Учебное пособие - УМФ - Боговский, страница 5

С этой целвю воспользуемся краевым условием(3.3.1), из которого следует/(at) + p(-at) =откуда и получим определение функции д при отрицательных значенияхаргумента9^ = </>(--) - f(~s)ClVs<0,где вид функции / для положительных значений аргумента уже известен,т. е., имеемОсталось проверить выполнение условий согласования заданных началь­ных и граничных условий (3.3.1). Невыполнение условий согласования вточке пересечения полуоси начальных данных {ж > 0} с полуосью гранич­ных данных [t0} создает разрывы решения и его производных в точкепересечения граничных полуосей, через которую проходит характеристиках — at = 0, переносящая эти разрывы внутрь пространственно-временногоквадранта (0,оо) х (0, оо).

Такой пространственно-временной эффект пе­реноса разрывов7 называют распространением разрывов вдоль характери­стик.'Для классических решений такой эффект возникает только в результате несогласованности на­чальных и граничных данных, тогда как для слабых решений их разрывы вдоль характеристик могутоказаться следствием разрывов еще и у самих начальных и граничных данных, помимо их возможнойнесогласованности.§3.39Классические и слабые решения на полуосиСама по себе гладкость начальных и граничных данных гарантируетлишь кусочную гладкость функции д, которая может иметь разрывы в точ­ке смены знака аргумента, т. е.

в нуле. Отсутствие разрывов решения вдольхарактеристик эквивалентно выполнению условий:#(-0) = #(+0),< У(-0) = У(+0),(3.3.5)У'(-0) =/(+0).которые останутся необходимыми и достаточными условиями С2-гладкостиискомого решения внутри квадранта (0, ос) х (0, ос) даже при сколь угодногладких данных uq , щ, <р.Вычисляя левые части (3.3.5) с помощью (3.3.4), а правые — с помощью(3.3.3), находимП°) - |М°) - С = |wo(O) - С,< -|^'(о) + |*4(о) + 1^(о) = |?4(о) - ^i(o),^°) =^(°)’откуда получаем условия согласования начальных и граничных данных(д(0) = w0(0),< (д'(0) = щ(0),(3.3.6)У'(0) = аХ(0),необходимые и достаточные для существования классического решения начально­краевой задачи (3.3.4).Подставляя (3.3.3) и (3.3.4) в (3.3.2) получаем искомое классическое ре-40Глава 3.Волновое уравнениешениех < at,(3.3.7)начально-краевой задачи (3.3.1). Единственность классического решения(3.3.7) задачи (3.3.1) вытекает из построения решения как общего реше­ния волнового уравнения (3.3.7), удовлетворяющего краевому и начальнымусловиям (3.3.7).Другой, более наглядный способ доказать единственность решения ли­нейной задачи — это установить, что однородная8 задача имеет только три­виальное решение9.

Для этого достаточно продолжить классическое реше­ние однородной задачи (3.3.1) нечетным образом с квадранта [0, ос) х [0, оо)на полуплоскость д х [0, ос) и заметить, что такое продолжение будет клас­сическим решением однородной задачи Коши, которое тривиально ввидуранее уже установленной единственности классического решения задачиКоши для волнового уравнения.Таким образом, доказана следующая теорема.Теорема 3.3.1. Для любыхuqG С2[0,оо), щ Е (Д^оо) u р Е С2[0, ос),удовлетворяющих необходимым и достаточным условиям согласования(3.3.6), существует единственное классическое решение и Е С2[0,оо) начально­краевой задачи (3.3.1).

Это решение имеет вид (3.3.7).“Однородной называют задачу с нулевыми данными.9Тривиальным называют нулевое решение.§4.41Начально-краевые задачи на конечном отрезке3.3.1. Непрерывная зависимость решения от данных задачи.Из явного представления классического решения (3.3.7) начально-краевойзадачи (3.3.1) следует очевидная оценка1Ы|с'([0/]х[0,Т]) < |к1|с[0,Г] + |Ьо||с[ОД+аТ] + ЛIW1 ll<W+aT] ,(3.3.8)для любых положительных £ и Т, где С — пространства равномерно непре­рывных функций на соответствующих компактах с соответствующими шахнормами. Оценка (3.3.8) означает непрерывную зависимость решения отданных задачи, т. е.

