Курс лекций по математическому анализу, страница 3

Скалярное поле. Линии и поверхности уровня.Пусть в трехмерном пространстве имеется область D, В которой заданафункция17U = U(x, y, z). В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле.Если, например, U(x, y, z) обозначает температуру в точке M(x, y, z) , тоговорят, что задано поле температур. Если область D заполнена газом илижидкостью, то поле давлений и так далее.Рассмотрим точки области D, в которых U(x, y, z) = С. Совокупность такихточек образует некоторую поверхность, которая называется поверхностьюуровня.Пример. U(x, y, z) = x2 + y2 + z2 Поверхность уровня x2 + y2 + z2 = С (сфера).Если функция U есть функция двух переменных , то есть U = U(x, y), то“поверхностями” уровня будут линии на плоскости Оху: U(x, y) =С.

Этолинии уровня.Если значения U мы будем откладывать по оси оz: z = U(x, y), то линиямиуровня на плоскости Оху будут проекции линий, которые получаются впересечении поверхностиz = U(x, y) с плоскостями z = С. Зная линии уровня, легко исследоватьхарактер поверхности z = U(x, y). Это используют, например, в географии.17. Производная по направлению.Рассмотрим в области D функцию U = U(x,y, z) и точку М(x, y, z).

Проведем из точкиМвектор S , направляющие косинусыкоторого , , . На вектореS на расстоянии ∆ от его началарассмотрим точку М1( + ∆, + ∆, +∆).∆ = √(∆)2 + (∆)2 + (∆)2Пусть функция U = U(x, y, z) непрерывная и имеет непрерывные частныепроизводные по своим аргументам в области D. Тогда полное приращениефункции имеет вид:18∆ =∆ +∆ +∆ + 1 ∆ + 2 ∆ + 3 ∆,(1)где 1 , 2 , 3 ⁡ → 0 при ∆ → 0.Разделим (1) на ∆ :∆ ∆ ∆ ∆∆∆∆=+++ 1+ 2+ 3 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(2)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡∆ ∆ ∆ ∆∆∆∆Очевидно, что∆∆= ⁡⁡,∆∆= ⁡,∆∆= ⁡.Тогда∆ = + + + 1 + 2 ∆ + 3 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(3)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡Предел отношения∆∆при ∆ → 0 называется производной функции U= U(x, y, z)в точке М(x, y, z) по направлению вектора S и обозначаетсяТаким образомUU limS S 0 S.(4)Перейдя в равенстве (3) к пределу, получим: = + +⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(5) Из формулы (5) следует, что зная частные производные легко получитьпроизводную по любому направлению.Сами частные производные являются частным случаем производной понаправлению.22Так, например, при = 0; ⁡ = ; ⁡ =имеем=Пример.

Дана функция U = x2 + y2 + z2. Найти производную по направлениювектораS  2i  j  3k в точке М(1; 1; 1). Ответ:12.√141918. Градиент и его связь с производной по направлению.В каждой точке области D, в которой задана функция U(x, y, z), определимвектор, проекциями которого на оси координат являются частныепроизводные;⁡;⁡в соответствующей точке grad U = +⁡+Этот вектор называется градиентом функции U(x, y, z). В этом случаеговорят, что в области D задано поле градиентов.Теорема.

Пусть дано скалярное поле U(x, y, z) и в нем определено полкградиентовgrad U = +⁡+. Производнаяпо направлению вектора Sравняется проекции вектора grad U на вектор S , то есть Прs grad U = .Доказательство. Рассмотрим единичный вектор S 0 , соответствующийвектору SS 0 = cos⁡ + cos ⁡ + cos ⁡Скалярное произведение grad U∙ S 0 = = + ⁡ + ⁡=Пусть угол это угол между grad U и S 0 . Тогда gradU  S 0  cos Так как S 0  1 , то gradU  cos U.SUU, то есть Прs0 gradU , что иSSтребовалось доказать.На основании этой теоремы наглядно установить связь междуградиентом и производной по направлению.МР = gradU  cos20Очевидно, что при изменениинаправления вектораS на противоположное производнаяизменит знак, аееабсолютная величина останетсяпрежней.Свойства градиента.1). Производная в данной точке по направлению вектора S имеетнаибольшее значение, если направление вектора S совпадает снаправлением grad U.

Это наибольшее значение равно gradU .Доказательство. ИмеемgradU gradU  cos U. Если   0 , тоSUS2). Производная по направлению вектора перпендикулярного к grad U,равна 0, так как в этом случае cos  0 .Пример. Найти градиент функции U = x2 + y2 + z2 в точке М(1; 1; 1).grad U(М) = 2i + 2j + 2k. Производная по направлению градиентаравна 2√3и равна gradU .Кратные и криволинейные интегралы.Лекция 7. Определение двойного интеграла и его вычисление.2110.

Объем цилиндрического тела.Определение. Цилиндрическимтелом называется тело, ограниченноеS1, S2 , S3 ,..., Si ,..., Sn(1)Тогда площадь всей плоской фигурыnD равна S   Sii 1Через границу каждой элементарнойплощадки Si (i  1,2,..., n) проведемцилиндрическую поверхность собразующей, параллельной оси ОZ. Эта цилиндрическая поверхностьвырежет из цилиндрического телаэлементарный цилиндр объемомVi покрытыйсверху частью поверхностиz  f ( x, y) . Всего получим nэлементарных цилиндров, которыев совокупности составят всецилиндрическое тело.

