Курс лекций по математическому анализу, страница 4

Область Dограничена снизу одной линией y  1 ( x) , сверху одной линией y  2 ( x) ,причем обе эти функции непрерывны на отрезке  a, b и их значенияудовлетворяют неравенству 1 ( x)  2 ( x) при x   a, b ; 3). Слева поотношению к прямой N1N2 она ограничена отрезком АВ прямой x  a ,справа отрезком СЕ прямой x  b .Возможны предельные случаи, когда один из отрезков АВ или СЕ или обасразу вырождаются в одну точку.Область, правильная в направлении оси ОХ.26Замкнутую область D будем называть правильной в направлении осиОХ, если: 1). Всякая прямая М1М2 , параллельная оси ОХ и проходящая черезвнутреннюю точку области D, пересекает границы области не более чем вдвух точках; 2).

Область D ограниченаслева одной линией x   1 ( y) , справа одной линией x   2 ( y) , причем обеэти функции непрерывны на отрезкес, d  и их значения удовлетворяютнеравенству  1 ( y)   2 ( y) при y  c, d  ;3). Снизу по отношению к прямой М1М2она ограничена отрезком АВ прямой y  c, справа отрезком СЕ прямой y  d .Возможны предельные случаи, когдаодин из отрезков АВ или СЕ или оба сразувырождаются в одну точку.Область, правильная как в направлении оси ОХ, так и в направлении осиОУ, называется просто правильной областью.50. Двукратные (повторные) интегралы и их связь с двойными.Вычисление двойных интегралов.Предположим, что функция f ( x, y) непрерывна в области D,правильной в направлении оси ОУ. Рассмотрим выражение2 ( x )b 2 ( x )a   ( x) f ( x, y)dy dx  a dx ( x) f ( x, y)dy , которое будем называть двукратным 11b27(повторным) интегралом от непрерывной функции f ( x, y) по правильной внаправлении оси ОУ области D.

Интеграл в круглых скобках будем называтьвнутренним интегралом, а определенный интеграл с постояннымипределами интегрирования будем называть внешним интегралом.Сначала вычисляется внутренний интеграл при постоянном значении х.Получается функция, зависящая от х. Потом от нее берется внешнийинтеграл. В результате получается число.

Аналогично определяетсядвукратный (повторный) интеграл от непрерывной функции f ( x, y) поправильной в направлении оси ОХ области D: 2 ( y)d 2 ( y)c   ( y ) f ( x, y)dx dy  c dy ( y ) f ( x, y)dx 11dТеорема . Двойной интеграл от непрерывной функции f ( x, y) поправильной области D равен двукратному интегралу от этой функции пообласти D. То есть f ( x, y)dxdy Db2 ( x ) dx af ( x, y )dy1 ( x)Эта теорема позволяет вычисление двойного интеграла свести квычислению двукратного интеграла.Лекция 8.

Двойной интеграл в полярных координатах. Тройнойинтеграл и его вычисление. Механические приложения кратныхинтегралов.2860. Двойной интеграл в полярных координатах.Правильной областью вполярной системе координатназывается область,ограниченная линиями1 = Φ1 () ⁡2 = Φ2 (), лучами = ⁡и⁡ = < , гдеΦ1 () ≤ Φ2 ()Любой луч, проходящий черезвнутренние точки области,пересекает ее границы не более,и в двух точках.Пусть в области D задана функция = (  , ). Разобьем область Dлюбым образом наn частей с площадями ∆1 , ∆2 , … , ∆nСоставим интегральную сумму Vn   F ( Pi )Si , где Pi – точка площади.i 1Перейдя к пределу, получим V   F ( ,  )dS . Так как предел не долженDзависеть от способа разбиения области на части, то разобьем ее лучами = 0 < 1 < 2 < ⋯ < = и концентрическими окружностями = 1 , 2 , … , ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡Составим интегральную сумму = ∑[∑ (Р )]∆ ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡1∆ = разности⁡площадей⁡двух⁡секторов = ( + ∆ )2 ∆ −1212∆22( )2 ∆ = (2 ∆ + (∆ )2 )∆ = ( +Или ∆ = i ∆ i ∆ k ,⁡⁡⁡где) ∆ ∆ .⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ i < i < i + ∆ i29Следовательно = ∑ [∑ ( k ⁡, i ⁡) i ⁡∆ i ] ∆ k ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡Пусть ∆ стремиться к нулю, ∆ = ⁡.

