Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова

Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова, страница 8

PDF-файл Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова, страница 8 Физика (77680): Книга - 2 семестрУчебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова: Физика - PDF, страница 8 (77680) - СтудИзба2020-10-28СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МФТИ (ГУ). Не смотря на прямую связь этого архива с МФТИ (ГУ), его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 8 страницы из PDF

2.1,б.2.2. Задачи с решениямиЗадача 3.2.1. Считая водород идеальным газом, найти наиболее вероятное, среднее и среднеквадратичное значения скоростей,дисперсию скорости, а также среднюю энергию молекулы водорода при условиях: температура 25°С, давление атмосферное.52МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИРешениеНаивероятнейшее значение скорости, соответствует максиdf (v)муму f (v) и находится из условия= 0 . Используя (2.10),dv vнвзапишем:d ⎧⎪⎛ m ⎞⎨⎜⎟dv ⎪⎝ 2πk BT ⎠⎩3/2⎫⎡ mv 2 ⎤2⎪exp ⎢ −4πv⎥⎬⎪⎭⎣⎢ 2k BT ⎦⎥=0.v = vнвОтсюда получаем2k BT2 RTRT=≈ 1,41= 1570 м/с ,(2.11)mMMгде R = N A k B = 8,31Дж / (моль ⋅ K) – универсальная газовая постоянная, М = mNA – молярная масса.Средняя скорость:vнв =∞v = ∫ vdP ( v ) =08k BT8RTRT= 1780м/с ≈ 1,13 vнв ,=≈ 1,6MπmπM(2.12)средний квадрат скорости:v2∞= ∫ v 2 dP(v) =03k BT 3RT,=mMсреднеквадратичная скорость:v2 =3RTRT= 1,73= 1930 м/с ≈ 1,23 vнв .

(2.13)MMСоотношение скоростей представлено на вставке рис. 2.1.Из условия независимости vx , v y , vz получаемmv 2ymv x2=22=1 mv 21mv z2== k BT .23 22Этот результат является частным случаем, подтверждающимтеорему о равномерном распределении кинетической энергии постепеням свободы: в состоянии термодинамического равновесиясредняя кинетическая энергия в расчете на каждую степень свободы равна k BT 2 .53Гл 2. Распределение МаксвеллаДля сравнения значений скоростей молекул различных газов ввоздухе вычислим средние значения скоростей молекул азота и кислорода при температуре 25оС:M H2v N = v H ⋅≈ 470м/с,22M N2vO2= vH2⋅M H2M O2≈ 440м/с.На рис. 2.2 изображены плотности вероятности распределенияМаксвелла по скоростям для кислорода при двух температурахТ1 = 0°С (сплошная линия) и Т2 = 100°С (пунктирная линия).Рис.2.2.

Кривые распределения молекул кислорода по скорости при двух температурах Т1 = 0°С (сплошная кривая) и Т2 = 100°С (пунктирная кривая). Отмеченынаивероятнейшие скорости vнв молекул кислорода при этих температурах.Дисперсия скорости:σv2 =(v − v )2= v2 − v2=(3π − 8) RT2= 0,18 v .πMСтандартное отклонение для скорости молекул водорода притемпературе 25оС:σv = σv2 ≈ 0, 42 v ≈ 750м/с .Относительное стандартное отклонение для скорости молекулводорода :σv≈ 0, 42 = 42% .vСреднее значение кинетической энергии молекулы водорода.54МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИХарактерные температуры, при которых возбуждаются вращательная и колебательная степени свободы, находятся из условияk BT ≈ E , где E – энергия, приходящаяся на данную степень свободы.

Для водорода Tвр = 85,5K , Tкол = 6410 K . При комнатнойтемпературе возбуждаются степени свободы, соответствующие поступательному и вращательному движению молекул водорода. Приэтом колебательная степень свободы еще "заморожена", не возбуждается (рис. 2.3).С учетом этого, энергия молекулы водорода может быть записана в виде суммы кинетических энергий поступательного движения центра масс и вращательного движения относительно центрамасс, причем момент инерции молекулы относительно оси 3, соединяющей атомы водорода, можно считать пренебрежимо малым( J 3 ≈ 0 ):2mvx2 mv y mvz2 J1ω12 J 2 ω22ε=++++,22222где m – масса молекулы водорода, vx , v y , vz – компоненты скорости центра масс, J1 , J 2 , ω1 , ω2 – моменты инерции и угловые скорости вращения молекулы водорода относительно ее главных центральных осей 1 и 2, перпендикулярных оси 3 (рис.

