Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова, страница 7

ЗАДАЧИПодставляя в распределение Гаусса:PG ( m) =значения σm =1σ 2πe−( m− m )22σ2m ≈ 5, 2 ⋅ 109 и m = m , получаем:1≈ 7,7 ⋅ 10−11 .(1.71)σ 2πЗаметим, что 7,7⋅10–11 – это максимальное значение вероятности; вероятность любого другого числа частиц m в объеме w будетменьше.За полуширину распределения Гаусса принимается такое отклонение δот среднего значения m , для которого вероятность нахождения частиц вобъеме w в e раз меньше максимальной (рис.1.9):P( m )P ( m ± δ) =.eЭто означает, что показатель эксδпонентыдлявероятностиотклонения от среднего значения равен единице:(m − m )2δ2==12σ 22σ 2Рис.

1.9. К определению шириныираспределения Гаусса.δ = σ 2 = 2Npq ≈PG ( m ) =5,2 ⋅ 109 2 ≈ 7,3 ⋅ 109 .Таким образом, если объем w покинут ~ 1010 частиц, то вероятность нахождения частиц в объеме w уменьшится только в е раз.Следовательно, возможны значительные флуктуации числа частицв объеме w, хотя в то же время относительная флуктуация (долямолекул, участвующих во флуктуации) очень мала:2 mδ==mm2≈ 2,7 ⋅ 10−10 .m43Гл. 1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и ГауссаС увеличением числа частиц системы, с одной стороны, растетширина δ = 2Npq распределения PG ( m) , а с другой – во столькоже раз уменьшается величина его максимума:PG ( m ) =1σ 2π=1δ π≈0, 56.δОтвет:1) m = n0 w = 2,7 ⋅ 1019 частиц, σm =2) P (0) =m0!3) PG ( m ) =4)0e−mm ≈ 5, 2 ⋅ 109 частиц;19= e−2,7⋅10 ;1≈ 7,7 ⋅ 10−11 ;σ 2π2 mδ==mm2≈ 2,7 ⋅ 10−10 .mЗадача 1.2.15.

В условиях задачи 1.2.10, где определялась суммарная ошибка при измерении метровым бруском расстояния в50 м, определите плотность вероятности распределения суммарнойошибки и вероятность того, что ошибка лежит в интервале−0,01см < y < +0,01см .РешениеРаспределение ошибки xi в каждом из N = 50 опытов − пря-моугольное, равновероятное, а суммарная ошибка y = ∑ xi , такжеiявляющаяся случайной величиной, подчиняется распределениюГаусса с y = 0 и плотностью вероятности:fG ( y ) = Ce−y22σ 2.(1.72)∞Константа С находится из условия нормировки:∫fG ( y )dy = 1 .−∞∞Используя табличное значение интеграла∫e0чаем: C = 1 ( σ 2π ) .− x2dx = π / 2 , полу-44МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИВероятности попадания случайной величины y, распределенной по Гауссу, в интервалы −σ ≤ y ≤ +σ и −2σ ≤ y ≤ +2σ имеютследующие значения:+σ∫+σfG ( y )dy =−σ+2σ∫−2σ∫−σ1σ 2π+2σfG ( y )dy =∫−2σe−1σ 2πy22σ2 dye−1/ 22=∫π02y2σ 2 dy=2e−ξ d ξ ≈ 0,68 ,2π2∫2e −ξ d ξ ≈ 0,95 .0Дисперсия случайной величины «y», полученная в задаче 1.2.14,равна σ2y = n x 2 = 2 / 3см 2 .Таким образом, для плотности распределения ошибки, измеряемой в сантиметрах, получаем формулу (рис.1.10):fG ( y ) =32 πe−3 y24.(1.73)Рис.

