Учебное пособие - УМФ - Боговский

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ(государственный университет)М.Е. БОГОВСКИЙУРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИУчебное пособиеМосква2019© Боговский М.Е., 2019iУДК 517.95ББКБ 74Б74М.Е. БоговскийУравнения математической физики. Учебное пособие.М.Е. Боговский. - Москва: МФТИ, 2019 - 1?? с.В учебном пособии представлен обновленный семестровый курс Уравнений математиче­с элементами современных функционально-аналитических подходов к решениюкраевых и начально-краевых задач математической физики для дифференциальных уравненийв частных производных.

Главное внимание уделяется простоте и ясности изложения материала,традиционно считавшегося доступным лишь для студентов математических специальностей.При этом студенты нематематических специальностей были фактически лишены возможностиполучить адекватное представление об имеющихся более эффективных подходах к решениюклассических задач математической физики, значительно расширяющих и усиливающих ар­сенал методики решения классических задач. Известный своей сложностью материал впервыеизлагается на уровне, доступном для студентов бакалавриата нематематических специально­стей, что несомненно оценят студенты магистратуры, аспиранты, и даже научные работники,интересующиеся более современными и более эффективными подходами к старым и новымзадачам математической физики.Илл.

1. Библ. 18 назв.ской физикиУДК 517.95ББК© Боговский М.Е., 2019iiОглавлениеПредисловие5Список обозначений6Глава 1. Введение81.1. Постановка задач математической физики............................1.2. Классические и слабые решения краевых задач...................88Глава 2. Элементы анализа дифференциальных уравнений ма­тематической физики112.1. Общая классификация ДУЧП..................................................112.2. Канонический вид ДУЧП второго порядка............................112.3. Элементы спектральной теории дифференциальных операторов 132.4.

Разделение переменных методом Фурье..................................1928Глава 3. Волновое уравнение3.1. Классическое решение задачи Коши.........................................283.2. Слабое решение задачи Коши.....................................................313.3. Начально-краевые задачи на полуоси......................................363.4. Начально-краевые задачи на конечном отрезке......................41Глава 4.

Уравнение теплопроводности424.1. Задача Коши.................................................................................424.2. Классические и слабые решения начально-краевых задач . .5134Оглавление4.3. Принцип максимума для уравнениг теплопроводности ....Глава 5. Эллиптические краевые задачи51555.1. Метод Фурье для классических и слабых решений................555.2. Зональные сферические гармоники в методе Фурье для урав­нения Пуассона..............................................................................765.3.

Свойства решений уравнений Лапласа и Пуассона................82Приложения:92А Некоторые справочные сведения92А.1. Лемма ДюБуа-Реймонда...............................................................92А.2. Операция усреднения..................................................................92А.З. Срезающие функции и разбиение единицы............................92А.4. Полезные неравенства..................................................................92A.

5. Другие примеры задач математической физики95...................В Некоторые методические рекомендации96B. 1. Метод интегральных преобразований......................................96В.2. Метод искусственного параметра в задаче Коши...................96В.З. Интегрирование ДУЧП первого порядка....................................97B.

4. Как найти класс единственности для краевой задачи ....97С Примеры решения задач методом Фурье98C. 1. Начально-краевые задачи............................................................98С.2. Краевые задачи..............................................................................100Интернет-ресурсы101Литература103Предметный указатель105ПредисловиеОсновной целью учебного пособия является подготовка студентов к пись­менному и устному экзаменам по учебному курсу « Уравнения математи­ческой физики» ...Курс состоит из пяти глав и трех приложений. В первой главе ...Во второй главе в рамках ...Третья глава посвящена решению ...Четвертая глава посвящена методам ...Пятая глава ...Список литературы ...Интернет ресурсы ...Приложения А ...Приложения В ...Приложения С ...Навигация по PDF файлу учебного пособия ...Список обозначенийR — вещественная ось;С — комплексная плоскость;КС — n-мерное вещественное евклидово пространство;Сп — n-мерное комплексное евклидово пространство (комплексной размер­ности п > 2 или вещественной 2п);KL™ = [х = (х', хп): х Е КС, хп > 0} — полупространство в Rn;Sn = {х: х Е КС, |.т| = 1} - единичная сфера вА х В — прямое (декартово) произведение множеств А и В, т.