2.3).Рис. 2.3. Модели двухатомноймолекулы Н2 с «замороженной» ивозбужденнойколебательнойстепенью свободы.Применяя теорему о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы, имеем:εH2 = ik BT 5= k BT ≈ 1,04 ⋅ 10−20 Дж .2255Гл 2. Распределение МаксвеллаТемпературы возбуждения вращательных и колебательныхстепеней свободы для молекул азота и кислорода:N 2 : Tвр = 2,86 K, Tкол = 3340 K ,O2 : Tвр = 2,09 K, Tкол = 2290 K .Следовательно, при комнатной температуре у молекул кислорода иазота, также как и у молекул водорода, возбуждены только поступательные и вращательные степени свободы, поэтомуε H = ε N = εO .2Ответ:vнв =σv =222k BT= 1570м/с ,m8k BT= 1780м/с ,πmv =(3π − 8)k BT= 0,42 v ,πmv 2 = 3k BT / m = 1930м/с ,ε H 2 = ik BT / 2 = (5 / 2)k BT ≈ 1,04 ⋅ 10−20 Дж .Задача 2.2.2.

Получить функцию распределения молекул идеального газа, находящихся в термодинамическом равновесном состоянии при температуре Т, по энергиям f (ε) . Найти наиболее вероятные значения энергии молекул. Равна ли скорость v1, соответствующая наиболее вероятному значению энергии εнв наиболеевероятной скорости vнв ?РешениеСделаем замену переменной v → ε в выражении (2.9). Поскольку ε = mv 2 2 , то v = 2ε m и dv = (12mε )d ε .В результате получаем вероятность, с которой молекула идеального газа имеет значение энергии в интервале (ε, ε + d ε) :2 ⎛ 1 ⎞dPL ( ε) =⎜⎟π ⎝ k BT ⎠и плотность вероятности:2 ⎛ 1 ⎞f ( ε) =⎜⎟π ⎝ k BT ⎠3322⎛εε exp ⎜ −⎝ k BT⎛εε exp ⎜ −⎝ k BT⎞⎟ dε ,⎠⎞⎟.⎠(2.14)(2.15)56МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.

ЗАДАЧИРаспределение (2.14) называется распределением Максвелламолекул идеального газа по кинетической энергии поступательного движения, а функция (2.15) – функцией плотности вероятностираспределения Максвелла по энергии.Используя функцию плотности распределения по энергии(2.15), можно вычислить наиболее вероятное значение энергии дляdf ( ε)одной молекулы из условия=0:d ε εнвk BT.(2.16)2Соответствующая наивероятнейшему значению энергии скорость определяется из равенстваεнв =mv12 k BT=22и равнаv1 =k BT.m2k BT, т.е. v1 ≠ vнв .mЗапишем функцию плотности распределения Максвелла побезразмерному энергетическому параметру ξ = ε / εнв . Учитывая,что вероятностиf (ε ) d ε иf (ξ)d ξ равны друг другу: f (ε)d ε = f (ξ)d ξ , получаем:Согласно (2.11) vнв =f ( ξ) =f ( ε)d ε1⎛ −ξ ⎞=ξ exp ⎜ ⎟ .d ( ε εнв )2π⎝ 2 ⎠(2.17)В полученном выражении (2.17) для плотности вероятностираспределения можно выделить два сомножителя, один из которыхпропорционален степени вырождения энергетического уровняg (ξ) =ξ,2πа второй сомножитель пропорционален вероятности состояния сзаданной энергиейPS (ξ) = exp ( −ξ / 2 ) .57Гл 2.

Распределение МаксвеллаНа рис.2.4 приведены зависимости от ξ =εεнв=εфункk BT / 2ций f , g , PS .Видно, что поскольку вероятность состояния уменьшается сростом энергии, а степень вырождения увеличивается, то существует такое значение энергии, при котором их произведение имеетмаксимум, то есть соответствует наиболее вероятному состояниюмолекулы с энергией ε = εнв = k B T / 2 .Рис.2.4.

