Учебное пособие - УМФ - Боговский, страница 8

и Е С*2(П+) О СУ1(П+), то оно являетсяклассическим.Глава 5.64Эллиптические краевые задачиДоказательство. Выбирая, в частности, в тождестве (5.1.23) пробные функ­ции V G С/0°(П+) и интегрируя по частям (т.е. используя формулу Грина),получиму* АДх, у) v(а?, у) dx dy = 0 \/v Е С°°(П+),п+откуда и из леммы Дю Буа-Реймонда следует выполнение уравненияАДх, у) = 0 У (ж, у) Е П+ .(5.1.24)Возвращаясь к тождеству (5.1.23), применяя формулу Грина для всех до­пустимых в (5.1.23) пробных функций и пользуясь уже установленным ра­венством (5.1.24), находимсюСЮщ/ж, 7г/2) ж(ж, 7г/2) dx — [ Дх, 0) жДж, 0) dx =оотг/2(а(т/) - м(0,ф))щ(0,ф)ф/о\/жед°°(К2): фж=0 = 0, 0 < у < 7г/2;ж|у=0= жфу=7Г/2 = 0, ж > 0.(5.1.25)Теперь, выбирая в тождестве (5.1.25) такие допустимые пробные функ­ции, чтожу(ж,0) = ж(ж,тг/2) = 0,vx(0,y) = гДу)Уф G д°°(0,7г/2),получим тождествотг/2(Ду) -м(О,ф))ф(ф)ф/ = 0 Уф 6 С00 (0, тг/2),окоторое в силу леммы Дю Буа-Реймонда означает выполнение краевогоусловия'4т=о = Ду), У G [0,тг/2].(5.1.26)§1.Метод Фурье для классических и слабых решений65Чтобы установить выполнение краевых условий^|у=0 — ^у|у=7г/2 — 0, х Ф О,(5.1.27)подставим (5.1.26) в (5.1.25) а затем, выбирая последовательно такие допу­стимые пробные функции, чтоVy(x,0) ='ф(х), т(х,7г/2) = 0 Уф G <7°°(0, оо),и наоборот,vy(x, 0) = 0, х(х, л/2) = ф(х)Уф G С°°(0, сю),заключаем, чтосюСОм(х, 0) ф(х) dx =щфх, 7г/2) ф(х) dx = 0 Уф G д°°(0, сю),оооткуда следует выполнение оставшихся краевых условий (5.1.27).

Таким об­разом, для краевой задачи (5.1.39) наличие у слабого решения классическойгладкости u G С2(П+) П <71(П+) означает, что такое слабое решение на са­мом деле будет классическим, т.е. будет удовлетворять уравнению (5.1.24)и краевым условиям (5.1.26), (5.1.27), которые неявно содержатся в инте­гральном тождестве (5.1.23). Лемма доказана.□Замечание. Доказательство леммы 5.1.1 фактически является принципи­ально важной частью стандартной процедуры проверки корректности опре­деления слабого решения.

