно, функция z  F (U ,V ) получит приращениеz :z FF xU  xV   1 xU   2 xVUVРазделим все почленно на x :10z F  xU F  xVUV 1 x   2 xx U x V xxxЕсли x  0 , то  xU  0 и  xV  0 в силу непрерывности функций U иV. 1  0 и  2  0 . Переходя к пределу при x  0 , получимz F U F Vx U x V xАналогично получимz F U F Vy U y V y2Пример: = ln⁡( 2 + 2⁡ ), где = + , = 2 + .Еслиz  F (U ,V , t ) , где U  U ( x, y) , V  V ( x, y) , t  t ( x, y)z F U F V F ty U y V y t yz F U F V F tx U x V x t xЕсли z  F (U ,V , x) ,где U  U ( x) , V  V ( x) , то мы получим полнуюпроизводную:dz F dU F dV Fdx U dx V dx xПример: = + √ , где = sin .dz z z dy1cos x 2x  cos x  2 x dx x y dx2 y2 yНайдем полный дифференциал.dz Если z  F (U ,V ) , U   ( x, y) = (zzdx  dyxyи(*)V   ( x, y) , тоF U F VF U F V) ) + (U y V yU x V x11 =F VF UVU( dx (dx dy )dy ) +U xV xyy =FFdU +dVUVили =илиzzdVdU +VU(**)Сравнивая (*) и (**), видим инвариантность формы дифференциала.Пример: Найти , если = 2 3 , где = 2 , = 3 .110.

Производные от функций, заданных неявно.Рассмотрим неявно заданную функцию (, ) = 0.Теорема: Пусть непрерывная функция , зависящая от , задана неявноформулой(, ) = 0 ,(1)где (, ), Fx  x, y  , Fy  x, y  ⁡- непрерывные функции в некоторойобласти D,содержащей точку (, ), координаты которой удовлетворяют уравнению(1).

Кроме того,в этой точке Fy  x, y   0 . Тогда yx  Доказательство.приращение ∆.Fx  x, y Fy  x, y (2)Дадим приращение ∆. Тогда получит( + ⁡ ∆, + ∆) = 0, следовательно ( + ⁡ ∆, + ∆) − ⁡(, ) =0.Выражение, стоящее справа от знака равенства, есть полное приращение. Тоесть,∆ +∆ + 1 ∆ + 2 ∆ = 0Полученное равенство разделим почленно на ∆:12 ∆∆++ 1 + 2=0 ∆∆+ 1∆=−∆+ 2Перейдя к пределу при ∆ → 0, получим2 + 2 − 1 = 0Пример:(, , ) = 0Пустьzиxформула(2):Найтиz.yЕсли ищемFzx   x . АналогичноFzПример:Fyx   x .Fy(3)z, то = . Поэтому применимаxFyzy  .Fz 2 + 2 + 2 − 2 = 0FF 2 x, 2z ,xzz2xx x2zzЛекция 5.

Экстремум функции двух переменных. Наибольшее инаименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.Касательная плоскость и нормаль к поверхности12. Экстремум функции двух переменных. Необходимое условиесуществования экстремума.13Определение 1. Функция z = f(x, y) имеет максимум в точкеМ0(х0,у0),если⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(0 , 0 ) > (, ) для всех точек (, ) достаточноблизких к точке (0⁡, 0 ) и отличных от нее.Определение 2. Функция z = f(x, y) имеет минимум в точке М0(х0,у0),если⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(0 , 0 ) < ⁡(, ) для всех точек (, ) достаточно близких к точке(0⁡, 0 ) и отличных от нее.Максимум и минимум называются экстремумами функции.Пример. = ( − ) + ( − ) − Теорема.

