Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова, страница 5

Описание возможных макросостояний системы и определение их термодинамической Γ(n, m) и математической P (n, m) вероятности.Таблица 1.5Доступные микросостояния, значения макропараметра m,термодинамическая Γ( n, m ) и частотная P ( n, m ) вероятностимакросостоянийМикроскопическоеописаниеДоступные№ микрососмикротояниясостоянияs10 0 0 02r 0 0 03000rrr000rrr0r45678910111213141516r 0 000r00rr0rr0rrr 000r0r0rr0rrrm(число«решек»)Γ ( n, m )P ( n, m )0Γ ( 4,0 ) = C40 = 11/16 = 0,06251Γ ( 4,1) = C14 = 44 /16 = 0, 252Γ ( 4, 2 ) = C42 = 66 /16 = 0,3753Γ ( 4,3) = C43 = 44 /16 = 0, 254Γ ( 4, 4 ) = C44 = 11/16 = 0,0625r00r0rr0rrrr5. Вычисление среднего значения и дисперсии макроскопической случайной величины.26МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.

ЗАДАЧИВ данной задаче система случайных величин состоит из n = 4монет.Рассмотрим n=4 одинаковых статистических систем – ансамбль статистических систем (одинаковых c рассматриваемойсистемой). Запишем весь спектр доступных микросостояний ансамбля систем (два левых столбца табл.1.5).Так как случайная величина может принимать только два значения – или 0 («орел»), или 1 (r – «решка»), то полное число доступных состояний Γ0 системы равноΓ0 = 2n = 24 = 16 .Действительно,Γ0 = (0 + r ) = 2 ,для n = 1для n = 2 Γ0 = (0 + r ) ⋅ (0 + r ) = (00) + (0r ) + ( r 0) + (rr ) = = 22 = 4 ,Γ0 = (0 + r ) ⋅ (0 + r ) ⋅ (0 + r ) = 23 = 8 ,для n = 3…………………………………………………………………для любого n Γ0 = (0 + r ) n = 2nВероятность каждого записанного в табл.1.5 s-го микросостояния определяется на основании постулата (1.15), удовлетворяющего условию нормировки:∑ Ps = 1 .Таким образом, с учетом равной вероятности всех доступныхмикросостояний:Ps = 1/ Γ0 = 1/16 .Число различных микросостояний с одним и тем же числом«решек» – m, т.е.

термодинамическая вероятность Γ(n, m) , в нашемслучае равно Cnm – числу сочетаний из n (числа частиц в системе)по m:Γ(n, m) = Cnm .(1.33)Закон распределения для числа «решек» (частотная вероятность выпадения m «решек») имеет вид:P ( n, m ) =Γ( n, m) Cnmn!= n = n.Γ022 m!(n − m)!(1.34)Гл. 1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и Гаусса27Для данной задачи:14!1P (4, m) = C4m 4 =⋅ .mm−!(4)!162Гистограмма зависимости частотной вероятности P (n, m) отзначения макропараметра m приведена на рис.1.3 для n = 4 (а) иn = 10 (б) в двух вариантах изображения.абРис. 1.3. Гистограмма зависимости частотной вероятности P ( n, m) от значениямакропараметра m: (а) – для n = 4; (б) – для n = 10.Закон распределения числа «решек» является биномиальнымзаконом, принимающим конкретный вид (1.34) для данной задачи.Рассмотрим два способа (I и II) вычислений среднего значениячисла «решек» m и стандартного отклонения σ m , основанных наиспользовании функции распределения для макропараметра P (m)(в данной задаче числа «решек» m) или функции распределения дляотдельной случайной величины P (ui ) .I способ.

Использование расчетных значений для функции распределения макропараметра P (n, m) (табл.1.5) и гистограммы.Из гистограммы зависимости P (4, m) наиболее вероятное значение равноmmp = 2 .Используя (1.21), для среднего числа «решек» m при бросании четырех монет получаем:414641m = ∑ m ⋅ P (m) = 0 ⋅ + 1 ⋅ + 2 ⋅ + 3 ⋅ + 4 ⋅ = 2 . (1.35)1616161616m =028МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИСледует отметить, что совпадение наиболее вероятного и среднего значений:mmp = m = 2характерно не только для данной задачи, но и для любых систем,содержащих большое число частиц и подчиняющихся биномиальному закону распределения.Вычисляя m 2 по стандартной формуле (1.20):m2 =414641∑ m2 P(m) = 0 ⋅ 16 + 1 ⋅ 16 + 4 ⋅ 16 + 9 ⋅ 16 + 16 ⋅ 16 = 5 ,m=0и используя (1.22), получаем:σm =x2 − x2= 5 − 22 = 1 .II способ.