равномерную сходимость последовательности решений{и11} на любом наперед заданном компакте [0, £] х [0,Т] при условии рав­номерной сходимости последовательностей соответствующих граничных иначальных данных {ф"} и3.4.на отрезках [О, Г] и [0, (1 + аТ].Начально-краевые задачи на конечном отрезкеГлава 4Уравнение теплопроводности4.1.Задача КошиРассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводностиut = Au, x E Rn, t > 0,tu|t=0 = u0(x), x E Rn, n > 1.(4.1.1)Классическим решением задачи Коши (4.1.1) называют функциюu E cX;1(Rn X (0, \ i n C(Rn X [0, \ i,удовлетворяющую уравнению и начальному условию (4.1.1), где через Cx2,,t1обозначено анизотропное пространство непрерывно дифференцируемых функций10 — дважды по x и один раз по t.

Искомое решение построим методомпреобразования Фурье, т. е. , предполагая всё, что может потребоваться,найдем явное представление искомого решения, после чего убедимся в том,найденное решение является искомым классическим решением задачи Ко­ши (4.1.1).Применим к задаче (4.1.1) преобразование Фурьеu«,t) d=f F[u(x,t)] =fu(x,t)e-(x,e)dx,£ E Rn, t > 0,Rn10Анизотропная гладкость — это разная гладкость по разным направлениям.42§1.Задача Коши43где круглые скобки (• , •) означают скалярное произведение вПользуясьсвойством преобразования Фурье производнойF[d°u] =порядка се, где a = (оц ,..., се„.) — мультииндекс, т.

е. вектор с целыми неот­рицательными компонентами, получим простейшую задачу Коши для ОДУй« = -|£|2й,t>0,«|<=о = «0(£)>(4.1.2)£ е К", п > 1.для преобразования Фурье й = '&(£,£) искомого решения задачи (4.1.1), гдеUq =f F[mo] — преобразование Фурье начальных данных Uq = Uq(x).Нетрудно убедиться, что единственное решение простейшей задачи Ко­ши (4.1.2) для ОДУ имеет видй.(С 1) = «о(С)е <|£|1С е R”,> I-(4.1.3)А тогда искомое решение задачи Коши (4.1.1) представимо в виде(4.1.4)Осталось упростить найденный явный вид искомого решения задачи Коши(4.1.1).Поскольку преобразование Фурье начальных данных Uq представленоинтеграломпто в силу (4.1.4) имеемu(x,t) =У ег(ж’е) i|e|2d£ У и0(у)е %Mdy,R”хGRRnоткуда, меняя порядок интегрирования и вводя обозначениеЛ(М) = -4- / е,(^)-1|£|Ц^(27гДJR"х е R» t > о, п:(4.1.5)Глава 4.44Уравнение теплопроводностинаходим интегральное представление искомого решения задачи Коши (4.1.1)в виде сверткии(х,— у, t)uo(y) dy,=Jх G R". t > 0, n > 1.(4.1.6)R”Такое интегральное представление называют формулой Пуассона, а функ­цию • /„ вида (4.1.5) — ядром Пуассона.Осталось еще упростить представление ядра Пуассона (4.1.5).

Для этогозаметим, чтоп(4.1.7)и рассмотрим ядро Пуассона, соответствующее одной пространственной пе­ременнойToo^1(аД) = ^~ [ eix^d^2тг Jж G R, t > 0,(4.1.8)— 00Для вычисления интеграла (4.1.8) используем ТФКП. А именно, выделяяв показателе экспоненты полный квадрат, находимToo^i(M) =У1—сю—сюРассмотрим интеграл f e~trdp на комплексной плоскости ?/ = £ + icr, гдегконтур Г состоит из отрезка действительной оси —N<£<N, отрезкаи отрезков прямых Re// = £ = N и Re?/ = £ =прямой Ini?у = a = ——N. Воспользуемся теоремой Коши, согласно которой J e~tTdy = 0.