Тогда ∑ ( ∗ , ∗ ) ∗ ∆ =Φ2 ( ∗ )∗∫Φ ( ∗) ( , )1 Φ ()Пусть ∆ стремиться к нулю, тогда = ∫ ∫Φ 2() (Φ, )1.Если ∬() (х, ),⁡то = , = , = , (, ) =Φ ()(, ) = (, ), то = ∫ ∫Φ 2() (, )170. Тройной интеграл и его вычисление.Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутойповерхностью S. Пусть в области V и на ее границе определена некотораянепрерывная функция f(x,y,z) где x,y,z – прямоугольные координаты точкиобласти. Например, мы можем считать f(x,y,z) объемной плотностьювещества в области V.

Посчитаем массу вещества, заключенного в объеме V.Разобьем область V произвольным образом на n областей с объемами∆ . В каждой из полученных областей произвольным образом выберемточку и посчитаем значение функции в этой точке f ( ). Составиминтегральную сумму вида ∑=1 f⁡( ) ∆Теперь перейдем к пределу при → ∞ так, чтобы наибольший издиаметров областей стремился к нулю. Если этот предел не будет зависетьот способа разбиения области на части и от выбора точек , то мы егоназовем тройным интегралом и обозначим f ( P)dV .Таким образом, поVnопределениюlimdiamVi 0 f ( P )V   f ( P)dV . Илиi 1iiV f ( P)dV   f ( x, y, z)dxdydzVVТаким образом мы посчитали массу вещества и ввели понятие тройногоинтеграла.Для его вычисления дадим определение правильной трехмерной области.30Правильная трехмерная область обладает следующими свойствами:1) Любая прямая, параллельная оси Оz и проходящая через внутренниеточки области, пересекает границу Sне более чем в двух точках.2) Вся область V проецируется наплоскость Оxy в правильнуюдвумерную область D.3) Любая часть области V ,отсеченная плоскостью,параллельной любой изкоординатных плоскостей, обладаетпервыми двумя свойствами.В такой области вводится понятиетрехкратного интегралаψ2 ()∫ ∫ ψ1 ()φ2 (,)∫(, , )φ1 (,)bМожно показать, что 2 ( x) f ( x, y, z)dxdydz   dx Va1 ( x)2 ( x , y )dydz1 ( x, y )80.

Момент инерции площади плоской фигуры и тела.а). Момент инерции площади плоской фигуры.Определение 1. Моментом инерции I материальной точки М c массой mотносительно некоторой точки Оназывается = ∗ 2 , где расстояние OM.Определение 2. Моментом инерциисистемы материальных точек с31массами 1 , 2 … относительно точки О называется = ∑=1 2Определим момент инерции плоской фигуры D, расположенной в плоскостиXOY с поверхностной плоскостью = (, )∆ = (2 + 2 )( ; )∆.∆ = lim ∑(2 + 2 )( ; )∆ = ∬( 2 + 2 ) (; )∆ →0=1().Притом = ∬()( 2 ) –моемнт инерции относительно оси х,. = ∬()( 2 ) –момент инерции относительно оси у.б).

Момент инерции телаОпределение. Моменты инерции точки М(x,y,z) массы m относительнокоординатных осей Ох, Оу, Оz есть соотношения: = ( 2 + 2 )m⁡ , = ( 2 + 2 )m⁡ ,⁡ = ( 2 + 2 )m⁡.⁡⁡⁡ Рассуждаяаналогично, получим моменты инерции тела относительно осей..Например : = ∭()( 2 + 2 ) (, , ) , где −⁡плотностьвещества.Пример: Вычислить момент инерции плотнойматериальной фигуры D, ограниченной линиями 2 = 1 − , = 0, = 0, относительно оси Оу,если поверхностная плотность в каждой точкеравна у.1√1− = ∫ ∫ 2 =0012490. Координаты центра тяжести плоской фигуры и тела.а). Координаты центра тяжести плоской фигуры.32Определение. Координаты центра тяжести систем материальных точек1 , 2 , … , с массами 1 , 2 , … , =∑ ∑ ⁡; =∑ ∑ Определим координаты центра тяжести плоской фигуры D с переменнойповерхностной плотностью = (, ).Разобьем область D произвольным образом на n частей с площадями∆ ⁡и, далее рассуждая по стандартной схеме, получим∑=1 ( , )∆ ≈∑=1 (, )∆∑=1 ( , )∆⁡ ≈∑=1 (, )∆Перейдя к пределам, получим.

=∬() (, )∆.∬() (, ). =∬() (, )∆.∬() (, ).Здесь = ∬() (, )⁡ − статический момент плоской фигуройотносительно Оу.. = ∬() (, ) −⁡ статический момент плоской фигуройотносительно Ох..∬() (, )⁡ -масса фигуры.б). Координаты центра тяжести тела.Проведя аналогичные рассуждения в трехмерном пространстве, получим. =∭() (, , ).∭() (, , )33. =∭() (, , ).∭() (, , ).