Расчет с использованием функции распределенияP(ui ) микроскопической случайной величины ui (см. табл.1.4) наосновании идентичности и независимости частиц системы.Определим в самом общем случае среднее значение m иnдисперсию σ2m макроскопической величины m = ∑ uij , где j – инj =1декс частицы системы, а i – индекс значения случайной величины.Величины m и m 2 можно выразить через uim =nn∑ uij= ∑ uij ,j =1m2⎛ n⎞= ⎜ ∑ uij ⎟⎜ j =1 ⎟⎝⎠и ui2 :(1.36)j =12=n∑ uij2j =1+n∑ uij uik.(1.37)j≠k↑n ( n −1)Второе слагаемое в (1.37) содержит n(n – 1) членов, так как каnждый из n членов суммы∑ uijумножается на каждый из остав-j =1шихся, т.е. на (n – 1).

Учитывая идентичность и независимость случайных величин, преобразуем (1.36) и (1.37):Гл. 1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и Гаусса29nm = ∑ uij = n ⋅ ui ,(1.38)j =1nnj =1k≠ jm 2 = ∑ uij2 + ∑ uij u jk = n ui2 + n(n − 1) ui2.(1.39)).(1.40)С учетом (1.38) и (1.39) для σ2m имеем:2σ2m = m 2 − m(= n ui2 − uiВычисления средних значений ui2и ui2 для отдельной слу-чайной величины, функция распределения которой известна, проводим по формулам (1.21) и (1.20):ui = ∑ ui ⋅ P (ui ) = 1 ⋅ p + 0 ⋅ q = p ,iui2 = ∑ ui2 ⋅ P(ui ) = 12 ⋅ p + 02 ⋅ q = p .iПодставляя полученные значения в (1.38) и (1.40), находимсреднее значение и дисперсию макропараметра m:m = np ,(1.41)()σ2m = Δm2 = n p − p 2 = npq .В частном случае для числа «решек» в системеp = q = 1/ 2 имеем:m = np = 4 ⋅ (1/ 2) = 2 ,σm = 4 ⋅ (1/ 2) ⋅ (1/ 2) = 1 .Ответ: P (n, m) =P (4, m) =C4m24=Γ( n, m) Cnm= n ,Γ024!1⋅(рис.1.3),m!(4 − m)! 16m = np = 2 , σm = npq = 1 .(1.42)n=4,30МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.

ЗАДАЧИЗадача 1.2.9. При бросании кубика выпадение любой цифры от1 до 6 равновероятно. Пусть благоприятным исходом является выпадение цифры 5, а неблагоприятным – выпадение любой другойцифры, тогда p = 1/ 6 , q = 5 / 6 . Какова вероятность P ( ppq ) прибросании трех таких кубиков получить результат ppq : первые двакубика в благоприятном состоянии, а третий – не в благоприятном?И какова вероятность P ( n = 3, m = 2) при бросании трех кубиковполучить два (любых) кубика с цифрой 5 наверху?РешениеСостояние ppq осуществляется в следующих пяти микросостояниях: 5,5,1; 5,5, 2; 5, 5,3; 5,5, 4; 5,5,6 , т.е. термодинамическая вероятность Γ( ppq ) = 5 .

Полное число доступных микросо-стояний для системы из трех кубиков: Γ0 = 63 , вероятность любогоиз них P = 1/ Γ0 = 1/ 63 . Таким образом, вероятность состоянияppq :P( ppq) = Γ( ppq ) / Γ0 = 5 / 63 .Используя биномиальное распределение, для P (3, 2) находим:P (n = 3, m = 2) = C32 p 2 q1 = 15 / 63 .Заметим, что P ( ppq) = p 2 q , а P (n = 3, m = 2) = Cnm P ( ppq ) , гдеCnm = C32 = 3 , – число различных микросостояний из числа благоприятных состояний: (ppq), (pqp), (qpp).Ответ: P ( ppq) = 5 / 63 , P (n = 3, m = 2) = 15 / 63 .Задача 1.2.10. С помощью деревянного бруска длиной одинметр измеряется расстояние в 50 м.

При этом брусок последовательно укладывается 50 раз, причем каждый раз ставится метка,соответствующая концу бруска. Эта операция сопряжена с погрешностями измерения, поэтому расстояние между двумя соседними метками на земле в точности не равно метру. Известно, чторасстояния между двумя последовательными метками с равной вероятностью находятся в интервале от 99,8 см до 100,2 см и не выходят за эти пределы. Среднее значение измеренного расстоянияпосле 50-кратной укладки бруска равно 50 м. Найти погрешностьизмерения, вычислив стандартное отклонение измеренного расстояния.31Гл. 1. Биномиальное распределение.