ТогдагполучимNо/■ *■-TV__ х_2t§1.45Задача КошиТак как два последние интеграла стремятся к нулю при N -д ос, то врезультате заменыVt£ = s,d£ = ^=vtполучаемTooУ—00Too+'OO= У e~ted£ = -^= У e~s2ds =—00— 00Таким образом установлено, что в случае одной пространственной перемен­ной ядро Пуассона имеет видЗ^ЗхЛ) =._ ,х Е R, t > О,(4.1.9)откуда и из (4.1.5) находим вид ядра Пуассона для общего случая n > 1пространственных переменных(4.1.10)В случае п = 1 непосредственной подстановкой (4.1.8) или (4.1.9) легкопроверить, что ядро Пуассонаудовлеворяет одномерному уравнениютеплопроводности при t > 0. А благодаря очевидному разделению про­странственных переменных в представлении (4.1.7), нетрудно убедиться,что ядро Пуассона ■ /’„ удовлеворяет уравнению теплопроводности при t > Ои в случае любого числа переменных п Л 2.А тогда в силу (4.1.6) искомое решение задачи Коши (4.1.1) имеет вид4t Uo(y)dy,(4.1.11)что завершает вывод классической формулы Пуассона для уравнения теп­лопроводности.На примере задачи Коши для уравнения теплопроводности проявляют­ся замечательная особенность метода преобразования Фурье, позволяющаяГлава 4.46Уравнение теплопроводностистроить явные решения в функциональных классах, существенно более ши­роких чем те, в которых применение преобразования Фурье строго обосно­вано, например, в пространстве Шварца 5^'(КП) обобщенных функций мед­ленного роста.

В частности, полученная с помощью преобразования Фурьеформула Пуасссона (4.1.11) дает явное интегральное предсталение решениязадачи Коши (4.1.1) для быстро растущих на бесконечности начальных дан­ныхuqЕ C(R/?), удовлетворяющих условию:ЭМ > 0 :sup ||wo(a?)|e< ею.(4.1.12)xeR"Теорема 4.1.1. Пусть Uq Е C(R/?) удовлетворяет условию (4.1.12), ипусть 4МТ < 1, п > 1. Тогда функция и = w(x,t) вида (4.1.11) имеетгладкостьи Е СМфДГ х (O,TJ) П С(Г? х [О,Г])и является классическим, решением задачи Коши (4.1.1), т. е. удовлетворяетуравнению на любом компакте в R" х (0,Т], а, начальному условию — налюбом компакте в R".Доказательство.

Обозначим Дх) = ио(х)еи заметим, что в силуусловия (4.1.12) функция р Е C(Rn) ограничена на Rn. При этом (4.1.11)примет вид(4.1.13)Чтобы оценить показатель экспоненты, заметим, чтом\у\2-ДУД _4,((1_4МТ)|.г/|2_|ж|2 + 2(.г,л),(4.1.14)где круглые скобки (•, •) означают скалярное произведение в Rn. А в силунеравенства Коши |(х,т/))| < |ж||т/| Vх,у Еи очевидного неравенства§1.

Задача Коши472ab < a2 + b2 V a, b > 0 имеем|х|д/2|y|7 1 — 4MT7271 — 4MT1 — 4MT|y|2,< 2 + 1 - 4mt) |x|2 +2|x|2 — 2(x,y) < |x|2 + 2|x||y| = |x|2 + 2откуда и из (4.1.14) находимM|y|2|x — y|2 <4t<1 — 4MT2) |x|2 Vx,y G RnVt G (0,T].|y|2+ 1+8T1 — 4MT(4.1.15)Ввиду ограниченности на Rn функции <p, неравенство (4.1.15) гаранти­рует гладкостьu G CTO(Rn x (0, T])для функции u = u(x, t) вида (4.1.11), которая будет удовлетворять налюбом компакте в Rn x (0, T] уравнению теплопроводности (4.1.1), так какпри t > 0 уравнению (4.1.1) удовлетворяет ядро Пуассона Pn(x— y, t).