При этом под корректностью определения сла­бого решения краевой задачи12 подразумевается следующее свойство опре­деления: всякое классическое решение является слабым, а вся­кое слабое решение, имеющее классическую гладкость, являет­ся классическим. Доказательство леммы 5.1.1 можно охарактеризоватькак стандартную процедуру извлечения уравнения и краевых условий изинтегрального тождества, определяющего слабое решение краевой задачи.(5.1.39)12Не путать корректность определения слабого решенияновки как задачи математической физики!краевой задачи с корректностью еёпоста­Глава 5.Эллиптические краевые задачиМетод Фурье для слабыхрешенийМетод Фурье для классических и слабых решений краевой задачи (5.1.39)опирается на одну и ту же задачу Штурма-Лиувилля, а именно,Q < у < тг/2|У" = ДУ,|У(0) = У'(тг/2) = 0.(5.1.28)Поскольку краевые условия в (5.1.41) являются самосопряженными, то соб­ственные функцииYn(y) = sin(2n + l)w,VJA„, = —(277, + l)2, n Д 0.(5.1.29)задачи Штурма-Лиувилля (5.1.41) образуют ортогональный базис в £2(0,7г/2).Разложим теперь искомое слабое решение краевой задачи (5.1.39) в рядФурье по ортогональному базису {УП}^РО :т/(т, у) =Xn(x) sin(2n + 1)т/(5.1.30)п=0с искомыми коэффициентами Фурьетг/2Хп(х) = —и(х, у) sin(2n + 1)т/ dy.(5.1.31)оЧтобы получить краевые задачи для искомых коэффициентов Фурье, до­статочно в интегральном тождестве (5.1.23) выбрать пробные функции ви­дат?(т‘, т/) = т/;(т) sin(2n + 1)т/ Vn>0,Уф G С00 (Rn): 7/5(0) = 0.(5.1.32)Действительно, подставляя в интегральное тождество (5.1.23) пробные функ­ции (5.1.32) и учитывая вид коэффициентов Фурье (5.1.44), получим семей­ство интегральных тождествоо[Хте(ж)ф"(ж) - (2п + 1)2ДД(ж)ф(х)] dx =(5.1.33)оУфе C°°(Rn): ф(0) = 0, тОО,Метод Фурье для классических и слабых решений§1.67где числа {ап} являются коэффициентами Фурье граничных данных:тг/24 [ап = — сфу) sin(2n + l)ydy,n > 0.7Г J0Заметим, что интегральные тождества (5.1.33) являются обобщенными(слабыми) постановками краевых задач для искомых коэффициентов Фу­рье:X" — (2п + 1)2Х„ = 0,п {-Хп(0) — ап П > 0.х > 0,’(5.1.34)Точнее, справедлива следующаяЛемма 5.1.2.

Пусть функция Хп Е ТД(Пг) У г > 0 и удовлетворяет ин­тегральному тождеству (5.1.33). Тогда функция Хп Е СУОС[0,эс) и явля­ется классическим решением краевой задачи (5.1.34).Доказательство. Выбирая, в частности, в (5.1.33) пробные функции ф ЕС700 (0,7г/2), получим интегральное тождество0000ХДх)гД(х) dx = (2п + I)2 f Хп(х\ф(х) dx Уф 6 <7°°(0,7г/2), (5.1.35)оосовпадающее с определением слабой производной X", согласно которомуслабая производная X" существует и равна. (2п + 1)2ХП . В силу интеграль­ного представленияXХп(ж) = С\х + 6*2 + J (х ~ У)Х'М dy У ж > Оофункции Хп на (0,л/2) через ее слабую производную X", где C*i и Со -■некоторые постоянные13, функция Хп представима на (0,7г/2) в видеXХДх) = (Дх + С2 + (2n + I)2/*(ж - у)Хп(у) dy У ж > О,о13Элементарный вывод интегрального представления функцииприводится ниже в разделе Дополнение 1.Xчерез её слабую производнуюX"Глава 5.Эллиптические краевые задачииз которого после соответствующего переопределения Хп на множестве ме­ры ноль сразу же вытекает её бесконечная дифференцируемость: Xn ЕС°°[0,оо).Таким образом, слабое решение Х„ краевой задачи (5.1.34) в смысле ин­тегрального тождества (5.1.33) имеет классическую гладкость, а следова­тельно является11 классическим решением краевой задачи (5.1.34).

Леммадоказана.□Найдем класс единственности в краевой задаче (5.1.39). Для этого нужнопри каждом п > 0 найти класс единственности в краевой задаче (5.1.34). Сэтой целью рассмотрим однородную краевую задачу (5.1.39), т.е. уравнение(5.1.39) с краевым условием Х„,(0) = 0. Из общего вида решения такойзадачиХПД) = С-(е(2п+1)ж - е~(2п+1)х),ж > 0, п0,(5.1.36)следует, что искомое условие на бесконечности имеет видХп(ж) = о(е('2п+1^) при хсю.(5.1.37)Действительно, из (5.1.50) сразу же следует, что С = 0, т.е.

