Курс лекций по математическому анализу, страница 5

∬ =2() ∫ ∫ () 1=∫ 2 ()∗ (, ) | = ∫ [(, 2 ()) −1 ()(, 1 ())] (1)Заметим, что ∫ [(, 2 ())]⁡численно равен криволинейному интегралу.∫ (, ) , взятому по кривой = 2 (), параметрическое уравнение = ()⁡которой ⁡⁡{=.Таким образом: ∫ [(, 2 ())] = ∫ (, )(2).∫ [(, 1 ())] = ∫ (, )Аналогично:(3). (,)Подставим (2) и (3) в (1): ∬.. = ∫ (, ) − ∫ (, )(4)Но..∫ (, ) = − ∫ (, ).

(,)Получается: ∬.∮ (, ).. = ∫ (, ) + ∫ (, ) =(5)38Здесь обход контура ведется по часовой стрелке.Замечание: Если часть границы соответствует отрезку 3 , паралельный Оу, то.∫ (, ) = 0 и равенство (5) справедливо и в этом случае.3. (,)Аналогично найдем: ∬.− ∮ (, ) =(6)Здесь обход контура также по часовойстрелке.Вычтем из (5) (6) :.. ∬( − ) = ∮ + Если сделать обход контура против часовой:.. ∬( − ) = ∮ + Это и есть функция Грина . Д. Грин (1793-1841) английский физик иматематик.Мы предположим, что область D –правильная, то можно посчитать, что этаформула справедлива для любой области, которую можно разбить направильные области.Пример:.23∮( − √ 2 − 7 2 ) + ( 2 + 2 2 − √1 + 2 )L- замкнутый контур, пробегаемый вположительном направлении иограничивающий область , для которой0 < < 1⁡и⁡0 < < х 22(, ) = − √ 2 − 7 23(, ) = 2 + 2 2 − √1 + 239X и Y – непрерывные функции вместе со своими частными производнымипервого порядка не только в области D, но и на всей плоскости хОу.Следовательно можно пользоваться формулой Грина.= 4; ⁡⁡⁡⁡= −10 ;−= 4 − (−10) = 4 + 10 =2(2 + 5).21 = 2 ∬(2 + 5) = 2 ∫ ∫ (2 + 5) = 200Замечание: По функции Грина вычислить интеграл очень просто ,а без нее2невозможно, так как невозможно провести интегрирование для и 2 .130.

Условия независимости криволинейного интеграла от путиинтегрирования.Рассмотрим: ∫ + ⁡,⁡взятый понекоторой плоской кривой L, соединяющейточки M и N. Пусть (, ) и (, ) имеютнепрерывные частные производные врассматриваемой области D. Выясним, прикаких условиях криволинейный интеграл независит от формы кривой L, а зависит только отположения точек M и N.Рассмотрим две произвольные кривые MPN и MQN, лежащие в D исоединяющие точки M и N...Пусть ∫ + = ∫ + .(1).∫ + − ∫ + = 0..∫ + + ∫ + = 040.∮ + = 0(2)Причем кривую L можно считать произвольной.Таким образом, показано, что если интеграл не зависит от формы кривой,соединяющей эти точки, а зависит только от положения этих точек, этокриволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.Справедливо и обратное.Каким же условиям должны удовлетворять функции X и Y, чтобы ∫ + по любому замкнутому контуру был равен нулю?Теорема: Пусть во всех точках некоторой области D функции (, ) и(, ) вместе со своими частями производных ⁡⁡и⁡непрерывны.

Тогда,для того чтобы криволинейный интеграл по любой замкнутому контуру,.лужащему в D, был равен нулю, то есть, чтобы∫ (, ) + (, ) =0⁡ (2),необходимо и достаточно , чтобы=⁡,(3)во всех точках области D.Доказательство. Рассмотрим произвольную замкнутый контур L в D инапишем формулу Грина:.. ∬( − ) = ∫ + .Если выполняется условие (3), то ∫ + = 0. То есть, доказанадостаточность условия (3). Теперь докажем необходимость условия (3):.Пусть ∫ + = 0⁡, ноПусть например⁡−≠, хотя бы в одной точке (0 , 0 ) ∈ .> 0.

Так как⁡⁡−- непрерывная функция, то онабудет положительна и больше некоторого числа > 0 во всех точкахнекоторой дростаточно малой области D’, содержащей точку (0 , 0 )... ∬ ( − ) > ∬ = D’ > 0  D D41Но по формуле Грина это равно нулю, получается, что последнеенеравенство противоречит условию (2),следовательно,=⁡во всехточках области D.Замечание: Напомним, что если(,)=⁡(,), то выражения + -полный Место⁡для⁡формулы.дифференциал некоторой функции (, ),⁡тоесть (, ) = + , причем (, ) =и (, ) =. Такимобразом, криволинейный интеграл от полного дифференциала не зависит отформы кривой, по которой производится интегрирование.Лекция 10.

