Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова, страница 4

ЗАДАЧИчистой случайности. Эти k = 4 подарка расположим в ряд и с помощью (m – 1) меток-запятых разделим их на m = 6 групп, числокоторых равно числу детей. Например,⊗, . , . , ⊗ ⊗ ⊗ , . , .При таком расположении меток второй, третий, пятый и шестой ребенок дополнительных подарков не получают. Число различных способов, которыми можно разделить k подарков среди mдетей, равно числу различных расположений в ряд k кружков и(m – 1) меток-запятых, то есть двух типов элементов.

Используя(1.3), получаем:(n − 1)!= C95 = 126 .Ckm+−(1m −1) = Cnm−−11 =(m − 1)!(n − m)!Ответ: 126 способами.Задача 1.2.3. В ящике находятся n = 9 карточек с изображением цифр от 1 до 9. Вынимаемые одна за другой m = 5 карточек укладываются в ряд, образуя пятизначное число. С какой вероятностью это число равно 12345 (событие i )?РешениеПоскольку заданное число можно получить только одним способом, то Ni = 1. Число N0 различных пятизначных чисел, которыеможно составить из 9 цифр, равно числу размещений из n = 9 поm = 5.

Таким образом,114!1Pi === =≈ 6, 6 ⋅ 10−5 .m59!15120AnA9Ответ: Pi = 1 / 15120 ≈ 6, 6 ⋅ 10−5 .Задача 1.2.4. Одинаковые шары, число которых равно n, случайным образом раскладывают по k ящикам. С какой вероятностьювсе шары окажутся в одном из ящиков (событие i)?РешениеПоскольку номер ящика может быть любым, то событие у может осуществиться k способами, и число благоприятных исходовNi = k.

Число доступных состояний равно числу способов, которыми n шаров можно разложить по k ящикам, а оно определяется числом сочетаний:Гл. 1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и Гаусса19(n + k − 1)!.n !(k − 1)!Следовательно, для искомой вероятности получаемNk !n !.Pi = i =N 0 (n + k − 1)!N 0 = Cnk+−(1k −1) ≡ Cnn+ ( k −1) =Ответ: Pi =Nik !n !=.N 0 (n + k − 1)!Задача 1.2.5. Определить вероятность выпадения либо цифры6, либо 5 при однократном бросании игральной кости.РешениеТак как события являются несовместными, то, с учетом (1.11),находим:P ( A5 + A6 ) = P ( A5 ) + P ( A6 ) = 1/ 6 + 1/ 6 = 1/ 3 .Ответ: 1/3.Задача 1.2.6. Какова вероятность вытащить из колоды, содержащей n = 36 карт, либо карту пиковой масти (событие А), либотуза (событие Т)?РешениеСхематическое изображение колоды из 36 карт представленона рис.1.1.

События А и Т являются совместимыми, поэтому вероятность вытащить либо пики (событие А), либо туза (событие Т)определяется в соответствии с формулой (1.12):P ( A + T ) = P ( A) + P(T ) − P( AT ) ,гдеP ( A) = 9 / 36 = 1/ 4 , P (T ) = 4 / 36 = 1/ 9 .Рис. 1.1. В левом верхнем углу пики (9 карт), в правомверхнем – бубны (9 карт), в нижнем левом –трефы (9карт), в правом нижнем – черви (9 карт). Тузы (Т)каждой масти изображены в центре.20МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.

ЗАДАЧИВероятность изъятия туза пиковой масти P ( AT ) (пика и туз)можно вычислить по формуле (1.13) P ( AT ) = P ( A) ⋅ P(T / A) , гдеP (T / A) – вероятность вытащить туза (Т) при условии, что это пики (А), равначисло тузов пик 11 1 1P (T / A) ==и P ( AT ) = ⋅ =.4 9 36число карт пик 9В итоге вероятность искомого события:P ( A + T ) = P ( A) + P (T ) − P ( A) ⋅ P(T / A) = 1 / 3 .Действительно, карты, удовлетворяющие условию задачи, –это пики (9 карт) и 3 туза других мастей, то есть 12 карт из 36 (см.рис.1.1).

Таким образом, вероятность P ( A + B ) = 12 / 36 = 1/ 3 .Ответ: 1/3.Задача 1.2.7. Определить вероятность того, что при n бросаниях игральной кости выпадет одна и та же, наперед заданная цифра(событие А).РешениеТак как n бросаний кости являются независимыми, то1nP ( AA... A) = [ P( A)] =,6nnгде P ( A) = 1/ 6 – вероятность благоприятного исхода при однократном бросании.Ответ: P ( An ) = [ P( A)] = 1/ 6n .nЗадача 1.2.8. Четыре ( n = 4 ) одинаковые монеты одновременно подбрасываются и падают либо «орлом» (о) либо «решкой» (r)вверх.

Какова вероятность P (n, m) выпадения m решек при одномброске? Число выпадающих «решек» при одном опыте в даннойзадаче является макропараметром. Каково среднее значение mчисла выпадающих «решек», если опыты продолжаются достаточно долго (в пределе бесконечно долго)? Найти стандартноеотклонение σm числа m выпадающих «решек» от среднего значе-ния m .Гл. 1.

Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и Гаусса21РешениеВыпадение «орла» (о) или «решки» (r) для одной монеты является случайной величиной. Суммарное число m решек в системе(макропараметр системы), состоящей из четырех случайных величин, также является случайной величиной. При описании макроскопической случайной величины (числа решек в системе) используем два подхода: эмпирический и статистический.Эмпирическое описание макроскопической случайной величины.

Вычисление вероятности выпадения m решек эмпирическим путем основано на определении частоты появления случайного события.Частота появления случайного события – отношение числаблагоприятных исходов опытов N (m) к полному числу N произведенных опытов: N (m) / N .Таблица 1.1Данные опытов, проведенных 20 студентами№ опыта1234567891011121314151617181920Число решек, m23031222342100212123Число орлов2141322210234423232122МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИПроделаем следующий эксперимент. Каждому из студентовпредлагается сделать один опыт: бросить монету 4 раза и подсчитать число выпавших решек и орлов.

Результаты всех опытов записываются на доске. В табл. 1.1 представлены данные опытовN exp = 20 студентов. В таблице 1.2 обобщены опыты N exp = 10первых студентов, в табл. 1.3 – опыты всех N exp = 20 студентов.Таблица 1.2Число N (m ) систем с m-макропараметром, частота N ( m ) / N exp появления m благоприятных исходов при числе опытов N exp = 10mN ( m)N ( m) / N exp01234114310,10,10,40,30,1Таблица 1.3Число N (m ) систем с m-макропараметром, частота N ( m ) / N exp появления m благоприятных исходов при числе опытов N exp = 20Нарис.mN ( m)N ( m) / N exp01234348410,150,200,400,200,051.2представленызависимостичастотν (m) = N (m) / N exp появления m решек в Nexp опытах (у Nеxp студентов) в зависимости от m.

Видим, что частота появления зависит отNexp. Однако, если увеличивать число экспериментов, то разбросточек на графике будет уменьшаться, и гистограмма будет приближаться к некоторой окончательной форме, определяющей статистический закон:Гл. 1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и ГауссаВероятность появления m решекпри бесконечном числе опытов:lim ν ( m) =N exp →∞23N (m)= P(m)N exp →∞ N explimРис. 1.2. Зависимости частот ν ( m) = N ( m) / N exp появления m решек в Nexp опытах в зависимости от m при Nеxp = 10 и Nеxp = 20.В механике, например, зная силы, действующие на материальную точку известной массы, можно "предсказать" движение точки,основываясь на законах динамики. Аналогично, основываясь наполученной зависимости P (n, m) – законе статистики, можно"предсказать", например, у какого числа студентов N(3) выпадет 3«решки», если в эксперименте принимают участие N студентов,каждый из которых подбрасывает монету четыре раза:N (3) = N ⋅ P(n = 4, m = 3) = N ⋅ P (4,3) ."Предсказание" это будет не точным (в отличие от механики),а наиболее вероятным.Можно предсказать (и это главное!) наиболее вероятное значение макропараметра m.

Не точное состояние системы (в отличие отмеханики), а наиболее вероятное ее состояние. Статистический закон распределения макропараметра числа «решек» P (n, m) (вероятность из общего числа n опытов иметь m благоприятных) в данной задаче описывается биномиальным законом. Напомним, чтоP (n, m) – это вероятность, с которой в системе из n частиц m частиц находятся в благоприятном состоянии.

Вывод аналитическойформулы биномиального закона P (n, m) наиболее нагляден пристатистическом описании системы.24МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИСтатистическое описание случайной величины. Описаниеодной микроскопической случайной величины (одной частицы системы) - это определение всех возможных (доступных) состоянийэтой величины и вероятности, с которыми она их принимает, т. енахождение закона распределения случайной величины.В нашем случае случайная величина может принимать толькодва значения: «орел» или «решка», выпадение которых предполагается равновероятным.

Обозначим значения случайной величиныui.Поскольку благоприятным, т.е. интересующим нас, исходомявляется выпадение «решки», то определим случайную величинуследующим образом⎧ u = 1 при выпадении " решки ";ui = ⎨ 1⎩u2 = 0 при выпадении " орла ".Учитывая условие нормировки вероятности∑ P(ui ) = 1 ,iполучаем для вероятности выпадения «решки» p = 1/ 2 , «орла» –q = 1 − p = 1/ 2 .В табл. 1.4 отражено полное описание случайной величины.Таблица 1.4Состояния, значения и вероятности случайной величиныЗначения величин ивероятностиДоступные состоянияслучайной величиныЗначение случайнойвеличины uiВероятность состояний P (ui)Номер состояния, i12r – «решка»0 – «орел»10p = 1/ 2q = 1 − p = 1/ 2Воспользуемся схемой статистического описания макроскопической случайной величины.1.

Анализ доступных микросостояний системы.2. Подсчет полного числа доступных микросостояний Γ0 .3. Использование основного постулата статистической физикиГл. 1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и Гаусса25и определение вероятности любого доступного микросостояниясистемы – Ps .4.