однороднаякраевая задача (5.1.34) имеет в классе (5.1.50) только тривиальное решение.При этом замена о-маленького на О-болъшое в условии (5.1.50) приводит кпотере единственности, в чем легко убедиться, полагая С = 1 в представле­нии (5.1.36). Таким образом, условие (5.1.50) определяет класс единствен­ности решений краевой задачи (5.1.34) для каждого индекса п Д 0.В силу определения коэффициентов Фурье (5.1.44) классом единствен­ности в краевой задаче (5.1.39) будет пересечение всех классов (5.1.50).

Этоозначает, что искомый класс единственности для краевой задачи (5.1.39)имеет види(х,у) = о(ех) при я; —> оо равномерно по у Е [0,7г/2],(5.1.38)14Для ОДУ тот фундаментальный факт, что слабое решение краевой задачи, имеющее классическуюгладкость, является классическим, устанавливается еще проще чем для ДУЧП — подробности см.

нижев разделе Дополнение 2.§1.Метод Фурье для классических и слабых решенийгде при замене «о-маленъкого» на «О-большое». как и требуется, получаемпример нетривиального решения u = sh х sin у однородной краевой задачи,(5.1.39)т.е. задачи (5.1.39) с краевым условием п|ж=о = 0.Осталось выписать решение неоднородной краевой задачи (5.1.39) в клас­се единственности (5.1.38). Для этого достаточно заметить, что при каждомп > 0 решение неоднородной краевой задачи (5.1.34) в классе единственно­сти имеет видХп(х) = апе~(2п11)х,ж > 0, п > 0.Поэтому единственное в классе (5.1.38) решение краевой задачи (5.1.39)имеет видane~(2n+v,x sin(2n + 1 )т/,и(х, у) =ж > 0.п=0Дополнение 1.

Интегральное представление функции через ееслабые производные.В этом разделе устанавливаются интегральные представления функцийчерез их слабые производные. НДополнение 2. Проверка корректности определения слабогорешения.5.1.3.Метод Фурье решения краевых задач для однородногоуравнения Гельмгольца в полуполосе. Условия на беско­нечности и класс единственности решений.Для однородного уравнения Гельмгольца в полуполосе классическим реше­нием краевой задачиихх + иуу + 2и = 0, (х,у) G П+ =f {(х,у) G R2: ж > 0, Q <у < л/2};<^'1у=0 — ^А/|у=7г/2 — 0, Xи\х=0 = а(у\0,0<т/<%/2;(5.1.39)70Глава 5.Эллиптические краевые задачиназывают функцию u Е С*2(П+) П С1(П+), удовлетворяющую уравнениюи краевым условиям (5.1.39)15 Требуется также, чтобы классическое реше­ние удовлетворяло еще и некоторым условиям на бесконечности, которыеограничивают поведение решения при х -д ос, гарантируя единственностьрешения.

Чем сильнее ограничение, тем «лучше» для единственности, но«хуже» для разрешимости, так как усиление ограничения может привестик потере существования решения. Корректная постановка краевой задачитребует отыскания некоторого идеального баланса требований к решению,гарантирующих единственность решения, но не препятствующих его суще­ствованию. Именно по этой причине важно найти самый «широкий» класс,гарантирующий единственность.

Такой класс и называют «классом един­ственности». Для уравнения Гельмгольца в полосе и полуполосе затуханиевсех гармоник на бесконечности оказывается недопустимо грубым услови­ем, приводящим к потере физически осмысленных решений, удоволетворя-ющих на бесконечности так называемым «условиям излучения».В краевых задачах вида (5.1.39) условия на бесконечности проще всегозадаются в терминах символов Ландау «о-маленъкое» и «О-болъшое» приа; —> ос, т. е.