Курс лекций по математическому анализу

ДОРОХОВ. В. М.Курс лекций по математическому анализу. 2-ой семестр.Бакалавриат. 4-й факультет.ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХЛекция 1. Основные определения. Приращения. Непрерывность.10. Основные понятия.До сих пор мы рассматривали функции одной переменной. Однако приизучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух, трех иболее переменных.Примеры. 1. = .

(Площадь прямоугольника).2. = . (Объем параллелепипеда).3. = . (Сила тока в цепи (Закон Ома)).Определение 1. Если каждой паре (x,y) значений двух, независимых другот друга переменных величин X и Y, из некоторой области их изменения Dсоответствует определенное значение величины Z, то мы говорим, чтозадана функция двух независимых переменных величин, определенная вобласти D.Обозначения: = (, ), = (, ) и т.д..Функции двух переменных можно задавать аналитически и таблично.При проведении экспериментов получается только табличное задание.Пример табличного задания функции = .Как и функция одной переменной функция двух переменныхсуществует, вообще говоря, не для любых значений x и y.1Определение 2.

Совокупность пар (x,y) значений X и Y , при которыхопределяется функция = (, ), называется область определенияфункции двух переменных.Геометрически область определения изображается множеством точекплоскости. В частности – вся плоскость или часть плоскости, ограниченнаялиниями.Линии, ограничивающие область определения, называются границамиобласти. Точки области определения, не лежащие на границе, называютсявнутренними точками области.Если границы входят в область определения, тообласть замкнутая. Если не входят – открытая.Примеры: Найти области определенияследующих функций:1.

= 2 − 2. = √1 − 2 − 23. = ln⁡( + )Определение функции двух переменных можно обобщить на случайтрех и более переменных.Сформулируйте самостоятельно определения функции трехпеременных, n переменных.Что будет представлять собой область определения функции трехпеременных?20.

Геометрическое изображение функции двух переменных.Рассмотрим функцию z=f(x, y), определенную в области D.P(x0, y0, z0) , где z0 = f(x0,y0).Геометрическое место точек (x,y,z), координаты которыхудовлетворяют уравнению z = f(x,y), называется графиком функциидвух переменных.В частном случае это поверхность в трехмерном пространстве.Пример: z = x2 + y22Что можно сказать о графиках функцийтрех и более переменных?30. Частные и полное приращенияфункции двух переменных.Рассмотрим функцию z=f(x, y).Положим y = const.

Тогда частноеприращение функции по х находитсятак: ∆ = ( + ∆, ) − (, ).Если положить х = const, то частноеприращение по у находится поформуле:∆ = (, + ∆) − (, ).Полное приращение ищется так: ∆ = ( + ∆, + ∆) − (, ).Легко показать, что полное приращение не равно сумме частных, тоесть, что∆ ≠ ∆ + ∆ Пример.⁡⁡Пример. Вычислить частные иполное приращения функции z = х2+ ху + у2 + 3при изменении х от 2 до 2,1, у от 1до 1,2.2(2,1) = 2 + 2 ∙ 1 + 12 + 3 = 10∆ = 2,12 + 2,1 ∙ 1 + 12 + 3 − 10 = 0,51∆ = 22 + 2 ∙ 1,2 + 1,22 + 3 − 10 = 0,84∆ = 2,12 + 2,1 ∙ 1,2 + 1,22 + 3 − 10 = 1,37340. Непрерывность функций нескольких переменных.Определение.

Окрестностью радиуса точки М0(х0, у0) называетсясовокупность всех точек (х, у), удовлетворяющих неравенству√(х − х0 ) + (у − ⁡ у0 ) < , то есть совокупность всех точек, лежащихвнутри круга радиуса с центром в точке М0(х0,у0).Если мы говорим, что функция f(x, y) обладает некоторымсвойством вблизиточки (х0 , у0 ), или в окрестности точки(х0 , у0 ), то это значит, что найдетсятакой круг с центром в точке (х0 , у0 ), вовсех точках которого функция обладаетуказанным свойством.Пусть дана функция z=f(x, y),определенная в некоторой области Gплоскости х0у. Рассмотрим точкуМ0(х0,у0), расположенную в области G или на ее границе.Определение. Число А называется пределом функции f(x, y) пристремлении точкиМ(х, у) к точке М0(х0,у0), если для каждого > 0 найдется такое число > 0, что для всех точек М(х, у), для которых выполняется неравенство|ММ0 | < , имеетместо неравенство |(, ) − | < .

Записывается это так:lim f ( x, y )  A .x  x0y  y0Определение. Пусть М0(х0,у0) принадлежит области определенияфункции f(x, y).Функция z=f(x, y) называется непрерывной в точке М0(х0,у0), если(*)lim f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) ,x x0y  y04причем М(х, у) стремится к М0(х0,у0) произвольным образом, оставаясьв области определения функции.Пусть х = х0 + ∆х; у = у0 + ∆у. Тогдаlim f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0 )x x0y  y0lim  f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0 )  0x x0y  y0Обозначим ∆ = √(∆х)2 + (∆у)2Следовательно, ⁡⁡⁡ lim z  0 .(**) 0Определение.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторойобласти, называется непрерывной в этой области.Если равенство (*) не выполняется, то функция в данной точке терпитразрыв.1). z=f(x, y) определена во всех точках некоторой области, заисключением точкиМ0(х0,у0).2). Не существует lim f ( x, y )x  x0y  y03).lim f ( x, y )  f ( x0 , y0 )x x0y  y0Лекция 2. Частные производные и их геометрический смысл.