е. множествовсех упорядоченных пар {{a, b}: а Е A, b Е В};А + В = {а + b: а Е A, b Е В} — алгебраическая сумма множеств А и В:А — замыкание множества А;Int А — подмножество всех внутренних точек множества А;дА — множество всех граничных точек множества А;supp/ ~ носитель функции /, т. е. замыкание множества {х : /(ж) ф 0};Q — область в КС, т. е.

открытое связное множество в КС;Qt = Q х (0, В) — цилиндр в КС+1 высоты Т > 0 с основанием Q С КС;X х Y — линейное пространство упорядоченных пар {w,v}, u Е X, v Е Yс покомпонентным сложением и умножением на скаляры;X(Q) — пространство функций f: Q —> R с нормой (полунормой) Ц/ЦхдуX(Q;KC) — пространство вектор-функций v = (щ,... , щ):мой (полунормой) 11V11 X(Q;R") = 52 \\Vj ILv(Q)5j=lX((0,T); У) — пространство функций и: (0,Т)ния в линейном пространстве У;6КС с нор­Y, принимающих значе­Обозначения7С1 (О) — пространство I раз непрерывно дифференцируемых в Q с R”функций;Ст(О) — пространство т раз непрерывно дифференцируемви в областиQ С R" функций, обращающихся в ноли на границе дО вместе со всемисвоими производивши до порядка т включительно;С°°(О) — пространство бесконечно дифференцируемых и финитных в об­ласти Q С В" функций.Глава 1Введение1.1.Постановка задач математической физики1.1.1.

Вывод уравнение теплопроводности.1.1.2. Постановки задач для уравнения теплопроводности.1.2.Классические и слабые решения краевых задачКлассическим решением краевой задачи, а также задачи Коши, начально­краевой и прочих задач для дифференциальных уравнений, принято на­зывать решения, обладающие минимальной классической гладкостью, до­статочной для проверки выполнения уравнений, а также краевых и прочихзаданных условий.

Например, для краевой задачиu"(x) = f (x), x G (0,n),(1.2.1)u(0) = u(n) = 0,при заданной f G C[0, п] классической будет гладкость решения u G C2[0, n]с оператором классического дифференцирования L = -Х : DL q L2(0,n)L2(0, п), имеющим область определенияDl = {ф G C2[0,n] :8(0) = ^(п) = 0},§2.Классические и слабые решения9всюду плотную в £2(0,7г). Краевая задача (1.2.1) имеет единственное реше­ние7Г^(ж) =(ж - y)f(y)dyy)f(y)dyодля любой части f G С'[0,7г].На примере этой простой краевой задачи поясним теперь в чем заклю­чается понятие обобщенного (слабого) решения краевой задачи. Умножаяуравнение (1-2.1) скалярно в £2(0, Z) на v Е Dl и интегрируя два раза, почастям, получаем(и, £v) = (/щ) Vi; Е Dl.(1.2.2)Равенство (1.2.2) является интегральным тождеством, т.

е.[ uv"dx = [ fvdx Vv Е Dl(1.2.3)JoJoПри этом функцию u Е £р(0,7г), удовлетворяющую тождеству (1.2.2) или(1.2.3), называют обобщенным (слабым) решением краевой задачи (1.2.1)класса £р(0,7г), 1 < р < оо. Подчеркнем, что от обобщенного (слабого)решения класса £р(0,7г) не требуется никакой дифференцируемости, тогдакак решение задачи (1.2.1) в классическом смысле должно быть, по опреде­лению, дважды непрерывно дифференцируемой [0, я] функцией, т. е. в обоб­щенной (слабой) постановке (1.2.3) задачи (1.2.1) принципиально ослабленытребования к гладкости решения по сравнению с классической постановкойзадачи (1.2.1).Тождество (1.2.3) было получено из (1.2.1), поэтому всякое классиче­ское решение (1.2.1) будет обобщенным (слабым) решением в смысле (1.2.3).Обратное, вообще говоря неверно.