1.10. График функции плотности вероятности fG ( y ) для случайной величиныу, являющейся суммарной ошибкой при 50-кратной укладке метровой линейки(см. задачу 1.2.10). Среднее значение ошибки y = 0 , дисперсия σ2 = 2 / 3 cм2 .Затемненная площадь равна вероятности попадания ошибки в интервал−σ y < y < +σ y .Для вычисления вероятности попадания ошибки в интервал−0,01см < y < +0,01см воспользуемся тем что, поскольку ширинаинтервала мала Δy = 0, 02см << σ = 2 / 3см ≈ 0,82см , тоГл. 1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и ГауссаPG ( Δy ) ≈ fG (0)Δy =Ответ: fG ( y ) =PG ( Δy ) =32 π32 πe−3y432 π450,02 ≈ 9,8 ⋅ 10−3 ≈ 1% .2,0,02 ≈ 9,8 ⋅ 10−3 ≈ 1% .1.3.

Задачи для самостоятельного решенияЗадача 1.3.1. Доказать, что число способов появления 10 очковпри трехкратном бросании игральной кости равно коэффициентупри х10 в многочлене ( x + x 2 + x3 + x 4 + x5 + x 6 )3 и равно 27.Задача 1.3.2. В ящике n = 5 разноцветных шаров. Определитьвероятность изъятия шаров в определенной, наперед заданной последовательности без возвращений шаров.Ответ: P ( A) = 1/ Pn = 1/ 5! = 1/120 .Задача 1.3.3. В колоде n = 36 карт. Карты вынимаются и в колоду не возвращаются.

Найти вероятность изъятия подряд m = 3карт одной масти, например червей (событие А).Ответ: P ( AAA) = P ( A) ⋅ P ( A / A) ⋅ P( A / AA) =9 8 71=⋅ ⋅= .36 35 34 85Задача 1.3.4. Сосуд, содержащий N молекул идеального газа,разделен мысленно на две равные по объему части А и В.Какова термодинамическая вероятность наиболее вероятногораспределения N молекул по объемам А и В сосуда?Определите полное число доступных состояний всей системыи вероятность наиболее вероятного распределения N молекул пообъемам А и В в случае N = 6.С какой вероятностью N1 молекул окажутся в объеме А? Найдите ее численные значения для N = 6 и N1 = 0, 1, 2.46МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИОтвет: Γ( N / 2, N / 2) = C NN / 2 =P ( N / 2, N / 2) = Γ / Γ 0 =N!, Γ0 = 2 N ,( N / 2)!( N / 2)!N!=6!6=5,163!3!2( N / 2)!( N / 2)!2 N6!1N!P ( N1 , N ) =, P (0,6) ==≈ 0,016 ,N664( N1 )!( N − N1 )!20!6!26!3P (1,6) === 0,094 ,6321!5!26!15P (2,6) === 0, 234 .6642!4!2Задача 1.3.5.

Давление идеального газа при температуреТ = 300 К равно р = 1 атм. В каком объеме w относительная флуктуация числа молекул газа равна α = 0,001? Определите среднеечисло молекул в этом объеме.1k T3Ответ: w == B 2 = 0,04 мкм3 = ( 0,34 мкм ) ,2n0αpαN w = n0 w = 1/ α 2 = 106 .Задача 1.3.6. N = 100 молекул водорода находятся при температуре 300 К в сосуде кубической формы.

Сторона куба а = 1 см.Какое вероятное время наблюдения Тн требуется для появлениясобытия, при котором все молекулы соберутся в одной половинесосуда? Считать, что минимальное время τ существования данногособытия равно времени пролета одной молекулой расстояния, равного размеру сосуда 1 см.τπMaОтвет: Так как P (0, N ) =, где τ==a= 5,6 ⋅ 10−4 c ,Tн8RTvто Tн = τ ⋅ 2 N = τ ⋅ 10 N ln 2/ln10 ≈ 5,6 ⋅ 1026 c ≈ 2 ⋅ 1019 лет .Задача 1.3.7. На горизонтальную нить нанизана бусинка, которая при каждом случайном внешнем воздействии может перемещаться на расстояние а вправо с вероятностью р и влево с вероятностью (1 – р).

