Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова, страница 2

3458.3. Задачи для самостоятельного решения .............................. 3728.4. Литература ............................................................................ 37556МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТНРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИПРЕДИСЛОВИЕПредлагаемое пособие является составной частью серии учебно-методических разработок кафедры общей физики физическогофакультета МГУ им.

М.В.Ломоносова «Университетский курс общей физики».В основе учебного пособия лежит методика решения традиционных задач по молекулярной физике и термодинамике, разработанная для курса общей физики на физическом факультете МГУим. М.В. Ломоносова. Содержание пособия разделено на тринадцать глав с максимально возможной привязкой к действующемутематическому плану семинаров по молекулярной физике и термодинамике в курсе общей физики для студентов 1-го курса.

Каждаяглава в пособии начинается с краткого изложения соответствующего теме теоретического материала, которое сопровождается необходимыми с методической точки зрения комментариями и пояснениями. В раздел «Задачи с решениями» в первую очередь былиотобраны те задачи, ознакомление с предлагаемыми решениямикоторых (как и в случае с типовыми задачами) будет способствовать по мнению авторов лучшему пониманию и усвоению учебногоматериала.

В конце каждой главы приведены формулировки задачдля самостоятельного решения, а также список рекомендуемойучебной литературы.Представленное учебное пособие прошло апробацию в течениедвух лет на семинарах во всех учебных группах первого курса физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова и широко обсуждалось на кафедре общей физики.

Авторы выражают благодарностьсотрудникам кафедры А.В. Быкову, О.Н. Васильевой, В.А. Караваеву, Ю.А. Кокшарову, Е.А. Никаноровой, А.С. Нифанову,С.Б. Рыжикову, М.В. Семенову, Н.Е. Сырьеву за полезные обсуждения и ценные замечания. Особую признательность авторскийколлектив выражает рецензентам пособия В.А. Макарову иА.В. Уварову Авторы заранее признательны также всем, кто поспособствует улучшению в дальнейшем этого учебно-методическогопособия.Гл. 1. Биномиальное распределение.

Распределения Пуассона и Гаусса7Глава 1ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА И ГАУССА1.1. Теоретический материалЭлементы комбинаторики. Число перестановок из n элементов ( Pn ) – число способов, которыми можно расположить в ряд nэлементов:Pn = n!(1.1)Anm )Число размещений из n элементов по m (– число способов,которыми можно выбрать и расположить в ряд m элементов изданного множества, содержащего n различных элементов.Число размещений Anm меньше числа перестановок Pn в Pn−mраз:Pn!.(1.2)Anm = n =Pn −m ( n − m)!Число сочетаний из n элементов по m ( Cnm ) – число способов,которыми можно выбрать m элементов из данного множества, содержащего n одинаковых (неразличимых) элементов.Число сочетаний Cnm из n элементов по m:Cnm =Anmn!=.Pm m !(n − m)!(1.3)Случайная величина.

Вероятность. Случайная величина – этовеличина, значение которой (результат случайного события) неможет быть заранее предсказано. Существует вероятность, с которой случайная величина принимает одно из возможных значений.Число доступных состояний N 0 случайной величины – этополное число возможных значений, которые может принимать случайная величина.8МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИЧастотная вероятность Pi какого-либо случайного событияравна отношению числа благоприятных состояний Ni (из числадоступных состояний) к полному числу N 0 равновозможных доступных состояний случайной величины:NPi = i .(1.4)N0Частотная вероятность удовлетворяет условию нормировки:N∑ Pi = ∑ N iiт.е.0i=1∑ Ni = 1 ,N0 i∑ Pi = 1 .(1.5)iСложные события.

Событие, состоящее в осуществлениисобытия или А1 или А2, будем называть сложным и обозначать как(А1 + А2), то есть( A1 + A2 ) ≡ ( A1 илиA2 ) .(1.6)Событие, связанное с одновременным появлением событий А иВ, обозначим как событие АВ, то есть( AB ) ≡ ( A иB) .(1.7)Появление события А при условии, что произошло событие В(ранее или одновременно), будем обозначать как A/B, т.е.( A / B ) ≡ ( A при условии, что произошло B ) .(1.8)Классификация связей между событиями. События A1 и A2называются несовместными, если появление одного из них делаетневозможным появление второго:P ( A1 A2 ) = 0 .(1.9)События А и В называются независимыми, если появление любого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет:P ( A / B) = P ( A) .(1.10)Гл.

1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и Гаусса9Основные теоремы для вероятностей сложных событий.Формулы сложения.1. Вероятность суммы несовместных событий А1 и А2 (то естьвероятность появления или события А1, или А2) равна сумме их вероятностей:P ( A1 + A2 ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) .(1.11)2. В общем случае, для любых двух событий А и В вероятностьсуммы этих событий (то есть вероятность появления или событияА, или В) равнаP ( A + B) = P ( A) + P( B ) − P ( AB ) .(1.12)Первое слагаемое учитывает возможность появления событияА без события В и события А, совместного с событием В (событиеАВ). Второе слагаемое также учитывает эту возможность (событиеВА). Чтобы в вероятности Р(А или В) дважды не учитывать события (АВ), в формуле (1.14) вероятность Р(АВ) вычитается.Формулы умножения.1.

В общем случае вероятность появления событий (А и В) равнаP ( AB ) = P( B) ⋅ P ( A / B ) = P ( A) ⋅ P( B / A) .(1.13)2. Для независимых событий P ( A / B) = P ( A) иP ( AB ) = P( A) ⋅ P ( B ) .(1.14)Статистическая система. Микро- и макросостояния. Статистическая система – это совокупность большого числа частиц(атомов, молекул и т.д.), изучаемых методами статистической физики.Простейшей статистической системой является идеальный одноатомный газ. Но и эта система достаточно сложна, так как каждая частица из n ~ 1019 см −3 (n – число молекул идеального газа,находящихся в одном кубическом сантиметре, при нормальныхусловиях: давлении р = 1 атм и температуре T = 273 К ) имеетшесть независимых параметров: три координаты и три компоненты импульса, например: x, y, z , px , p y , pz . Значения импульсов икоординат любой частицы в произвольный момент времени невозможно предсказать точно.

Поэтому все шесть параметров, опреде-10МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИляющих состояние молекулы, являются случайными величинами, амолекулярная система – статистической системой.Целью анализа статистических систем является определениеих макроскопических характеристик (макропараметров), таких например, как полная энергия системы, суммарное действие всех молекул на стенки сосуда, т.е. давление и др. Суммарную характериnстику запишем в виде: A(t ) = ∑ ai (t ) , где A(t ) – значение суммарi =1ной характеристики в момент времени t, ai (t ) – значение этой характеристики для i-й частицы. Принципиально, что каждое слагаемое ai (t ) можно было бы рассчитать на основании законов механики (при известных начальных условиях). Однако практическиэто сделать невозможно.

Поскольку значения ai (t ) зависят отбольшого числа факторов, то характеристики A(t) и ai (t ) рассматриваются как случайные величины и описываются статистически.Статистический метод описания базируется на знании «микроскопического строения» системы. Поэтому статистическая теория является микроскопической.Микропараметры – характеристики одной частицы статистической системы, определяющие ее состояние в этой системе.Микросостояние статистической системы – это состояние, задаваемое значениями всех случайных величин для всех частиц системы, что соответствует наиболее подробному описанию системы.Макропараметр – величина, которая может быть определена спомощью макроскопических измерений, ее значение зависит отсуммарного действия всех частиц системы.Макросостояние – состояние системы, описанное с помощьюмакроскопически измеряемых параметров – макропараметров.Функция (закон) распределения случайной величины – этофункция, определяющая вероятность каждого состояния из числадоступных состояний или плотность вероятности (см.

определениениже) случайной величины.Цель описания случайной величины – получение функции распределения случайной величины, используемой для вычислениясредних значений макроскопических параметров и стандартныхотклонений от средних значений:11Гл. 1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и ГауссаОписаниеОпределениеслучайной ⇒ Статистический ⇒ средних значенийзаконвеличинымакропараметровРассмотрим сначала такие системы, значения случайных величин в которых не связаны с энергией системы. В частности, дляидеального газа к такой системе случайных величин относятся координаты частиц при условии, что газ не находится в каком-либопотенциальном поле.Статистическое описание микроскопической случайной величины включает в себя определение всех возможных (доступных)состояний этой величины и вероятностей, с которыми она их принимает, т. е определение закона распределения случайной величины.Основной постулат статистической физики – постулат равной априорной вероятности: если изолированная система находится в равновесии, то ее можно обнаружить с равной вероятностьюPs в любом из доступных микросостояний:1Ps =,(1.15)Γ0где Γ 0 − полное число доступных микросостояний.Термодинамическая вероятность Γ(n, m) макросостояния системы, состоящей из n частиц и имеющей значение макропараметраm, – число микросостояний, которыми осуществляется данное макросостояние.Математическая вероятность макросостояния P(n, m) равнаотношению термодинамической вероятности Γ(n, m) к полномучислу Γ0 доступных микросостояний системы:P (n, m) = Γ(n, m) / Γ 0 = Γ(n, m) ⋅ Ps .(1.16)Наиболее вероятное и среднее значения.