Однако, если обобщенное (слабое) реше­ние (1.2.3) окажется дважды непрерывно дифференцируемым, точнее, еслиu Е С'2[0,7г], то это обобщенное (слабое) решение и(х) будет классическимрешением краевой задачи (1.2.1). Действительно, из тождества (1.2.3) на­ходим, интегрируя по частям,(£w,v)+w(7r)T'(7r) — п(0)т'(0) = (/,ж) Vn G Dl-(1-2.4)10Глава 1.ВВЕДЕНИЕВ частности,= (/,«) V«6 C°°(0,Z)cDl,откуда, и из леммы ДюБуа-Реймонда1 следует, чтоLu(x) = f(x) Vх е (0,7г).Осталось выяснить, удовлетворяет ли такая и Е С2[0, Д краевым условиям7/(0) = Д'/?) = 0.Так как Lu = /, из (4) получаем7/(7r)v,(7r) — 7/(0)v'(0) = 0 \/v Е Dl-(1.2.5)Выбирая v Е Dl в (5) таким образом, что т/Д) = 1, /ДО) = 0, находимДл) = 0.

А выбирая v Е Dl так, чтобы /Д-Д = 0, 7Д0) = 1, находимДО) = 0. Следовательно, ДО) = 7/(7г) = 0. Это означает, что обобщеннаяпостановка (1.2.3) краевой задачи (1.2.1) неявно содержит в себе краевыеусловия на обобщенное решение, если обобщенное решение является до­статочно гладкой функцией. Нетрудно убедиться, что обобщенное (слабое)решение (1.2.3) будет классическим решением краевой задачи (1.2.1), еслиправая часть / G С[0,Д.Отметим, что слабые решения составляют регулярную часть широкогокласса обобщенных решений, формально представленных функционаламина пространствах соответствующих основных функций, например, £ДВП) и5ДКП).

Однако, в отличие от собственно обобщенных функций, слабые ре­шения уже сами по себе являются элементами пространств интегрируемыхфункций.1см. §5.6 учебника: Владимиров В.С. Уравнения математичской физики. — М.: Наука, 1981.Глава 2Элементы анализа дифференциальныхуравнений математической физикиКлассическая альтернативная схема включена в список литературы, обяза­тельной для чтения, и предлагается студентам для самостоятельного изу­чения.2.1.Общая классификация ДУ ЧП2.1.1.Эллиптические уравнения.2.1.2.Гиперболические уравнения.2.1.3.Параболиические уравнения.Технически решение краевой задачи2.2.Канонический вид ДУ ЧП второго порядкаРаздел посвящен классификации и приведению к каноническому виду ДУ ЧПвторого порядка с вещественными коэффициентами. Для переменных коэф­фициентов задача приведения уравнения к каноническому виду решаетсятолько в случае двух переменных, а в случае п > 3 переменных рассмат­риваются только уравнения с постоянными коэффициентами.И12Элементы анализа дифференциальных уравненийГлава 2.2.2.1.Гиперболические уравнения с переменными коэффициен­тами в случе двух переменных.2.2.2.Эллиптичпеские уравнения с переменными коэффициен­тами в случе двух переменных.2.2.3.Уравнения второго порядка с постоянными коэффициен­тами в случае // д 3 переменных.Квадратичная характеристическая форма уравнения выделением полныхквадратов приводится к каноническому виду некоторым невырожденнымпреобразованием, с помощью которого строится замена переменных, при­водящая к каноническому виду само уравнение.Поскольку к каноническому виду приводится только главная часть урав­нения, без какой бы то ни было потери общности рассмотрим невырожден­ное линейное уравнение второго порядка с вещественными постояннымикоэффициентамипakmuXkXJx} =жеГ, n > 3.(2.2.1)fc.m=lПо определению, каноническим видом уравнения (2.2.1) называют его невы­рожденный видп^XjUx.x.(x) = f(x),l=iжбГ,(2.2.2)с коэффициентами Aj принимающими только три допустимых значения:Xj = О И Xj = il.Для приведения уравнения (2.2.1) к каноническому виду (2.2.2) рассмот­рим характеристическую форму уравнения (2.2.1), т.