Какова вероятность того, что при N перемещенияхбусинка удалится вправо на расстояние аn?Гл. 1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и Гаусса47Ответ:P=N!p( N + n )(Nn)/2!(Nn)/2!+−[][]2(1 − p )( N − n ) 2 .Задача 1.3.8. Нить накала вакуумной трубки испускает ν электронов в секунду. Можно считать, что испускание любого электрона не влияет на вероятность испускания последующих электронов.Определите средний заряд Q , испускаемый за время τ, среднююсилу электрического токаJ , дисперсию заряда Q 2 и диспер-сию тока J 2 . Процесс испускания считать стационарным пуассоновским.Ответ: Q =ντe,J =νe,Q 2 =ντe2, J 2 =νe2/τ.Задача 1.3.9.

Предположим, что при наборе книги в типографии опечатки совершаются случайным образом. Книга из500 страниц содержит 500 опечаток. Вычислите вероятность того,что 1) страница не содержит опечаток и 2) страница содержит неменее трех опечаток.Ответ: 1) 0,37; 2) 0,08.Литература1. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М: Высшая школа,1981, §§2-7.2. Миронова Г.А., Михеева Л.Ф., Попов В.В. Разработка семинаров по молекулярной физике. М: Изд-во Московского университета, 1988, с.6-27.3.

Миронова Г.А., Брандт Н.Н., Салецкий А.М. Молекулярнаяфизика и термодинамика в вопросах и задачах. М: Физический факультет МГУ, 2010, гл.1.48МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИГлава 2РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА2.1. Теоретический материалРаспределение по компонентам скоростей. Рассмотрим идеальный газ, который находится в термодинамическом равновесиипри температуре Т.Определим вероятность dP(vx , v y , vz ) , с которой молекулаидеального газа имеет скорость, компоненты которой лежат в интервале (vx , vx + dvx ), (v y , v y + dv y ), (vz , vz + dvz ) .

В пространствескоростей (в координатах (vx , v y , vz ) ) все благоприятные значенияскоростей занимают объемd τ v = dvx ⋅ dv y ⋅ dvzвблизи точки(vx , v y , vz ) . Объем одного квантового состояния в пространствескоростей:3Δvx ⋅ Δv y ⋅ Δvz =1 ⎛ 2π= ⎞⎜⎟ ,m3 ⎝ L ⎠где = = 1, 07 ⋅ 10−34 Дж ⋅ с − постоянная Планка, m − масса молекулы,L − длина грани куба, в котором движется молекула.Число квантовых состояний в объеме dτ v пропорциональноэтому объему:dg =L3m33⎛ Lm ⎞dτ=v⎜⎟ dvx ⋅ dv y ⋅ dvz = A ⋅ dvx dv y dvz ,⎝ 2π= ⎠(2π=)33⎛ mL ⎞где A = ⎜⎟ – не зависящая от скорости постоянная.⎝ 2π= ⎠С учетом того, что вероятности всех квантовых состояний вобъеме dτ v одинаковы и определяются распределением Гиббса,для вероятности, с которой молекула имеет скорость в заданномобъеме dτ v , получаем:⎛ mv 2dP( v x ,v y ,v z ) = dg ⋅ exp ⎜ −⎜ 2k BT⎝⎛ mv x2 + mv 2y + mv z2 ⎞⎞⎟ dv x dv y dv z ,⎟⎟ = A exp ⎜ −⎜⎟2k BT⎠⎝⎠Гл 2.

