Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова, страница 10

В закрытом сосуде находится азот при температуре T = 27°С и давлении p = 1 атм . Какое число ΔN молекул азота, имеющих компоненту скорости v⊥ ≥ v0 = 1000м/с , перпендикулярную стенке, ударяется ежесекундно о выделенную площадку наэтой стенке? Площадь выделенной площадки Σ = 1cм 2 .∞⎡ Mv02 ⎤ppΣ=vfvdvexpОтвет: ΔN = Σ()⎢−⎥=xxxk BT v∫2 RT ⎦⎥2πmk BT⎢⎣0=105 ⋅ 10−6⎡ 28 ⋅ 10−3106 ⎤7exp ⎢ −⎥ ≈ 4 ⋅ 10 .−323⋅⋅28,313002π ⋅ 28 ⋅ 10 300 /(6 ⋅ 10 )⎣⎢⎦⎥Задача 2.3.9. Два сосуда имеют одну общую стенку. В обоихсосудах находится идеальный газ при температуре Т.

Давления всосудах р1 и p2 < p1 поддерживаются постоянными. В стенке – перегородке имеется малое отверстие, площадь которого Σ. На какоечисло молекул ∆N за одну секунду возрастает количество молекулгаза в сосуде с меньшим давлением? Какая энергия ∆W переносится за секунду?ΔN12 1−1/2= n1 v1 = p1 ( 2πmk BT )Ответ:;Σ469Гл 2. Распределение МаксвеллаΔN = ΔN12 − ΔN 21 = Σ ⋅ Δp ( 2πmk BT )−1/2;∞2ΔW122k BT⎡1⎤ mv;= ∫ ⎢ ( n1 f ( v )dv ) v ⎥ ⋅= p1Σ42πm⎣⎦0ΔW = ΔW12 − ΔW21 = Σ ⋅ Δp2k BT;πmΔW3= 2k BT > k BT .ΔN2Литература1.

Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М: Высшая школа,1981, §8.2. Кикоин А.К.. Кикоин И.К. Молекулярная физика. 3-е изд.СПб: Лань, 2007, §§11-18.3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.II. Термодинамика имолекулярная физика. М: Наука. 1990, §§70-76.4. Миронова Г.А., Михеева Л.Ф., Попов В.В. Разработка семинаров по молекулярной физике. М: Изд-во Московского университета, 1988, с.53-66.5. Миронова Г.А., Брандт Н.Н., Салецкий А.М.

Молекулярнаяфизика и термодинамика в вопросах и задачах. М: Физический факультет МГУ, 2010, гл.3.6. Касандрова О.Н., Матвеев А.Н., Попов В.В. Пособие по решению задач молекулярной физики. М: Изд-во Московского университета, 1974, раздел I.7. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. 9-е изд. СПб: Лань,2005, 2.3.70МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИГлава 3РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА3.1. Теоретический материалЕсли молекулы идеального газа, находятся при температуре Т впотенциальном поле, то вероятность dPB ( x, y , z ) , с котороймолекула газа, обладающая потенциальной энергией U(x,y,z), имееткоординаты в интервале значений (x, x + dx), (y, y + dy), (z, z + dz)описывается распределением Больцмана⎛ U ( x, y , z ) ⎞dPB ( x, y , z ) = A exp ⎜ −(3.1)⎟ dxdydz .k BT ⎠⎝Константа А находится из условия нормировки распределения.3.2.

Задачи с решениямиЗадача 3.2.1. N0 молекул идеального газа находятся притемпературе Т в закрытом вертикальном цилиндрическом сосуде вполе силы тяжести (рис. 3.1). Высота цилиндра Н, площадьоснования S, масса одной молекулы m. Определить: 1) зависимостьконцентрации молекул газа от высоты; 2) изменение этойзависимости от температуры; 3) положение центра масс газа взависимости от Т; 4) среднее значение потенциальной энергии (врасчете на одну молекулу).РешениеВ декартовой системе координат, ось z которой направленавертикально вверх вдоль оси цилиндра (рис. 3.1), потенциальнаяэнергия молекулы зависит только от координаты z. В этом случаеэлемент объема, в котором молекулы газа обладают одинаковойпотенциальной энергией, можно записать в виде:dV = Sdz .Пусть потенциальная энергия молекулы на дне цилиндра (вточке z = 0) равна нулю, тогда потенциальная энергия молекулы,имеющей координату z,U ( z ) = mgz ,(3.2)71Гл 3.

