Учебное пособие - УМФ - Боговский, страница 11

щ = щ в Q.□Следствие 5.3.4. Из принципа максимума вытекает непрерывная зависи­мость решения задачи Дирихле от граничных данных для произвольнойограниченной области Q.Доказательство. Действительно, пусть щ и ш — какие-либо два решениязадачи Дирихле для уравнения Лапласа в области Q с граничными данны­ми пх|ао = -01 и U20Q = '02, с оценкой разности |0х — 02, < £ по границе<9Q. Согласно следствию 5.3.1 имеем оценку разности решений |ui — гД < £по области Q, что и требовалось доказать.□Следствие 5.3.5.

Если последовательность функций 1Лх), гармониче­ских в ограниченной области Q и непрерывных вплоть до границы, равно­мерно сходится на границе ЭН, то она равномерно сходится и в замыканииQ области Q.Доказательство. Для доказательства рассмотрим последовательность гар­монических функций {ип(ж)}, и пусть {0П} — их граничные значения на8Q. По предположению, последовательность {0П} равномерно сходится наdQ. По критерию Коши это значит, что Vs > 0 существует номер А, чтопри иг, n > N всюду на. <9Q: |0П — 0т| < £.

Но тогда из принципа мак­симума для этих п и пг будет следовать, что \un — Um\ < £ всюду в Q.Но тогда опять же по критерию Коши заключаем, что последовательность{«„,} равномерно сходится в Q.□865.3.2.Глава 5.Эллиптические уравненияТеоремы о среднем для гармонических функций по сфереи шару.Функцию u G 6y2(Q) называют гармонической в области Q сп > 2,если она удовлетворяет в Q уравнению Лапласа. Обозначим через Вр(х°)открытый шар радиуса р > 0 с центром в точке х° G В", т. е. Вр(хД = {х GЖ": |ж —2>0| < р}. Символом шп обозначим площадь поверхности единичнойсферы в В". т. е.где Г — это гамма-функция, т.е.+ 1) = ЛДф, Г(1/2) = уГг, Г(1) =Г(2) = 1.Теорема 5.3.2 (о среднем по сфере). Функция и G C2(B^(a;o)); гармони­ческая в шаре ВДхД R > 0; удовлетворяет равенству(5.3.9)Доказа/тельство.

Для гармонической в Вд(ж°) функции и обозначим черезМДр) ее среднее значение по единичной сфере [х Е В": |ж — ж°| = 1}, т.е.Ы=1и заметим, что в силу предполагаемой гладкости и производнаяЫ=1откуда, переходя к интегралу по сфере \у\ = р, находимМ'Др) =где Пу =f(уДх° Г у),Пу) dsyVpe(0,B),Воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса, получим§3.Уравнения Лапласа и Пуассона87т. е. производная ЛД = 0 на (О, Я) и поэтому существует такая постояннаяС, что среднее по единичной сфере Мп = С на (О, R). А тогда, переходя в(5.3.10) к пределу при р0, заключаем, что С = МДО) = п(х°).Теорема доказана.□Следствие 5.3.6 (о среднем по шару).

Для функции, гармонической вшаре Вд(ж°), ее значение в центре шара, равно среднему арифметическомупо шару, т. е.u(x°} =——/u(x) dx VpG(0,B).(5.3.11)ВДх°)Для доказательства достаточно умножить обе части равенства (5.3.9)77_ Iна шпри проинтегрировать по р, что сразу же приводит к равенству.(5.3.11)5.3.3.Строгий принцип максимума для гармонических функцийи его следствия.Утверждение следующей теоремы принято называть строгим принципоммаксимума для гармонических функций. Важно, что строгий принцип мак­симума.

не нуждается в требовании ограниченности области.Теорема 5.3.3. Пусть Q — любая область в Br<, п > 2. Тогда гармониче­ская в Q функция, отличная от тождественной постоянной, не прини­мает ни в одной внутренней точке Q значений своих верхней и нижнейграней.Доказательство. Предположим противное, а. именно, пусть найдется точках° Е Q, в которойи(х°) = sup и.о(5.3.12)Глава 5.Эллиптические уравненияНе ограничивая общности22, будем считать, что QПоэтому найдетсятакое число р G (0, ос), что р = dist (т°,<9П).

Рассмотрим открытый шарВр(ж°) = [х G Q: |ж — ж°| < р}.Из определения гармонической функции следует ее непрерывность в шареВр(х°). А тогда наличие в этом шаре точек со значениями строго мень­ше чем и(х°) означало бы, что Жорданова мера множества таких точекстрого положительна, что противоречило бы теореме о среднем по шаруВр(х°). Поэтому таких точек в шаре Вр(х°) нет.

А тогда рассматриваемаягармоническая функция и = и(х°) в шаре Вр(х°).Используя те же рассуждения, можно добраться до любой точки х Е Qпо конечной цепочке пересекающихся шаров, в каждом из которых рассмат­риваемая гармоническая функция и = и(х°). Тем самым будет доказано,что для гармонической функции, отличной от тождественной постоянной,предположение (5.3.12) неверно. Таким образом, доказано, что гармониче­ская функция, отличная от тождественной постоянной, не принимает нив одной внутренней точке Q значение своей верхней грани.