Поверхностный интеграл по координатам и его вычисление.140. Поверхностный интеграл по координатам.Пусть в системе координат Оxyz задана некотораяМесто⁡для⁡формулы.область V, и пусть в области V задана поверхность , ограниченнаянекоторой произвольнйо линией .Пусть в любой точке P области определяется положительное направлениенормали единичным вектором ̅(), направляющие косинусы которого –есть функции координат точек поверхности.Пусть в любой точке поверхности определен вектор̅ = (, , ) + (, , ) + (, , )X, Y, Z-непрерывные функции координат точки.

Разобьем на⁡∆⁡̅̅̅произвольных координат. Составим̅̅̅∑ ̅ ( ) ∗ ⁡̅( )∆⁡̅ ∗ ̅ − скалярное⁡произведение.Перейдя к пределу при ∆⁡̅̅̅ → 0, получим поверхностного интеграла:.∬ ̅ ∗ ̅ Физический смысл:42Любое слагаемое интегральной суммы̅ ∗ ̅̅̅∆⁡̅ |∆⁡̅ ∗ ̅̅̅)⁡⁡(*)-объем⁡⁡ ̅̅̅ = |⁡̅̅̅ ∗ cos(⁡⁡цилиндра с основанием ∆⁡̅̅̅ и высотой̅ | cos(⁡̅ ∗ ̅̅̅)⁡⁡|⁡⁡̅ - скорость жидкости, протекающейЕсли ⁡через поверхность , то (*) равно количествужидкости, протекающей через площадку ∆⁡̅̅̅за единицу времени в направлении вектора.⁡ Следовательно, ∬ ̅ ∗ ̅ - общее̅̅̅.количество жидкости, протекающей через заединицу времени в положительном направлении, если ̅ - вектор скороститечения жидкости.

Значит поверхностный интеграл- поток векторного поля ̅через поверхность ...Следствие 1. Пусть = 1 + 2 + ⋯ + , то ∬ ̅ ∗ ̅ = ∬ ̅ ∗ ̅ +.∬ ̅2∗ ̅ + ⋯ +.∬ ̅1∗ ̅ .Следствие 2. ̅ = cos(, ) + cos(, ) + cos(, ) , то ∬ ̅ ∗ ̅ =.∬[ cos(, ) + (, ) + (, )] 150. Вычисление поверхностного интеграла.Вычисление поверхностного интеграла сводится к вычислению двойногоинтеграла по плоской области..Укажем, например, способ вычисления ∬ (, ) Пусть такова, что всякая прямая, параллельная оси Oz, пересекает ее водной точке.

Значит уравнение поверхности можно записать в виде = (, )..Пусть − проекция⁡⁡на⁡плоскость⁡Оху.⁡⁡⁡Тогда⁡⁡⁡ ∬ (, ) ⁡⁡⁡ =lim→0 ∑=1 ( , , ) cos( , ) ∆ =lim. ∑=1 ( , , ( , )) cos( , )(∆ ) = ±.lim→0 ∑=1 ( , , ( , ))|∆ | = ± ∬ (, , (, ))43Плюс, если cos⁡(, ) ≥ 0 ; минус, если cos⁡(, ) ≤ 0Если такова, что не удовлетворяет условиям, то разбиваем ее на суммуобластей, удовлетворяющих условиям...Аналогично, считаем ∬ (, ) ⁡и⁡ ∬ (, ) Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье.Лекция 11.

Числовые ряды. Основные понятия. Необходимый признаксходимости. Свойства.Теория рядов является мощным орудием вычислительных методовматематики. Кроме того она насыщена глубокими логическимипостроениями. Вот почему теория рядов представляет интерес, как дляматематиков, так и для всех тех, кто занимается приложениями математики.10. Числовые ряды. Основные понятия.Пусть дана бесконечная последовательность чиселU1, U2, U3, …, Un, …(1)где Un называется общим членом последовательности.Говорят: Задана последовательность, это значит, что даны членыпоследовательности или указан закон образования ее членов, по которомуможно вычислить любой член Un для данного n.Например: Дана последовательность441,1 1 1 1, , …, ,3 5 7 9Легко сообразить, что общий член этой последовательности будет иметьвид:Un =1.2n 1Наоборот, задан общий член последовательности U n =n +1.n2Тогда легкозаписать последовательность:2,3 4 5 6, ,,, …4 9 16 25Определение 1.Выражение U1+ U2+ …+ Un+ … ,(2)составленное из членов последовательности (1), называется числовымрядом; числа U1, U2, …, Un, … называются членами ряда; Un – общий (n –ый)член ряда.Определение 2.

Сумму конечного числа n первых членов рядаSn = U1+ U2+ …+ Un(3)называют n –ой частичной суммой ряда.Очевидно, что эта сумма изменяется с изменением n. При конечном n это –конечное число. Что же происходит, когда n неограниченно возрастает?Рассмотрим частичные суммы:S1 = U1S2 = U1+ U2S3 = U1+ U2 + U3…………………….Sn = U1+ U2 + … +Un45………………………S n = S , то егоОпределение 3. Если существует конечный предел limn→∞называют суммой ряда (2) и говорят, что ряд (2) сходится.Определение 4.

