Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова

Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова, страница 10

PDF-файл Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова, страница 10 Физика (77680): Книга - 2 семестрУчебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова: Физика - PDF, страница 10 (77680) - СтудИзба2020-10-28СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МФТИ (ГУ). Не смотря на прямую связь этого архива с МФТИ (ГУ), его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 10 страницы из PDF

В закрытом сосуде находится азот при температуре T = 27°С и давлении p = 1 атм . Какое число ΔN молекул азота, имеющих компоненту скорости v⊥ ≥ v0 = 1000м/с , перпендикулярную стенке, ударяется ежесекундно о выделенную площадку наэтой стенке? Площадь выделенной площадки Σ = 1cм 2 .∞⎡ Mv02 ⎤ppΣ=vfvdvexpОтвет: ΔN = Σ()⎢−⎥=xxxk BT v∫2 RT ⎦⎥2πmk BT⎢⎣0=105 ⋅ 10−6⎡ 28 ⋅ 10−3106 ⎤7exp ⎢ −⎥ ≈ 4 ⋅ 10 .−323⋅⋅28,313002π ⋅ 28 ⋅ 10 300 /(6 ⋅ 10 )⎣⎢⎦⎥Задача 2.3.9. Два сосуда имеют одну общую стенку. В обоихсосудах находится идеальный газ при температуре Т.

Давления всосудах р1 и p2 < p1 поддерживаются постоянными. В стенке – перегородке имеется малое отверстие, площадь которого Σ. На какоечисло молекул ∆N за одну секунду возрастает количество молекулгаза в сосуде с меньшим давлением? Какая энергия ∆W переносится за секунду?ΔN12 1−1/2= n1 v1 = p1 ( 2πmk BT )Ответ:;Σ469Гл 2. Распределение МаксвеллаΔN = ΔN12 − ΔN 21 = Σ ⋅ Δp ( 2πmk BT )−1/2;∞2ΔW122k BT⎡1⎤ mv;= ∫ ⎢ ( n1 f ( v )dv ) v ⎥ ⋅= p1Σ42πm⎣⎦0ΔW = ΔW12 − ΔW21 = Σ ⋅ Δp2k BT;πmΔW3= 2k BT > k BT .ΔN2Литература1.

Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М: Высшая школа,1981, §8.2. Кикоин А.К.. Кикоин И.К. Молекулярная физика. 3-е изд.СПб: Лань, 2007, §§11-18.3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.II. Термодинамика имолекулярная физика. М: Наука. 1990, §§70-76.4. Миронова Г.А., Михеева Л.Ф., Попов В.В. Разработка семинаров по молекулярной физике. М: Изд-во Московского университета, 1988, с.53-66.5. Миронова Г.А., Брандт Н.Н., Салецкий А.М.

Молекулярнаяфизика и термодинамика в вопросах и задачах. М: Физический факультет МГУ, 2010, гл.3.6. Касандрова О.Н., Матвеев А.Н., Попов В.В. Пособие по решению задач молекулярной физики. М: Изд-во Московского университета, 1974, раздел I.7. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. 9-е изд. СПб: Лань,2005, 2.3.70МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИГлава 3РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА3.1. Теоретический материалЕсли молекулы идеального газа, находятся при температуре Т впотенциальном поле, то вероятность dPB ( x, y , z ) , с котороймолекула газа, обладающая потенциальной энергией U(x,y,z), имееткоординаты в интервале значений (x, x + dx), (y, y + dy), (z, z + dz)описывается распределением Больцмана⎛ U ( x, y , z ) ⎞dPB ( x, y , z ) = A exp ⎜ −(3.1)⎟ dxdydz .k BT ⎠⎝Константа А находится из условия нормировки распределения.3.2.