Распределение Максвелла49где k B = 1,380662 ⋅ 10−23 Дж/К −постоянная Больцмана.Полученное распределение Максвелла по компонентам скоростей может быть представлено в виде произведения трех независимых распределений по каждой из компонент в отдельности:dP ( v x , v y , v z ) = dP ( v x ) ⋅ dP ( v y ) ⋅ dP ( v z ) =⎛ mv 2y ⎞⎛ mv x2 ⎞⎛ mv z2 ⎞1/3⎜−⎟ dv y ⋅ A1/3 exp ⎜ −= A1/3 exp ⎜ −dv⋅Aexpdv .⎟x⎜ 2k BT ⎟⎜ 2k BT ⎟⎟ z⎜⎟2kTB⎝⎠⎝⎠⎝⎠Определяя константу А из условия нормировки:+∞+∞+∞⎛ mv x2 + mv 2y + mv z2 ⎞⎜−⎟dv = 1 ,dvdvAexp∫ x∫ y∫⎜⎟ z2k BT−∞−∞−∞⎝⎠получаем распределения по компонентам скоростей:вероятность:3/2⎛ mv x2 + mv 2y + mv z2 ⎞⎛ m ⎞⎟ dv x dv y dv z , (2.1)dP ( v x , v y , v z ) = ⎜⎟ exp ⎜⎜ −⎟2k BT⎝ 2 πk BT ⎠⎝⎠плотность вероятности:3/2⎛ mv x2 + mv 2y + mv z2 ⎞⎛ m ⎞⎜−⎟ . (2.2)f (v x , v y , v z ) = ⎜exp⎟⎜⎟2k BT⎝ 2 πk BT ⎠⎝⎠В силу независимости каждой из компонент скоростей, получаем:⎛ mv x2 ⎞m(2.3)exp ⎜ −dP( v x ) =dv ,⎜ 2k BT ⎟⎟ x2 πk BT⎝⎠⎛ mv x2 ⎞m;(2.4)f (v x ) =exp ⎜ −⎜ 2k BT ⎟⎟2 πk BT⎝⎠⎛ mv 2y ⎞m⎟ dv ,(2.5)exp ⎜ −dP ( v y ) =⎜ 2k BT ⎟ y2 πk BT⎝⎠2⎛ mv y ⎞m⎟;(2.6)exp ⎜ −f (v y ) =⎜ 2k BT ⎟2πk BT⎝⎠50МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.

ЗАДАЧИdP ( v z ) =f (v z ) =⎛ mv z2mexp ⎜ −⎜ 2k BT2 πk BT⎝⎛ mv z2mexp ⎜ −⎜ 2k BT2 πk BT⎝⎞⎟⎟ dv z ,⎠⎞⎟⎟ .⎠(2.7)(2.8)Плотность вероятности f(vx) распределения молекул идеального газа по компоненте скорости vx представлена на рис.2.1.Рис. 2.1. Кривые распределения Максвелла f ( v x ) по компоненте скорости vx отбезразмерного параметра v x v (а) и распределения f ( v ) по абсолютной величине скорости от безразмерного параметра v v (б).

На вставке (рис.б) показаныхарактерные скорости молекул: наивероятнейшая, средняя и среднеквадратичная.Распределение Максвелла по абсолютному значениюскорости определяет вероятность dP ( v ) , с которой молекула идеального газа имеет значение скорости в интервале (v, v + dv) , неза-51Гл 2. Распределение Максвеллависимо от направления скорости v. Объем, который занимают интересующие нас скорости в пространстве скоростей, представляетсобой сферический слой, радиус которого равен v, а толщина dv,объем 4πv 2 dv .

Число квантовых состояний dg (v) в этом объемепропорционально объему сферического слоя::dg (v) = B ⋅ 4πv 2 dv ,где В – константа, не зависящая от скорости.Используя распределение Гиббса для каждого состояния всферическом слое, находим распределение Максвелла по абсолютным значениям скоростей:⎛ mv 2 ⎞⎛ mv 2 ⎞2dP( v ) = dg ( v ) exp ⎜ −=Bexp⎜⎜ −⎟⎟ 4πv dv .⎜ 2k BT ⎟⎟2kTB ⎠⎝⎠⎝ВычисливВизусловиянормировки∞2⎛ mv ⎞2∫ B exp ⎜⎜ − 2kBT ⎟⎟4πv dv = 1 , окончательно получаем:⎝⎠0⎛ m ⎞dP ( v ) = ⎜⎟⎝ 2πk BT ⎠3/2⎛ mv 2exp ⎜ −⎜ 2k BT⎝⎞2⎟⎟ 4 πv dv .⎠(2.9)Плотность распределения молекул по абсолютному значению скорости (рис. 2.1):⎛ m ⎞f (v ) = ⎜⎟⎝ 2 πk BT ⎠3/2⎛ mv 2exp ⎜ −⎜ 2k BT⎝⎞2⎟⎟ 4 πv .⎠(2.10)Зависимость плотности распределения молекул по абсолютному значению скорости представлена на рис.