Поэтому егоnобъем V   Vi .i 1Для вычисления объема Vi выберем в каждой площадкеSi (i  1,2,..., n) произвольным образом точку Pi ( xi , yi ) . Восстановим в нейперпендикуляр, который пересечет поверхность z  f ( x, y) в точке z  f ( Pi ) .Пусть на каждой из площадок Si (i  1,2,..., n) Значениеz  f ( x, y) постоянно и равно z  f ( Pi ) . Тогда вместо элементарногоцилиндра с криволинейным верхним основанием получим прямой цилиндр,объем которого будет равен22f ( Pi )  Si . Следовательно, объем всего цилиндрического телаnV   f ( Pi )  Si(2)i 1Определение. Диаметром области называется наибольшее извозможных расстояний между всеми точками ее границы (наибольшая извсех возможных ее хорд).Обозначим через d наибольший из диаметров di элементарных площадокSi (i  1,2,..., n) .Перейдя в равенстве (2) к пределу при d  0 и n   получим объемрассматриваемого тела:nV  lim  f ( Pi )  Sid 0n i 120.

Определение двойного интеграла и условия его существования.Пусть в замкнутой ограниченной области D задана функция z  f ( x, y) двухнезависимых переменных.1). Разобьём данную область D произвольным образом на nэлементарных площадок с площадями S1, S2 , S3 ,..., Si ,..., Sn . Их суммаравна площади S всей области DnS   Si .i 12). На каждой из площадок произвольным образом выберем точкиPi ( xi , yi ) .3). Составим n произведений f ( Pi )  Si (i  1,2,..., n) .n4).

Просуммируем полученные произведения Vn   f ( Pi )  Si . Этаi 1сумма называется двумерной интегральной суммой для функции z  f ( x, y)в области D.23nРассмотрим limVn  lim  f ( Pi )  Si , где d наибольший из диаметров did 0nd 0i 1элементарных площадок Si (i  1,2,..., n) . Если этот предел не зависит отспособа разбиения области D на части и от выбора точек Pi ( xi , yi ) на каждомиз участков, то этот предел называется двойным интегралом от функцииf ( x, y) по области D и обозначается символом f ( x, y)dS .

ЗдесьDf ( x, y) - подынтегральная функция; dS - элемент площади произвольнойформы. Так как предел не зависит от способа разбиения области D на части,то удобнее разбить область D линиями, параллельными координатнымосям. Мы получим прямоугольники со сторонамиxi и yi . Тогда dS  dx  dy . И двойной интеграл приобретает вид f ( x, y)dxdy .DОчевидно, что интегрируемая функция должна быть ограниченной взамкнутой области D.Теорема. Если функция f ( x, y) непрерывна в замкнутой области D, тодвойной интеграл пообласти D существует. Другими словами, непрерывная в области D функциявсегда интегрируема.Геометрический смысл двойного интеграла состоит в том, что онопределяет объем цилиндрического тела.30.

Свойства двойного интеграла.1. Двойной интеграл от алгебраической суммы двух функций по области Dравен сумме двух двойных интегралов по области D от каждой функции вотдельности.  ( x, y)  ( x, y)dxdy   ( x, y)dxdy   ( x, y)dxdyDDD24Свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых.Доказательство основано на определении двойного интеграла и теоремы опереходе к пределу в сумме двух функций.2.

Если функции  ( x, y) и  ( x, y) интегрируемы в области D, топроизведение этих функций тоже интегрируемо в области D.3. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла. cf ( x, y)dxdy  c  f ( x, y)dxdyDD4. Свойство аддитивности. Если область D разбита некоторой кривой наобласти D1 и D2 без общих внутренних точек, и функция f ( x, y) непрерывнаво всех точках области D, то f ( x, y)dxdy   f ( x, y)dxdy   f ( x, y)dxdy .D5.

Если f ( x, y)  1, тоD1 dxdy  S , гдеD2S площадь области D.DЭто свойство позволяет с помощью двойного интеграла находить площадиплоских фигур произвольной формы.6. Интегрирование неравенств (свойство монотонности двойногоинтеграла).Если функции  ( x, y) и  ( x, y) интегрируемы в области D и всюду в этойобласти ( x, y)   ( x, y) , то ( x, y)dxdy   ( x, y)dxdyDD7. Теорема о среднем.Если функция f ( x, y) непрерывна в замкнутой области D с площадью S , то вэтой области существует точка P( , ) такая, что f ( x, y)dxdy  f ( P)  SD40. Правильные области интегрирования.25Рассмотрим на плоскости ХОУ замкнутые области D специального вида,форма которых должна удовлетворять определенным условиям.

Эти областиназываются правильными. Методы вычисления двойных интеграловбазируются на понятии правильной области.Область, правильная в направлении оси ОУ.Замкнутую область D будемназывать правильной в направлении оси ОУ, если: 1). Всякая прямая N1N2 ,параллельная оси ОУ и проходящая через внутреннюю точку области D,пересекает границы области не более чем в двух точках; 2).