Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова, страница 6

1.6 а,б).2-й способ. Рассмотрим один осциллятор в течение длительного времени t → ∞ . Начальная фаза этого осциллятора ϕ = const , нозначение ее неизвестно (и может быть равновероятно любым изинтервала 0 ≤ ϕ ≤ 2π ).34МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИабРис. 1.6. Зависимости плотностей вероятности f(ϕ), с которой осциллятор имеетзаданную начальную фазу (а) и Ψ(х), с которой осциллятор имеет заданное смещение в некоторый момент времени (б).Этот способ вычисления плотности вероятности Ψ ( x) основанна временнóм определении вероятности: вероятность P , с которойjслучайная величина находится в j-состоянии, равна пределу отношения времени пребывания в этом состоянии t j ко времени наблюдения texp при texp → ∞ :P j = limtjtexp →∞ texp.(1.52)Вероятность того, что в данный момент времени осцилляторимеет координату х в интервале x, x + dx , по определению (1.52)равна: ( x)dx = lim t ( x, x + dx) .dP j = Ψ(1.53)texptexp →∞Учитывая периодичность движения осциллятора, весь интервал времени наблюдения texp можно разбить на k периодов T0 :texp = kT0 .

В течение одного периода случайная величина бывает винтервале ( x, x + dx ) дважды: в течение времени dt1 при прямомдвижении и dt2 = dt1 при обратном движении (здесь, как и раньше, по смыслу записи dt и dx – модули соответствующих дифференциалов). Следовательно,Гл. 1. Биномиальное распределение.

Распределения Пуассона и Гаусса ( x)dx = lim t ( x, x + dx) = lim k ( dt1 + dt2 ) = 2 dt .ΨkT0T0texpk →∞texp →∞35(1.54)Из (1.54) вытекает, что ( x ) = 2 dt ,ΨT0 dxа посколькуdx2π2πA2 − [ A cos( ωt + ϕ)]2 =A2 − x 2 ,= Aω sin(ωt + ϕ) =T0T0dtто окончательно получаем:1 ( x) =.(1.55)Ψπ A2 − x 2Одинаковые результаты (1.51) и (1.55) решения задачи двумяспособами подтверждают справедливость эргодической гипотезы.Ответ: см. рис.1.6 а, б.Задача 1.2.12. В среднем на 1000 лотерейных билетов приходится один выигрышный. Какова вероятность хоть что-нибудь выиграть при покупке: 1) 100 билетов; 2) 1000 билетов?РешениеПокупку одного билета можно рассматривать как один опыт(одно испытание).В первом случае проводятся N = 100 испытаний ( N >> 1) .

Поусловию задачи вероятность выигрыша в одном испытании равна1p=<< 1 .(1.56)1 000Среднее число выигрышных билетов m1 при N = 100 испытаниях:m1 = Np = 100 /1000 = 0,1 << N .(1.57)При таких условиях для определения вероятности P (m) произвольного числа m выигрышных билетов применимо распределение Пуассона (1.30), которое при m1 = 0,1 принимает вид:P ( m) =0,1m −0,1e .m!(1.58)36МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.

ЗАДАЧИРасчет вероятностей по формуле (1.58) дает:m = 0 : P (0) = 0,9048 ;отсутствия выигрышавыигрыш одного билета m = 1 : P (1) = 0,0905 ;выигрыш двух билетовm = 2 : P (2) = 0,0045 ;выигрыш трех билетовm = 3 : P(3) = 0,0002 .Вероятность хоть что-нибудь выигратьP (m ≥ 1) = 1 − P (0) = 1 − 0,9048 = 0,0952(1.59)немного больше, чем вероятность выигрыша одного билета, и составляет около 10%.2) Поскольку во втором случае покупается в 10 раз больше билетов, то можно ли ожидать, что в 10 раз возрастет и вероятностьхоть что-нибудь выиграть, то есть что вероятность будет близка кединице?Проводя аналогичные расчеты, как и в первом случае, получаем: p = 1 1000 << 1 , среднее число выигрышных билетов m2 приN = 1000 испытаниях: m2 = Np = 1 << N ; распределение Пуассона:1 −1P ( m) =e .(1.60)m!При этом вероятность хоть что-нибудь выиграть:P (m ≥ 1) = 1 − P (0) = 1 − 1/ e = 0,63 .Ответ: 1) 0,0952; 2) 0,63.Задача 1.2.13.