Распределения Пуассона и ГауссаРешение1. Выбор статистической системы случайных величин. Вданной задаче статистическая система будет состоять из n = 50случайных величин. За случайную величину можно взять xi – отклонение расстояния между соседними (i + 1) и i метками от 1 м.2. Описание случайной величины. В задаче случайная величина xi принимает непрерывный ряд значений в интервале−0, 2 ≤ x ≤ +0, 2 см .По условию задачи плотность вероятности f ( x) = f 0 = constпри −0, 2 ≤ x ≤ 0, 2 (рис. 1.4). Величина f 0 может быть определенаиз условия нормировки функции плотности вероятности:0,2∫f 0 dx = 1 .(1.43)−0,2Из (1.43) получаем:f ( x) = f 0 = 2, 5 см .(1.44)Рис.

1.4. Функция плотности вероятности отклонения расстояния между соседними метками от 1 м.3. Нахождение средних значений. Суммарная ошибка в результате 50-кратной укладки бруска равна50y = ∑ xi .(1.45)i =1По аналогии с (1.38) и (1.40) находим:y =n x ,σ2y = Δy 2 = nσ2x = n(x2− x2).(1.46)(1.47)Используя функцию плотности вероятности (1.44) для случайной величины х, по формуле (1.29) находим:+0,2+∞x =∫−∞x f ( x)dx =∫−0,22, 5 xdx = 0 ;32МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.

ЗАДАЧИx2 =+0,2∫x 2 ⋅ 2, 5 ⋅ dx =−0,21см 2 .75Подставив полученные значения в (1.46) и (1.47), получаем:y = n x = 0,22σ2y = n x 2 = см 2 , σ y =≈ 0,8 см .33Ответ: Погрешность измерения равна ≈ 0,8см , что значительно меньше так называемой «максимальной» ошибки, равной50⋅0,2=10 см.Задача 1.2.11. Смещение простого классического гармонического осциллятора из положения равновесия изменяется во времени по закону: x = A cos(ωt + ϕ) , где ω – угловая частота колебаний,А – их амплитуда, а ϕ – начальная фаза, которая с равной вероятностью может принимать любое значение в интервале 0 ≤ ϕ ≤ 2π .Ψ ( x)(или вероятностьНайти плотность вероятностиdP( x, x + dx) = Ψ ( x)dx ) того, что смещение данного осциллятора вфиксированный момент времени t находится в интервале значений ( x, x + dx) .РешениеВ данной задаче следует выделить две случайные величины:начальную фазу ϕ и смещение x осциллятора. Поэтому рассмотрим два способа решения.1-й способ основан на рассмотрении фазы ϕ как случайнойвеличины.Описание случайной величины.

Случайная величина ϕ в интервале 0 ≤ ϕ ≤ 2π характеризуется постоянной плотностью вероятности f (ϕ) = f 0 = const , которая находится из условия нормировки:2π∫2πf (ϕ) d ϕ =0∫f0d ϕ = 1 .0Отсюдаf (ϕ) = f 0 =1.2π(1.48)Гл. 1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и Гаусса33Необходимо определить плотность вероятности Ψ ( x) другойслучайной величины х, функционально связанной с ϕ по закону:x = A cos(ωt + ϕ) .Из-за неоднозначности связи х и ϕ (рис.1.5) в области определения случайной величины 0 ≤ ϕ ≤ 2π имеем:Ψ ( x1 ) dx = f (ϕ1 ) d ϕ + f (ϕ2 ) d ϕ .(1.49)Учитывая, чтоf (ϕ1 ) = f (ϕ2 ) = f (ϕ) =1,2πможем записать:Ψ ( x) dx = 2 f (ϕ) d ϕ .(1.50)Рис. 1.5. Смещения осцилляторовв зависимости от их начальнойфазы в некоторый фиксированный момент времени.В соответствии с (1.50):dϕ2 f (ϕ)1,(1.51)Ψ ( x) = 2 f (ϕ)==dxdx / d ϕ π A2 − x 2где учтено, чтоd ( A cos(ωt + ϕ))dx== A sin(ωt + ϕ) = A2 − x 2 .dϕdϕТаким образом, две случайные величины x и ϕ , связанныедруг с другом функционально x = A cos(ωt + ϕ) , имеют разныеплотности вероятности (рис.