Если не существует пределlimS n , то ряд (2) расходится иn суммы не имеет.Определение 5. Величина rn  S  S nназывается остатком ряда.(4)Очевидно, что rn в свою очередь является бесконечным рядом, которыйполучается из ряда (2) –путем отбрасывания п первых членов, то естьrn = U n+1 +U n+2 +U n+3 +...Величина остатка, как правило, неизвестна. Поэтому важно уметь ееоценивать.Понятия сходимости и расходимости удобнее всего выяснять на примерегеометрической прогрессии:a, aq, aq2, aq3, …, aqn-1, …Если |q| < 1, то есть прогрессия убывающая, то S =a1 q.Если |q| ≥ 1, то есть прогрессия неубывающая, то S не существует.20.

Некоторые свойства рядов.Свойство 1. Если сходится ряд, получившийся из данного ряда (2) путемотбрасывания нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд.Обратно: если ряд (2) сходится, то сходится ряд, полученный из данногоотбрасыванием нескольких его членов.46Доказательство.

Пусть Sn – сумма п первых членов ряда (2); Ск – сумма котброшенных членов. (При достаточно большом п все отброшенные членысодержатся в п первых). σ n k – сумма членов, не входящих в к, то есть Sn = Ск+ σ n k , где Ск – постоянное число, не зависящее от п. Следовательно, еслиσ n k , то существует lim S n , и наоборот. Что и требовалосьсуществует limn→∞n →∞доказать.Свойство 2.

Если ряда1 + а2 + а3 + … + ап + …(5)сходится и его сумма равна S, то рядСа1 + Са2 + Са3 + … + Сап + … ,(6)где С = const, тоже сходится и его сумма равна CS.Доказательство.Пусть Sn – энная частичная сумма ряда (5),σ n – энная частичная сумма ряда (6).Тогда σ n = Са1 + Са2 + Са3 + … + Сап =С(а1 + а2++ а3 + … + ап) = CSn. Следовательноlim σ n = lim СS n = С lim S n = CS. Что иn n n →∞требовалось доказать.Свойство 3. Если рядыа1 + а2 + а3 + … + ап + …и b1 + b2 + b3 + … + bn + …(7)(8)сходятся и их суммы равны соответственно Sи S , то ряд (a1 ± b1 ) + (a2 ± b2 ) + (a3 ± b3 ) +...+ (an ± bn ) +... (9)сходится и его сумма равна S ± S .47Доказательство. Пусть энная частичная сумма ряда (9) равна  n ряда (7) –S n , ряда (8) – S n .σ n = (a1 ± b1 ) + (a2 ± b2 ) +...+ (an ± bn ) = (a1 + a2 +...+ an ) ±± (b1 + b2 +...+ bn ) = S n ± S n .lim σ n = lim ( S n ± S n ) = lim S n ± S n = S ± S.n→∞n→∞n→∞Что и требовалось доказать.30. Необходимый признак сходимости ряда.Теорема.

Если ряд сходится, то его п-ый член стремится к нулю при п → ∞.Доказательство. Пусть U1 +U 2 +U 3 +...+U n +...сходится, то есть lim S n = S , где S – сумма ряда. Но тогда и lim S n 1 = S .n→∞n→∞Следовательно, lim S n – lim S n 1 =n →∞n →∞( S n S n 1 ) = 0 . То есть, lim U n = 0 .= 0. А значит limn→∞n→∞Что и требовалось доказать.Следствие. Если п – ый член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.Пример. Ряд1 2 3nn1+ + +...+= .+... расходится, так как limn→∞3 5 72n +1 22n +1Этот признак является необходимым, но не является достаточным, то есть,U n = 0 , то ряд может и расходится.если limn→∞481 12 31nПример. Ряд 1+ + + ...+ + ...

, называемый гармоническим, расходится,1n=0.хотя limn →∞Докажем это:Запишем ряд:11 1 1 1 1 1 1 ! 111         ...   ...2 3 4 5 6 7 8 9 1016 32(*)Запишем вспомогательный ряд:11 1 1 1 1 1 1 !111         ...   ... (**)2 4 4 8 8 8 8 16 1616 32Сравнив ряды, замечаем, что Sn  Sn .1111 11Sn  1   2   4   8  ...  1    ...   ... 48162 221 1  (k  1)  .21lim Sn  lim 1   k  1   nk 2Следовательно, lim Sn   . То есть, гармонический ряд расходится.n40. Сравнение рядов с положительными членами.Рассмотрим два ряда с положительными членамиU1+ U2+ …+ Un+ …(1)V1+V2+ … +Vn+ …(2)49Теорема 1. Если Un ≤Vn (n = 1, 2, … )(3)и ряд (2) сходится, то и ряд (1) сходится.Доказательство.