Графики зависимостей функций f , g , PS от безразмерногопараметра ξ =Ответ: f ( ε) =εε=.εнв k BT / 2⎛k BT2ε ⎞; v1 ≠ vнв .( kBT )−3 2 ε exp ⎜ −⎟ ; εнв =2π⎝ k BT ⎠Задача 2.2.3. Определить частоту ударов w молекул азота остенку сосуда при температуре T , если концентрация молекулравна n0 . Азот считать идеальным газом.РешениеРаспределение Максвелла определяет отношение среднегочисла молекул, обладающих определенными значениями скоростей, к полному числу молекул. Поэтому при заданной концентрации n0 молекул идеального газа, используя различные записи рас-58МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИпределения Максвелла, можно определить концентрацию молекул,скорости которых лежат в определенном интервале значений.Пусть ось x декартовойсистемы координат перпендикулярна одной из стеноксосуда (рис.

2.5). Выделим настенке сосуда некоторуюплощадку с площадью Σ.Рассмотрим молекулы, обладающие определенной компонентой скорости из диапазона (vx , vx + dvx ) при vx > 0,которые соударяются с этойплощадкой. За время dt плоРис. 2.5. Молекула, ударяющаяся о площад- щадки Σ достигнут все молеку, летит слева направо. Ее скорость до кулы, находящиеся в объемесоударения v и после соударения v’ лежит вdV = vx dt ⋅ Σ .плоскости xy.Заметим, что часть молекул из объема dV покидает его, не испытав соударения за времяdt с площадкой из-за наличия компонент скорости v y и vz . Однако, на основании принципа детального равновесия (согласно которому для изолированных систем вероятность прямого переходамежду состояниями, возникающего при соударениях частиц, равнавероятности обратного перехода), из других частей сосуда в объемdV переходит и сталкивается с площадкой Σ в среднем число молекул, равное числу молекул, покинувших этот объем.

Поэтомуможно считать, что все молекулы из объема dV = vx Σdt ударятся оплощадку Σ.Концентрация молекул, имеющих скорость vx в интервале(vx , vx + dvx ) , определяется распределением Максвелла по компоненте скорости vx и равна n(vx ) = n0 f (vx )dvx .

Таким образом, оплощадку Σ за время dt ударяется dN ( v x ) = n ( v x ) ⋅ ( v x dtΣ) == ( n0 f ( v x )dv x ) ⋅ ( v x dtΣ ) молекул, имеющих скорости в интервале(vx , vx + dvx ) .Частота ударов (число ударов о единичную площадку за единицу времени) молекул, скорости которых лежат в интервале(vx , vx + dvx ) :59Гл 2. Распределение МаксвеллаdN (vx )= vx ⋅ n(vx ) = vx n0 f (vx )dvx .dt ⋅ ΣЧастота ударов о единичную площадку всех молекул с х- компонентами скорости в интервале 0 ≤ vx ≤ +∞ :dw(vx ) =∞∞⎛ mv x2mexpv⎜⎜ −x2 πk BT ∫0⎝ 2k BT⎞k T⎟⎟dv x = n0 B .2 πm⎠0Полученный результат можно записать, используя формулудля средней скорости:k T n v.(2.18)w = n0 B = 02 πm4илиw = ∫ dw ( v x ) =n0∞∞∞nnnw = 0 v = 0 ∫ vf (v)dv = ∫ 0 v ⋅ dP (v) = ∫ dw ,44 0400где1⎛n ⎞⎛n ⎞(2.19)dw = ⎜ 0 v ⎟ dP (v) = ⎜ 0 v ⎟ f (v)dv = vn(v)4⎝ 4 ⎠⎝ 4 ⎠– частота ударов молекул о стенку, имеющих скорость в интервале(v, v+dv).Следует отметить, что если бы все молекулы имели одну и туже скорость v, то есть P(v) = 1 , то частота ударов была быw = ( n0 4)v , а не w = ( n0 6) v , как можно было бы предположить,основываясь на равноправности шести взаимно перпендикулярныхнаправлений движения молекул.Количественная оценка.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее