Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова, страница 3

Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины. Наиболее вероятноезначение случайной величины xmp , принимающей дискретный рядзначений xi , соответствует условию максимального значения вероятности при x = xmp :P ( xi ) x = xmp= Pmax .(1.17)12МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИСреднее значение любой функции ϕ( xi ) от дискретной случайной величины х, принимающей значения хi с вероятностью P ( xi ) ,вычисляется по формуле:ϕ( x) = ∑ ϕ( xi ) P( xi ).(1.18)iДисперсия случайной величины – среднее значение квадрата отклонения случайной величины х от ее среднего значения:σ2x = (Δx) 2 = ( x − x ) 2 = x 2 − x2,(1.19)где среднее значение случайной величины и среднее значениеквадрата случайной величины для дискретных величин определяются согласно (1.18):x 2 = ∑ xi2 P ( xi ) ,(1.20)x = ∑ xi P( xi ) .(1.21)iiСтандартное отклонение случайной величины от ее среднегозначения есть корень квадратный из дисперсии:σx =Δx 2 =( x − x )2 =x2 − x2.(1.22)Биномиальное распределение определяется следующей формулой:P (n, m) = Cnm p m q n −m .(1.23)В формуле (1.23):P(n, m) – вероятность состояния, в котором из n частиц системы m частиц находятся в благоприятных микросостояниях;p – вероятность, с которой каждая частица находится в благоприятном состоянии;q = 1 − p – вероятность, с которой каждая частица находится внеблагоприятном состоянии (с которой частица не находится в благоприятном состоянии);p m q n − m – вероятность одного состояния системы (m, n − m) , вкотором m частиц находятся в благоприятном состоянии, а n − mчастиц – в неблагоприятном.

Например, первые m случайных величин имеют благоприятное значение с вероятностью р, а оставшиеся(n − m) – неблагоприятное значение с вероятностью q = 1 − p .Гл. 1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и Гаусса13Cnm – число сочетаний из n по m , равное числу различных состояний (m, n − m) , вероятность каждого из которых равнаp m q n−m .Биномиальный закон применим для систем случайных величин:идентичных,независимых,не влияющих на энергию системы,принимающих дискретный ряд значений,которые относительно m -макропараметра могут быть разделены на две категории значений: условно называемые благоприятными (интересующими нас) или неблагоприятными (не интересующими нас) значениями.Среднее значение и дисперсия случайной величины, подчиняющейся биномиальному закону. Среднее значение макропараметра mm = np ,(1.24)дисперсия макропараметраσ2m = Δm2 = npq(1.25)и стандартное отклонение макропараметра от его среднего значения(1.26)σm = npq .Непрерывная случайная величина.

Функция плотностивероятности.1. Вероятность того, что значение случайной величины х, принимающей непрерывный ряд значений, находится в бесконечномалом интервале значений ( x, x + dx) , пропорциональна ширине dxэтого интервала:dP ( x, x + dx) = f ( x)dx .Функция f ( x) описывает распределение случайной величиныи называется функцией плотности вероятности. Она равна отношению вероятности dP ( x, x + dx) к величине dx :P ( x, x + dx)f ( x) =.(1.27)dx14МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИВероятность P ( x1 , x2 ) того, что значение случайной величиных находится в интервале от х1 до х2, равнаP ( x1 , x2 ) =x2∫f ( x) dx .x12. Условие нормировки для функции плотности вероятности(1.27):∞∫f ( x)dx = 1 .(1.28)−∞Вычисление средних значений ϕ( x) проводится по аналогиис (1.18):+∞ϕ( x) =∫ ϕ( x) f ( x)dx .(1.29)−∞3.

Пусть две случайные величины x и y связаны друг с другомфункционально: y = y ( x) , причем связь между ними однозначная:каждому значению x соответствует одно значение y и, наоборот,каждому y соответствует одно значение x. В этом случае вероятность dPx ( x, x + dx) = f ( x)dx того, что значение случайной величины х находится в интервале ( x, x + dx) , и вероятностьdPy ( y , y + dy ) = Ψ ( y )dy того, что значение случайной величиныy = y ( x) находится в интервале ( y , y + dy ) , одинаковы:dP ( y, y + dy ) = dP( y ( x), y ( x) + dy ( x)) = dP( x, x + dx) ,илиΨ ( y ) dy = f ( x) dx .Определения вероятности макросостояния.1).

Эмпирическая вероятность m-макросостояния для дискретных случайных величин (частотная вероятность):• Предел частоты ν(m ) = N (m) N exp появления m благоприятных исходов у одной системы случайных величин при числе опытов N exp → ∞lim ν (m) =N exp →∞N ( m)= P ( m) .N exp →∞ N explimГл. 1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и Гаусса• Предел отношения числа15N ( m ) систем с m-макропара-метром к полному числу N sis систем при N sis → ∞N (m)lim= P(m) .N sis →∞ N sis2). Эмпирическая вероятность m-макросостояния для системы, состояние которой непрерывно изменяется со временем (временная вероятность):Предел отношения времени t ( m ) пребывания системы в mмакросостоянии ко времени наблюдения Texp при Texp → ∞t (m)= P(m) .Texp →∞ Texplim3).

Статистическая вероятность. Отношение числа N (m)благоприятных состояний к числу доступных состояний Γ0N ( m)= P ( m) .Γ0Вероятности, соответствующие определениям пункта 1) одинаковы.Вероятности, соответствующие определениям пунктов 1) и 2)равны друг другу на основании эргодической гипотезы.Эргодическая гипотеза: частотное и временнóе определениявероятностей совпадают, а усреднение случайной величины повремени за время наблюдения texp → ∞ тождественно усреднениюслучайной величины по ансамблю, содержащему N exp → ∞ идентичных статистических систем:P ( x, x + dx) =N ( x, x + dx) t ( x, x + dx ).= P ( x, x + dx ) = limtexpN expN exp →∞texp →∞limВероятности, соответствующие определениям пунктов 1) и 3)равны друг другу на основании основного постулата статистической физики.Предельные формы биномиального распределения.

Распределения Пуассона и Гаусса. Биномиальный законN!P ( N , m) =p m q N −mm !( N − m)!16МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИприводится к видуP ( m) =mm−m,(1.30)m!называемому распределением Пуассона, при следующих трех условиях:1) число частиц (случайных величин) N >> 1 (в пределеN → ∞ );2) вероятность р реализации благоприятного события для одной случайной величины очень мала:ep << 1 ;3) Np = const .(1.31)Как и для биномиального распределения, для распределенияПуассона среднее значение случайной величины m = Np и дисперсия σ2m = Npq = m , т.к.

q = 1 .Характерной особенностью распределения Пуассона (1.30) является его зависимость только от среднего значения m макропараметра m = Np . Оно не зависит ни от числа опытов N ,ни от вероятности появления искомой случайной величины р в каждом отдельном опыте, как в случае биномиального распределения.Это распределение часто используется в тех случаях, когданужно найти вероятность обнаружения небольшого числа объектов( m << N ) в N >> 1 произведенных опытах (случайных выборках)при условии, что вероятность появления этих объектов в каждомопыте мала ( p << 1) .Другим важным предельным случаем биномиального распределения является распределение Гаусса (нормальное распределение), функция плотности вероятности которого имеет вид:( m− m )2−12σ2PG ( m) =e,(1.32)σ 2πгде m = Np – среднее значение параметра m, σ = σm = Npq –стандартное отклонение от среднего значения.

Распределение Гаусса используетсяГл. 1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и Гаусса171) для систем с большим числом частиц N >> 1 (как и в случаераспределения Пуассона): N → ∞ ;2) для значений m, близких к m ;3) при малом «шаге» изменения макропараметра Δm << σ .Высокий и острый при N >> 1 максимум биномиального распределения P (m) заменяется непрерывной (так как Δm << σ ) экспоненциальной функцией Гаусса PG (m) , а вероятность:dP(m) = PG ( m)dm .При этом несколько отличаются «крылья» распределения, соответствующие значениям m , для которых PG (m) << PG ( m ) .1.2.

Задачи с решениямиЗадача 1.2.1. Из n шаров m – белые, а остальные (n – m) – помечены крестиком: OO.....O.....⊗⊗ . Сколькими разными спо ⊗mn−mсобами все шары можно расположить в ряд?РешениеПри перестановке шаров (полное число перестановок Pn)встречаются одинаковые расположения шаров, так как в каждомвыбранном расположении элементов можно m! раз сделать перестановки белых шаров, причем при каждой такой перестановкеможно (n – m)! раз переставлять шары, помеченные крестиком.

Таким образом, число различных расположений шаров равноPnn!== Cnm ≡ Cnn −m .Pm ⋅ Pn −m m!⋅ (n − m)!Ответ: Cnm – число сочетаний из n по m.Задача 1.2.2. Сколькими способами можно n = 10 одинаковыхподарков распределить между m = 6 детьми так, чтобы каждыйребенок получил хотя бы один подарок?РешениеВыделим каждому ребенку по одному подарку, распределениеоставшихся k = n − m = 4 подарков между детьми подчиняется18МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.