Распределение Больцманагде m – масса молекулы. Распределение Больцмана для молекулидеального газа, находящихся в поле силы тяжести, имеет вид:⎛ mgz ⎞dPB ( z ) = A exp ⎜ −(3.3)⎟ Sdz ,⎝ k BT ⎠где плотность вероятности:⎛ mgz ⎞f B ( z ) = AS exp ⎜ −⎟.⎝ k BT ⎠a(3.4)бРис. 3.1 а – N0 молекул идеального газа находятся в закрытом вертикальномцилиндрическом сосуде (термостате) при температуре Т. Высота цилиндра Н,площадь основания S. б – зависимость концентрации молекул n(z) от высоты z.Константу А определяем из условия нормировки:H⎛ mgz ⎞∫ Aexp ⎜⎝ − kBT ⎟⎠ Sdz = 1 ,0−1⎧⎪ H⎛ mgz ⎞ ⎫⎪a / (H ⋅ S),(3.5)A = ⎨ S ⋅ ∫ exp ⎜ −⎟ dz ⎬ =−−kT1exp(a)B⎝⎠⎩⎪ 0⎭⎪mgH MgHгде a =– безразмерная величина, молярная масса=k BTRTM = N A m , R – универсальная газовая постоянная, NA – числоАвогадро.Используя распределение (3.3), определим число частицdN ( z ) , находящихся в слое ( z , z + dz ) , то есть в объеме dV = Sdz :dN ( z ) = N 0dPB ( z )(3.6)72МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.

ЗАДАЧИи концентрацию молекул в слое ( z , z + dz ) :n( z ) =⎛ U ( z) ⎞dN ( z ) N 0dPB ( z )== N 0 Aexp ⎜ −⎟.SdzSdz⎝ k BT ⎠(3.7)Здесь N0 – полное число молекул в цилиндрическом сосуде. Знаяn(z), можно определить среднее значение любой функции от z,например, <mgz> (см.

ниже).Константу А можно связать с концентрацией молекул у днасосуда воспользовавшись соотношением (3.7):n(0) = A ⋅ N 0 ,(3.8)или с плотностью вероятности нахождения молекулы у дна сосуда– с помощью соотношения (3.4):f B (0) = A ⋅ S .(3.9)С учетом (3.4) зависимость концентрации (3.7) молекул отвысоты может быть представлена в виде (рис. 3.1б):⎛ mgz ⎞(3.10)n ( z ) = n (0) ⋅ exp ⎜ −⎟.⎝ k BT ⎠Концентрацию n(0) молекул у дна сосуда выразим черезNсреднюю концентрацию молекул n = 0 :SHan(0) = AN 0 = n.(3.11)1 − exp(−a )Проанализируем изменение концентрации у дна сосуда приизменении температуры в двух предельных случаях.mgH MgHПри низких температурах a ==>> 1 иk BTRTmgH→∞,k BTто есть все молекулы собираются на дне сосуда.mgH<< 1 иПри высоких температурах a =k BTn(0) ≈ n ⋅73Гл 3.