Полноеприращение и полный дифференциал. Применение дифференциалак приближенным вычислениям.50. Частные производные функции нескольких переменных.Определение.Обозначения:Определение.=;lim ⁡∆ = lim ⁡⁡⁡(+∆,)−(,)x 0∆→0 ∆z Ix ; (х, у);⁡;= ⁡ lim ⁡⁡y 0∆ ∆= ⁡ lim ⁡y 0.∆(,+∆)−(,)∆.5Правила вычисления остаются те же, что и при вычислении обычныхпроизводных. Просто если мы вычисляем производную по однойпеременной, то ко всем остальным относимся как к константам.1. z = x2sin .2. z = xy.3. u = x2 + y2 + xtz3Примеры:60. Полное приращение и полный дифференциал.∆ = ( + ∆, + ∆) − (, )Пусть в рассматриваемой точке частные производные непрерывны.Прибавим и отнимем (, + ∆)∆ = [( + ∆, + ∆) − (, + ∆)] + [(, + ∆) − (, )](̅ ,+∆)По теореме Лагранжа ( + ∆, + ∆) − (, + ∆) = ∆ ∙,где х < х̅ < х + ∆х.(, + ∆) − (, ) = ∆ ∙(,̅)у,где у < у̅ < у + ∆у.Следовательно, ∆ = ⁡ ∆ ∙(̅ ,+∆)+ ∆ ∙(,̅)у.Так как частные производные непрерывны, тоlim(̅ ,+∆)x 0y 0=(,)и lim(,̅)уx 0y 0=(,)у, следовательно, потеореме о связи функции с ее пределом, имеем(̅ ,+∆)=(,)+ 1и(,̅)⁡⁡⁡(,)уу⁡=⁡⁡⁡⁡+ 2 , где 1 и 2 -бесконечно малые величины.

Тогда полное приращение можно переписатьв виде:∆ =(,)⁡⁡⁡∆⁡+(,)у⁡ ∆ + 1 ∆ + 2 ∆.Первые два слагаемые, образующие главную часть приращения, называютсяполным дифференциалом . Таким образом6 =(,)⁡⁡⁡∆⁡+(,)у⁡ ∆Легко показать, что ∆⁡= и ∆ = //и тогда = + .Понятно, что ∆ ≈ .Пример: Найти полный дифференциал функции = 3 2 + .7. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.Пусть функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (х0, у0).∆ = (0 + ∆, 0 + ∆) − (0 , 0 ), следовательно,(0 + ∆, 0 + ∆) = (0 , 0 ) + ∆, то есть ∆ ≈ .=(0 ,0 )⁡⁡⁡∆⁡+(0 ,0 )⁡ ∆, следовательно,у(0 + ∆, 0 + ∆) = (0 , 0 ) +(0 ,0 )⁡⁡⁡∆⁡+(0 ,0 )у⁡ ∆.Пример: Вычислить приближенное значение 1,083,96.Лекция 3. Частные производные высших порядков. Равенство2 f2 f=.xyyx80.

Частные производные высших порядков.Пусть z = f(x, y).⁡⁡⁡⁡⁡исами, вообще говоря, являютсяфункциями двух переменных. Следовательно:2 z- два раза по х.x 22 z- сначала по х, потом по у.xy72 z- сначала по у, потом по х.yx2z- два раза по у.y 2Вторых производных четыре штуки.3 z 3 z3 z 3 z3 z3 z3 z3 z;;;;;;;.x 3 x 2y xyx xy 2 yxy yx 2 y 2x y 3Производных третьего порядка - 8 штук.Вообще, частная производная n-ого порядка есть производная отпроизводнойn z(n – 1) порядка.

НапримерСначала n раз беретсяx p y n pпроизводная по х, а потом (n-p) раз берется производная по у.Примеры: 1. Найти все производные второго порядка для функции f(x< y) =x3y + y3.3 z3 z2. Для функции z = y e + x y +1 найтии.x 2yyx 2Зависит ли результат дифференцирования функции нескольких переменныхот порядка дифференцирования по разным переменным, то есть будут ли2 xравныили2 32 f2 fиxyyx3 f3 fи?xyttyxМесто⁡для⁡формулы.09 .

Равенство2 f2 f=.xyyxТеорема: Если функция z=f(x, y) и ее частные производные f x , f y , f xy , f yxопределены и непрерывны в точке М(х, у) и в некоторой ее окрестности, то вэтой точке f xy = f yx .Доказательство: Рассмотрим выражение8А = [( + ∆, + ∆) − ( + ∆, )] − [(, + ∆) − (, )].Если ввести вспомогательную функцию () = ⁡(, + ∆) − (, ),то А = ( + ∆) − ().Так как по предположению f x определена в окрестности точки М(, ), то,следовательно, дифференцируема на [, + ∆].