Радиоактивный источник испускает α -частицы,которые регистрируются со средней частотой ν = 0, 4 частиц в секунду. Какова вероятность зарегистрировать точно m частиц завремя τ = 10c ?РешениеПокажем сначала, что вероятность P (m) того, что за время τбудет зарегистрировано m частиц, может быть описано распределением Пуассона. Для этого разделим мысленно интервал времениэксперимента τ = 10 c на большое число малых интервалов Δt .

Таккак α -частицы испускаются случайным образом, то вероятностьиспускания в течение любого из интервалов Δt не зависит от того,испускались ли частицы в другие интервалы Δt . Интервал ΔtГл. 1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и Гаусса37возьмем настолько малым, чтобы вероятность излучения частицыза Δt была очень мала. Учитывая что в среднем зa время (1/ ν) секунды излучается одна частица, выберем, напримерΔt = 0,01 ⋅ (1/ ν ) .В этом случае, в каждом интервале Δt производится независимое испытание на появление α -частицы, а число испытанийτN== 400 >> 1 .ΔtПри этом среднее значение m -макропараметра:m = ντ = 4 << N ,а вероятность регистрации α- частицы в одном испытании (в интервале Δt ) равна:mp== 0,01 << 1 .NСледовательно, применимо распределение Пуассона (1.30), которое при m = 4 принимает вид:P ( m) =4m e −4.m!(1.61)Заметим, что вероятность (1.61) регистрации m α-частиц завремя τ зависит только от m = ντ и не зависит от числа испытаний N и величины интервала Δt .Результаты вычисления P (m) с помощьюраспределения Пуассона(1.61) и для сравнения поформуле (1.23) для биномиального распределенияприведены в табл.

1.6.На рис.1.7 изображена гистограмма дискретного распределенияРис. 1.7. Гистограмма дискретного распредеПуассона для m = 4 .ления Пуассона для m = 4 .38МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИТаблица 1.6.Значения вероятностей, вычисленные с помощью распределенияПуассона PP ( m ) и биноминального распределения PB ( m ) ,и относительное отличие этих величинPP ( m ) − PB ( m )(в %)PB ( m )mPP ( m)PB ( m )PP ( m) − PB (m)× 100%PB ( m)0123456789100,01830,07330,14650,19540,19540,15630,10420,05950,02980,01320,01800,07250,14620,19590,19640,15710,10450,05940,02950,01300,00511,66671,10340,2052–0,2552–0,5092–0,5092–0,28710,16841,01691,53853,92160,00531010m =0m =0∑ PP ( m ) = 0,9972 ∑ PB (m) = 0,9976Ответ: см.рис.1.7.Распределение Пуассона описывает вероятность появления относительно редких событий.

Учитывая это, рекомендуется обратить внимания на содержание ответов на дополнительные вопросык этой задачи.1) Одинаковы ли вероятности P ( m − 1) и P ( m + 1) одного итого же единичного отклонения от среднего значения в разные стороны?Ответ: P ( m − 1) > P( m + 1) , т.е. наблюдается несимметричность относительно среднего значения.2) Одинаковы ли вероятности P1 – за τ1 = 5c зарегистрироватьодну частицу и P2 – за τ2 = 10c зарегистрировать две частицы?Ответ: P1 > P2 , так как P1 = P (1, m = ντ1 = 2) = 2e −2 = 0, 2707 ,а P2 = P (2, m = ντ2 = 4) = 4e −4 / 2 = 0,1465 .Гл.