Если z = f(x, y) достигаетэкстремума в точке М0(х0,у0), то каждаячастнаяпроизводная первого порядка от z илиобращается в ноль в этой точке или вэтой точке не существует.Доказательство. Пусть у = у0 . Тогда f(x, y)есть функция одной переменной. Так какв z  0 или неточке х = х0 она имеет экстремум, то следовательно   x  xyxy00существует.Аналогично при х=х0.Эта теорема не является достаточной. Можно привести примеры, когдапроизводные равны нулю, однакоэкстремума нет: ⁡ = 2 − 2zx  2 x ⁡⁡⁡ zy  2 y=0Тогда {=0Точки, в которых частныепроизводные первого порядка равнынулю или не существуют,14называются критическими точками.

Если функция имеет экстремум, то онможет быть только в критических точках.13. Достаточные условия существования экстремума.Теорема. Пусть в некоторой области, содержащей точку М0(х0,у0),функция f(x, y)имеет непрерывные частные производные до третьего порядкавключительно. Пустьточка М0(х0,у0) является критической точкой функции f(x, y), то естьf x( x0 , y0 )  0 иf y( x0 , y0 )  0 . Обозначим2 f( x0 , y0 )  A ;x 22 f( x0 , y0 )  B ;xy2 f( x0 , y0 )  Cy 2Тогда: 1). Функция имеет максимум, если − 2 > 0 и⁡⁡ < 0.2).

Функция имеет минимум, если − 2 > 0 и⁡⁡ > 0.3). Функция не имеет экстремума, если − 2 < 0.4). Если − 2 = 0, то экстремум может быть, а может и не быть.Нужнодополнительное исследование.(Без доказательства).Примеры. 1. = 2 − + 2 + 3 − 2 + 1410 = − ;0 = ⁡ ;334 14 (− ; ) = −3 332. = 3 + 3 − 3 =1{ 11 = 1экстремума нет.и =0{ 22 = 0 (1; 1) = −1 В точке (0;0)1514. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных взамкнутой области.Наибольшее и наименьшее значения есть самое большое и самоемаленькое значения функции в этой области.Наибольшее и наименьшее значения нельзя смешивать с максимумом иминимумом функции, которые являются наибольшим и наименьшимзначениями только по сравнению с соседними точками.Функция f(x, y), непрерывная в некоторой ограниченной замкнутойобласти D, обязательно имеет в этой области наибольшее и наименьшеезначения.

Эти значения достигаются ею или в точках экстремума, лежащихвнутри области D, или в точках, лежащих на границах области D.Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений.1). Найти критические точки, лежащие внутри области D, и вычислитьзначения функции в этих точках, не вдаваясь в исследование, будет ли в этихточках экстремум и какого вида.2).

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границахобласти D.3). Сравнить полученные значения и выбрать наибольшее и наименьшее.15. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.Пусть имеем поверхность F(x,y,z) = 0.Определение 1. Прямая линия называется касательной к поверхности внекоторой точке P(x,y,z), если она является касательной к какой-либо кривой,лежащей на этой поверхности и проходящей через точку Р.Так как через точку Р проходит бесчисленное множество кривых,лежащих на поверхности, то и касательных бесчисленное множество.16Если в точке P(x,y,z) все три производныеFx, Fy, Fz равны нулю илихотя бы одна не существует, то точка Р называется особой точкойповерхности.Если же все три производные существуют и непрерывны, причем хотя быодна из них не равна нулю, то точка Р – обыкновенная точка поверхности.Теорема.

Все касательные прямые к данной поверхности в ееобыкновенной точке лежат в одной плоскости.Определение 2. Плоскость, в которой расположены все касательныепрямые, называется касательной плоскостью. FFFМожно показать, что вектор N   ( P); ( P); ( P) yz xперпендикулярен касательной плоскости. Тогда уравнение касательнойплоскости в точке Р имеет вид:FFF( P)  ( x  x p ) ( P)  ( y  y p ) ( P)  ( z  z p )  0xyzОпределение 3.

Прямая, проведенная через точку P(x,y,z)перпендикулярно к касательной плоскости, называется нормалью.Уравнение нормали имеет вид:x  xpy  ypz  zpFFF( P)( P)( P)xyzПример.X2 + y2 + z2 = 14P(1;2;3)Лекция 6. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня. Производнаяпо направлению. Градиент и его связь с производной по направлению.16.