=∭() (, , ).∭() (, , )Лекция 9. Криволинейный интеграл по координатам и его вычисление.Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от путиинтегрирования.100. Криволинейный интеграл по координатам и его механическийсмысл.Пусть точка Р(х, у) движется вдоль некоторой плоской линии L от точки М кточке N. К точке Р приложена сила F , которая меняется по величине инаправлению, то есть F = F(P).Вычислим работу при перемещении точки Р изположения М в положение N.

Для этого разобьёмкривую MN на n произвольных частей точками М= М0, М1, М2,…, Мn = N в направлении от М к N иобозначим через ∆ i вектор ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⁡ +1 . Величинусилы F в точке Мi обозначим через Fi .Тогда скалярное произведение векторовFi∆ i можно рассматривать как приближенноезначение работы силы F вдоль дуги ̆ +1 . Ai⁡≈ Fi∆ i . Пусть = ( ; ) + ( ; ), где ( ; )⁡и⁡ ( ; ) – проекции вектора F наоси Ох и Оу.

Обозначив через ∆ ⁡и ∆ приращения координат и приперемещении от точки Мi к точке Мi+1, получимМесто⁡для⁡формулы.∆ = ∆ + ∆ ∆ = ∆ + ∆34 ≈ ∑ ∆ = ∑[ ∆ + ∆ ]=1 = lim ∑[ ∆ + ∆ ].=1. = ∫ (, ) + (, )Или() = ∫ (, ) + (, )(М)В пространстве :.∫ (, , ) + (, , ) + (, , ) =lim∆→0 ∑=1 ( , , )∆ + ( , , )∆ + ( , , )∆∆ →0∆ →0Свойства:1) При изменения направления интегрирования криволинейногоинтеграла, интеграл меняет знак.2)∫ = ∫ + ∫.Если начало и конец пути интеграла совпадает, то это интеграл позамкнутому контуру (нужно указывать направление обхода контура)..∮ + 110.

Вычисление криволинейного интеграла.35Пусть кривая L задана уравнением впараметрической форме = ()⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡При⁡⁡ = → точка⁡.⁡⁡⁡⁡⁡⁡{ = ()⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡При⁡ = → точка⁡Разобьем MN на части точками = ( )1 (1 , 1 ), 2 (2 , 2 ) …⁡ ( , ). Причем { = ( ).Рассмотрим криволинейный интеграл: ∫ (, ) + (, )⁡ (1)Сформируем без доказательства теорему существования: Если функция()и⁡() непрерывны и имеет непрерывные производные ′ ()и⁡ ′ (),⁡атак же непрерывные функции ((), ())⁡и⁡((), ()) как функции[; ], то существуют пределы:lim ∑ (̅ , ̅)∆ =∆ →0=1lim ∑ (̅ , ̅)∆ =∆ →0=1где ̅ ⁡и⁡̅ – координаты некоторой точки, лежащей на дуге ∆ .⁡ Этипределы не зависят от способа деления L на части и от выбора точек̅̅̅ , (̅ , ̅) на дуге ∆ . Они называют криволинейными интегралами и..обозначаются : = ∫ (, ) и⁡⁡ = ∫ (, )⁡А теперь получим способ вычисления криволинейного интеграла:∫ (, ) = lim∆ →0 ∑=1 (̅ , ̅)∆⁡ (3), где ∆ = ⁡ − −1 = ( ) −(−1 )По формуле Лагранжа: ∆ = ( ) − (−1 ) = ′( )∆ , где −1 < < ̅̅̅̅ (̅ , ̅)Так как точку М можно выбрать произвольно, то выберем ее так,чтобы ̅ = ( ),⁡̅ = ( ).

Подставим ̅ , ̅⁡∆ в (3):36∫ (, ) = lim ∑ [( ), ( )] ′( )∆∆ →0=1В этой формуле справа стоит предел интегральной суммы для функцииодной переменной [(), ()]′() на отрезке [; ]. Следовательно, онравен определенному интегралу:()∫ (, ) = ∫ [(), ()]′()()Аналогично:()∫ (, ) = ∫ [(), ()]′()()Сложив полученные равенства, имеем:()∫ (, ) + (, ) = ∫{[(), ()]′() + [(), ()]′()}()Это и есть искомая формула. Если кривая задана явно = () то это = ()⁡частный случай параметрического задания функции:⁡⁡{=.∫ (, ) + (, ) = ∫ {(, ()) + (, ())′()}120. Формула ГринаУстановим связь между двойным интегралом по некоторой области D икриволинейным интегралом по границе L этой области. D – правильнаяобласть, ограниченная линиями = 1 (), = 2 (), ≤ ≤ , всовокупности составляющими замкнутый контур L.37Пусть в D заданы две непрерывныефункции (, )⁡и⁡(, ) , имеющиенепрерывные частные производные.Рассмотрим.∬(, )Представим его в виде двукратного:.