Задачи с решениямиЗадача 3.2.1. N0 молекул идеального газа находятся притемпературе Т в закрытом вертикальном цилиндрическом сосуде вполе силы тяжести (рис. 3.1). Высота цилиндра Н, площадьоснования S, масса одной молекулы m. Определить: 1) зависимостьконцентрации молекул газа от высоты; 2) изменение этойзависимости от температуры; 3) положение центра масс газа взависимости от Т; 4) среднее значение потенциальной энергии (врасчете на одну молекулу).РешениеВ декартовой системе координат, ось z которой направленавертикально вверх вдоль оси цилиндра (рис. 3.1), потенциальнаяэнергия молекулы зависит только от координаты z. В этом случаеэлемент объема, в котором молекулы газа обладают одинаковойпотенциальной энергией, можно записать в виде:dV = Sdz .Пусть потенциальная энергия молекулы на дне цилиндра (вточке z = 0) равна нулю, тогда потенциальная энергия молекулы,имеющей координату z,U ( z ) = mgz ,(3.2)71Гл 3.

Распределение Больцманагде m – масса молекулы. Распределение Больцмана для молекулидеального газа, находящихся в поле силы тяжести, имеет вид:⎛ mgz ⎞dPB ( z ) = A exp ⎜ −(3.3)⎟ Sdz ,⎝ k BT ⎠где плотность вероятности:⎛ mgz ⎞f B ( z ) = AS exp ⎜ −⎟.⎝ k BT ⎠a(3.4)бРис. 3.1 а – N0 молекул идеального газа находятся в закрытом вертикальномцилиндрическом сосуде (термостате) при температуре Т. Высота цилиндра Н,площадь основания S. б – зависимость концентрации молекул n(z) от высоты z.Константу А определяем из условия нормировки:H⎛ mgz ⎞∫ Aexp ⎜⎝ − kBT ⎟⎠ Sdz = 1 ,0−1⎧⎪ H⎛ mgz ⎞ ⎫⎪a / (H ⋅ S),(3.5)A = ⎨ S ⋅ ∫ exp ⎜ −⎟ dz ⎬ =−−kT1exp(a)B⎝⎠⎩⎪ 0⎭⎪mgH MgHгде a =– безразмерная величина, молярная масса=k BTRTM = N A m , R – универсальная газовая постоянная, NA – числоАвогадро.Используя распределение (3.3), определим число частицdN ( z ) , находящихся в слое ( z , z + dz ) , то есть в объеме dV = Sdz :dN ( z ) = N 0dPB ( z )(3.6)72МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.

ЗАДАЧИи концентрацию молекул в слое ( z , z + dz ) :n( z ) =⎛ U ( z) ⎞dN ( z ) N 0dPB ( z )== N 0 Aexp ⎜ −⎟.SdzSdz⎝ k BT ⎠(3.7)Здесь N0 – полное число молекул в цилиндрическом сосуде. Знаяn(z), можно определить среднее значение любой функции от z,например, <mgz> (см.

ниже).Константу А можно связать с концентрацией молекул у днасосуда воспользовавшись соотношением (3.7):n(0) = A ⋅ N 0 ,(3.8)или с плотностью вероятности нахождения молекулы у дна сосуда– с помощью соотношения (3.4):f B (0) = A ⋅ S .(3.9)С учетом (3.4) зависимость концентрации (3.7) молекул отвысоты может быть представлена в виде (рис. 3.1б):⎛ mgz ⎞(3.10)n ( z ) = n (0) ⋅ exp ⎜ −⎟.⎝ k BT ⎠Концентрацию n(0) молекул у дна сосуда выразим черезNсреднюю концентрацию молекул n = 0 :SHan(0) = AN 0 = n.(3.11)1 − exp(−a )Проанализируем изменение концентрации у дна сосуда приизменении температуры в двух предельных случаях.mgH MgHПри низких температурах a ==>> 1 иk BTRTmgH→∞,k BTто есть все молекулы собираются на дне сосуда.mgH<< 1 иПри высоких температурах a =k BTn(0) ≈ n ⋅73Гл 3.