Чтобы дока­зать справедливость утверждения теоремы для значения нижней грра.ни,достаточно сослаться на уже доказанное утверждение теоремы для верхнейграни, заменив функцию и на —и.Теорема доказана□Замечание 2. Если Q — ограниченная область, и Е C(Q), то, верхняя инижняя грани значений функции и = и(х) в Q совпадают, соответственно,с ее максимальным и минимальным значениями в Q.Следствие 5.3.1. Отличная от тождественной постоянной гармоническаяв ограниченной области Q Е КТ функция и Е С(ГГ) принимает свое наи­большее и наименьшее значение только на <9Q.22Случай Q = R" не представляет интереса ввиду наличия теорем Лиувилля, которые исключа­ют существование ограниченных или даже полуограниченных гармонических функций, отличных оттждественных постоянных.§3.Уравнения Лапласа и ПуассонаСледствие 5.3.2.

Если гармоническая в ограниченной области функцияu Е C*(Q) принимает свое наибольшее или наименьшее значение внутриобласти, то она тождественно равна постоянной.5.3.4.Потенциалы простого и двойного слояРассмотрим классическое решение иД) Е <72(Q) П С1(Й) уравнения Пуас­сона-Aw = /(ж)(1)в ограниченной области Q сК3 с кусочно-гладкой границей.Лемма 5.3.1. Для любой точки х° Е Q имеет место представление:адqгде г = Д — т°|, п — единичная внешняя нормаль к дД a f = f(x) Е C(Q)такова, что первый интеграл в правой части (2) существует, например,f е С Щ).Доказательство.

Вырежем точку х° Е Q шаром Ве(т°) достаточно мало­го радиуса в и используем вторую формулу Грина, в которой в качествефункции v = иД) выберем иД) = — 1/г, где г = Д — т°|. Очевидно,=Ов Q \ В£Д°). При этом из второй формулы Грина находимРассмотрим предел последнего слагаемого при в —> 0. Для единичной внеш­ней нормали к сфере радиуса в выполняется равенство_д_1дпг1дг г1190Глава 5.Эллиптические уравненияпоэтому/*д 1/ и-—dsxJдп гдВУх°}А так как и(х) Енаходимд /дВУхрТаким образом, получаемГд 1lim / и(х}——dsx = Гли{х°}.•о Jv дпгv 7двухрВ силу ограниченности ||^| < М в Q, имеем- lim[ -~y~dsj < lim---- 47гз2 = 0.X£—>0 £•О JГ дпдвухрПодставляя значения рассмотренных пределов в (3), получаем:11дщ— у* -ДшТт = 47ггфт°) + j ■ и—д--------— ds X чL дпгг дп\b<90Откуда, заменяя — Ди на /(ф); получаем формулу (2).

Лемма доказана.Если бы были известны одновременно граничные данныеwOq и□1ФОп эп9Qдля решения уравнения (1), то формула (2) давала бы явное представлениерешения краевой задачи для уравнения Пуассона (1) в произвольной огра­ниченной области. Однако, мы не можем произвольно задатьдидп=(в данном случае можно задать илиилии эа= уд(ф) и), и поэто-му формула (2) не дает решения краевой задачи. Тем не менее, формулу(2) используют для представления решения краевой задачи через функ­цию Грина. Интегралы же, входящие в (2), имеют непосредственный фи­зический смысл. Так, первый из интегралов в правой части (2) называется§3.Уравнения Лапласа и Пуассона91ньютоновским потенциалом с плотностью / = /Д). Интеграл f ^<P2(x)dsxдо гназывается потенциалом простого слоя с плотностью ^2(ж), а интегралf (pi(x)-7~dsx называется потенциалом двойного слоя с плотностью у\(х).дОС помощью потенциалов простого и двойного слоя можно строить решениязадач Неймана и Дирихле для уравнений Лапласа (и Пуассона), сводя этизадачи к интегральным уравнениям.Следствие 5.3.3 (о бесконечной дифференцируемости гармонических функ­ций).

Гармоническая в Q функция и(х) имеет в каждой точке внутри об­ласти Q непрерывные производные любого порядка.Доказательство следует из интегрального представления (5) гармониче­ской функции в виде потенциалов, так как стоящие в правой части интегра­лы можно дифференцировать по параметру х° любое число раз во всякойподобласти ш С Q такой, что Л С Q (т.е. когда dist(a?,<9Q) = h Л> 0),ввиду бесконечной дифференцируемости по х° Е Q при Д — т°| > ho > 0функциикоторую нзывают фундаментальным решением оператора Лапласа.Приложение АНекоторые справочные сведенияА.1.Лемма ДюБуа-РеймондаА.2.Операция усредненияА.З.Срезающие функции и разбиение единицыА.4.Полезные неравенстваInequalities, most frequently used throughout the text, are presented in thisChapter without proofs just for the reference in order to make reading the texteasier and to avoid making additional comments.A.4.1.Young’s InequalityFor real-valued functionsG C*[0, oo), denoteXip(t)dt,dt Ух У 0,Ф(х) =ооwhere cp is strictly increasing such that Д0) = 0 and lim p(t} = oc whilet—»ocф=.

The Young’s inequalitya-b < Ф(а) + Ф(6)is valid for all a,b G [0, oo) with equality taking place if and only if b = p(a).9293The standard proof of the Young’s inequality can be found in [?] or elsewhere.Choosing= tp~r for p E (1, сю), we arrive at the most widely known specialcase of the Young’s inequalityap If'a-b <---- 1—pp'Va,&G[0, oo)where p' = p/(p — 1).