1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и Гаусса393) Одинаковы ли вероятности P1 – за τ1 = 5c зарегистрироватьсреднее значение m -макропараметра m 1 = ντ1 = 2 частицы и P2за τ2 = 10c зарегистрировать среднее значение m -макропараметраm2= ντ2 = 4 частицы?Ответ: P1 > P2 , так как P1 = P (2, m = 2) = 0, 2707 ,P2 = P(4, m = 4) = 0,1954 .4) Изобразите на одном графике P1 (m) при m = 2 и P2 (m)при m = 4 .Ответ: см. рис.1.8.Рис. 1.8. P (m) имеет максимум вблизи m , величина которого уменьшается сростом m , так как растет область значимых величин m (для которых P (m)заметно отличается от нуля), а по условию нормировки∑ P ( m) = 1 .mЗадача 1.2.14. В закрытом сосуде, объемом V = 1м3 при нормальных условиях (давление p A = 1 атм ≈ 105 Па , температураT = 273,15K ) находится идеальный газ (молекулярная статистическая система), изолированный от каких-либо внешних силовых полей.

Состояние каждого элемента статистической системы (молекулы газа) полностью характеризуется шестью независимыми параметрами: x, y , z , v x , v y , v z . Последние три параметра связаны сэнергетическим состоянием системы, которое не зависит от x, y, z ,так как система изолирована. В объеме V выделен малый объем40МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИw = 1 см3 : w << V . 1) Определите среднее число частиц m в объеме w и среднеквадратичное отклонение от среднего σm . 2) С какой вероятностью объем w окажется пустым? 3) Определите вероятность P( m ) того, что в объеме w наблюдается среднее числоm молекул газа. 4) Сколько молекул δ должно покинуть объемw , чтобы вероятность этого состояния P ( m − δ) была в е разменьше вероятности, с которой в объеме w насчитывается m частиц: P ( m − δ) =P( m )e?РешениеРадиус-векторы частиц можно разделить на две категории.1) Радиус-векторы точек в объеме w .

Это «благоприятные»значения координат, которые каждая молекула принимает с вероятностьюw(1.62)p= .VЗаметим, что в модели идеального газа молекулы имеют малыеразмеры, поэтому вероятность появления частицы в объеме w независит от наличия в нем других частиц.2) Радиус-векторы точек вне выделенного объема w . Это неблагоприятные значения координат, которые молекула принимает свероятностьюwq =1− p =1− .(1.63)VПри условиях задачи для определения макроскопических характеристик системы применимо биномиальное распределениеN!P ( m) =p m q N −m ,(1.64)m !( N − m)!Nm = Np = w = nw ,(1.65)Vгде N – полное число молекул в объеме V, n = N / V – средняяконцентрация молекул.V −wσ2m = Npq = nw≈ nw = m .(1.66)VИспользуя уравнение состояния идеального газа (будет полу-41Гл.

1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и Гауссачено ниже) p A = n0k BT (где k B = 1,38 ⋅ 10−23 Дж / K − постояннаяБольцмана), находим среднюю концентрацию молекул:pn0 = A ≈ 2,7 ⋅ 1025 м −3 ;(1.67)k BTпо формуле (1.65) определяем среднее число молекул в объемеw = 1см3 :m = n0 w = 2,7 ⋅ 1019 частиц(1.68)и по формуле (1.66) – стандартное отклонение от среднего m :m ≈ 5, 2 ⋅ 109 частиц.σm ≈По биномиальному распределению вероятность отсутствиямолекул газа в выбранном объеме w ( m = 0 ) равна:P (0) = q N⎛1 ⎞= ⎜1 −⎟⎝ 106 ⎠2,7⋅1025=2,7⋅1025 ⎤⎡19= exp ln ⎢ 1 − 10−6⎥ ≈ exp ⎡⎣ −2, 7 ⋅ 10 ⎤⎦ .⎣⎢⎦⎥Для получения ответа на второй вопрос задачи можно такжевоспользоваться распределением Пуассона, так как w << V , N –велико иw(1.69)p = << 1 ,Vw(1.70)m = N << N .VПоэтому:(P ( 0) =m)0e−m19= e −2,7⋅10 .0!Как видим, вероятность отсутствия молекул газа в выбранномобъеме w пренебрежимо мала.Благодаря тому, что N >> 1 и Δm << σ m , вычисление вероятностей P( m ) и P ( m − δ ) значительно проще выполнить, ис-пользуя распределение Гаусса (1.32), а не биномиальное распределение.42МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.