Распределение Больцмана()n(0) ≈ n a ⎡1 − 1 − a + a 2 / 2 − ... ⎤⎣⎦−1⎛ mgH ⎞≈ n (1 + a 2) = n ⎜ 1+⎟,⎝ 2k BT ⎠т.е. плотность молекул на дне приближается к среднему значению.В случае высоких температур плотность молекул на высоте z:⎡ mgH ⎤⎛ mgz ⎞n ( z; T >> mgH / k B ) ≈ n ⎢1 +exp ⎜ −⎟≈⎥⎣ 2k BT ⎦⎝ k BT ⎠⎡ mgH ⎤ ⎡ mgz ⎤≈ n ⎢1 +⎥ ⎢1 −⎥.⎣ 2k BT ⎦ ⎣ k BT ⎦Рис. 3.2. Зависимость концентрации молекул n (нормированное на n ) от z длятрех температур: T1 → 0 , T2 > mgH k B , T3 >> mgH k B (М=30г/моль, H=1м).На рис.

3.2 представлены зависимости n( z ) для трехтемператур: T1 < T2 < T3, ( T1 → 0 , T2 > mgH k B , T3 >> mgH k B ).При T3 → ∞ концентрация n3 ( z ) → n , что соответствуетравномерному распределению частиц по высоте. Заметим, чтоHплощадь под кривой n( z ) есть константа, равная∫ n( z )dz =0Координата zc центра масс по определению равнаN0.S74МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИH∫ zρ( z )d τ =zc =∫ ρ( z )d τ∫ z ⋅ mn( z ) ⋅ Sdz0H=mN 0∫z0n( z )Sdz =N0a= z =n(0) Hy exp(− y )dy ,n a2 ∫(3.12)0mgz. Учитывая, чтогде y =k BTa∫ y exp(− y)dy = 1 − (1 + a)exp(−a) ,и0используя выражение (3.11), для координаты центра массполучаем:zc =aHea − (1 + a ).⋅ 2 [1 − (1 + a) exp(− a) ] = H ⋅1 − exp(− a) aa ( ea − 1)(3.13)В предельных случаях:1) низких температур ( T → 0, a =zc ≈mgH>> 1 ):k BTH k BT=→0.amg2) высоких температур ( T → ∞, a =zc ≈ Ha 2 / 2 + a3 / 62a(a + a / 2)=mgH<< 1 ):k BTH (1 + a / 3)≈2 (1 + a / 2)HH ⎛ mgH ⎞(1 + a / 3)(1 − a / 2) ≈ ⎜ 1 −⎟.22 ⎝ 6k BT ⎠Средняя потенциальная энергия в расчете на одну молекулугаза связана с координатой центра масс zc соотношением:≈εпот = mgz = mg z = mgzc .Таким образом,75Гл 3.

Распределение Больцманаεпот⎛ MgH ⎞ ⎡ MgH ⎤exp ⎜⎟ − 1+RT ⎠ ⎣⎢RT ⎦⎥⎝= mgH= k BT. (3.14)a⎛ MgH ⎞a (e − 1)exp ⎜⎟ −1⎝ RT ⎠e a − (1 + a)аб1 k TmgH 1Рис. 3.3. Зависимости < εпот > от = B ~ T (а) и от a =~(б)a mgHk BT TЗависимость средней потенциальной энергии молекулы от Т(рис. 3.3а) и от обратной температуры 1/T (рис. 3.3б) аналогичназависимости zc (T ) , т.е.mgH>> 1 ):1) при низких температурах ( T → 0, a =k BTεпот ≈ k BT ;(3.15)76МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ2) при высоких температурах ( T → ∞, a =mgH<< 1 ):k BTmgH ⎛ mgH ⎞ mgH.(3.16)⎜1 −⎟→2 ⎝ 6k BT ⎠2Численные оценки для воздуха при комнатной температуреТ = 300 К, Н = 1 м, M = 30 г / моль дают:MgHa== 1, 2 ⋅ 10−4 << 1 ,RTmgHmgHεпот ≈1 − 2 ⋅ 10−5 ≈,22т.е. реализуется случай высоких температур.Следует отметить, что средняя потенциальная энергия в полесилы тяжести для различных молекул воздуха (N2, O2, и др.)неодинакова в отличие от кинетической энергии тепловогодвижения.Замечание.