Распределение Больцмана()n(0) ≈ n a ⎡1 − 1 − a + a 2 / 2 − ... ⎤⎣⎦−1⎛ mgH ⎞≈ n (1 + a 2) = n ⎜ 1+⎟,⎝ 2k BT ⎠т.е. плотность молекул на дне приближается к среднему значению.В случае высоких температур плотность молекул на высоте z:⎡ mgH ⎤⎛ mgz ⎞n ( z; T >> mgH / k B ) ≈ n ⎢1 +exp ⎜ −⎟≈⎥⎣ 2k BT ⎦⎝ k BT ⎠⎡ mgH ⎤ ⎡ mgz ⎤≈ n ⎢1 +⎥ ⎢1 −⎥.⎣ 2k BT ⎦ ⎣ k BT ⎦Рис. 3.2. Зависимость концентрации молекул n (нормированное на n ) от z длятрех температур: T1 → 0 , T2 > mgH k B , T3 >> mgH k B (М=30г/моль, H=1м).На рис.

3.2 представлены зависимости n( z ) для трехтемператур: T1 < T2 < T3, ( T1 → 0 , T2 > mgH k B , T3 >> mgH k B ).При T3 → ∞ концентрация n3 ( z ) → n , что соответствуетравномерному распределению частиц по высоте. Заметим, чтоHплощадь под кривой n( z ) есть константа, равная∫ n( z )dz =0Координата zc центра масс по определению равнаN0.S74МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИH∫ zρ( z )d τ =zc =∫ ρ( z )d τ∫ z ⋅ mn( z ) ⋅ Sdz0H=mN 0∫z0n( z )Sdz =N0a= z =n(0) Hy exp(− y )dy ,n a2 ∫(3.12)0mgz. Учитывая, чтогде y =k BTa∫ y exp(− y)dy = 1 − (1 + a)exp(−a) ,и0используя выражение (3.11), для координаты центра массполучаем:zc =aHea − (1 + a ).⋅ 2 [1 − (1 + a) exp(− a) ] = H ⋅1 − exp(− a) aa ( ea − 1)(3.13)В предельных случаях:1) низких температур ( T → 0, a =zc ≈mgH>> 1 ):k BTH k BT=→0.amg2) высоких температур ( T → ∞, a =zc ≈ Ha 2 / 2 + a3 / 62a(a + a / 2)=mgH<< 1 ):k BTH (1 + a / 3)≈2 (1 + a / 2)HH ⎛ mgH ⎞(1 + a / 3)(1 − a / 2) ≈ ⎜ 1 −⎟.22 ⎝ 6k BT ⎠Средняя потенциальная энергия в расчете на одну молекулугаза связана с координатой центра масс zc соотношением:≈εпот = mgz = mg z = mgzc .Таким образом,75Гл 3.

Распределение Больцманаεпот⎛ MgH ⎞ ⎡ MgH ⎤exp ⎜⎟ − 1+RT ⎠ ⎣⎢RT ⎦⎥⎝= mgH= k BT. (3.14)a⎛ MgH ⎞a (e − 1)exp ⎜⎟ −1⎝ RT ⎠e a − (1 + a)аб1 k TmgH 1Рис. 3.3. Зависимости < εпот > от = B ~ T (а) и от a =~(б)a mgHk BT TЗависимость средней потенциальной энергии молекулы от Т(рис. 3.3а) и от обратной температуры 1/T (рис. 3.3б) аналогичназависимости zc (T ) , т.е.mgH>> 1 ):1) при низких температурах ( T → 0, a =k BTεпот ≈ k BT ;(3.15)76МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ2) при высоких температурах ( T → ∞, a =mgH<< 1 ):k BTmgH ⎛ mgH ⎞ mgH.(3.16)⎜1 −⎟→2 ⎝ 6k BT ⎠2Численные оценки для воздуха при комнатной температуреТ = 300 К, Н = 1 м, M = 30 г / моль дают:MgHa== 1, 2 ⋅ 10−4 << 1 ,RTmgHmgHεпот ≈1 − 2 ⋅ 10−5 ≈,22т.е. реализуется случай высоких температур.Следует отметить, что средняя потенциальная энергия в полесилы тяжести для различных молекул воздуха (N2, O2, и др.)неодинакова в отличие от кинетической энергии тепловогодвижения.Замечание.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее