Учебное пособие - УМФ - Боговский, страница 7

В общем случаечисло выходов на бесконечность может оказаться даже бесконечным.В краевых задачах вида (5.1.39) условия на бесконечности проще всегозадаются в терминах символов Ландау «о-маленъкое» и «О-болъшое» при|.т| —> сю-. А именно, для краевой задачи (5.1.39) классом единственностибудем называть самый широкий класс вида{и: и(х,у) = о(у>(х)) при |ж| -Д сю равномерно по у G [0,7г/2]},(5.1.2)в котором линейная краевая задача (5.1.39) имеет единственное решение,и где для разных выходов на бесконечность соотвествующие функции рмогут оказаться разными. При этом по определению под самым широкимклассом подразумевается тот из всех гарантирующих единственность ва­риантов выбора функции р в (5.1.40), при котором замена «о-маленького»на «О-большое» приводит к потере единственности, что тут же подтвер­ждается примером нетривиального решения однородной задачи или увели­чением размерности подпространства решений однородной задачи в случаенескольких выходов на бесконечность.

Принятие такого определения классаединственности однозначно решает проблему наилучшего выбора функциир в условии (5.1.40) для краевой задачи (5.1.39), что означает корректностьпринятого определения класса единственности.Метод Фурье для классических решенийМетод Фурье для классических решений краевой задачи (5.1.39) опирается§1. Метод Фурье для классических и слабых решений57на задачу Штурма-ЛиувилляY" = XY,0 <y< n/2;(5.1.3)Y (0) = Y'(n/2) = 0.Поскольку краевые условия в (5.1.41) являются самосопряженными, то соб­ственные функцииYn(y) = sin(2n + 1)y,(5.1.4)Xn = -(2n + 1)2, n > 0.задачи Штурма-Лиувилля (5.1.41) образуют ортогональный базис в про­странстве L2(0,n/2) квадратично интегрируемых по Риману на (0,п/2)функций11 со скалярным произведениемп/2(u, v) =uv dx dy,0которое порождает нормуп/21/2|u(x)|2dxu0Разложим искомое классическое решение краевой задачи (5.1.39) в рядФурье по ортогональному базису из найденных собственных функций {Yn}n=0 :ТОu(x, y) = £ Xn(x) sin(2n + 1)y(5.1.5)n=0с коэффициентами Фурьеп/2Xn(x) =u(x, y) sin(2n + 1)ydy.(5.1.6)011Точнее, элементами пространства L2(0, п/2) являются не сами функции, а классы эквивалентныхна (0, п/2) функций, т.е.

совпадающих на (0, п/2), за исключением подмножества меры Жордана ноль.Нулевым элементом в £2(0, п/2) служит класс функций, эквивалентых нулю на (0,п/2). Такое опре­деление позволяет избежать нарушения одной из аксиом скалярного произведения и порождаемой имнормы.58Глава 5.Эллиптические краевые задачиУмножим теперь уравнение Пуассона (5.1.39) скалярно в £2(0, тг/2) на соб­ственную функцию Yn с нормирующим коэффициентом 4/л, и пользуяськлассической гладкостью искомого решения, вынесем производные по х зазнак одного интеграла по у и проинтегрируем дважды по частям по у вдругом. При этом получим обыкновенное дифференциальное уравнениеX" - (2п + 1)2Х,, = fn(x),ж > 0, п > О,(5.1.7)с правой частьютг/2A W ==У) sin(2n + l)ydy,ж > 0, n > 0.оНайдем класс единственности в краевой задаче (5.1.39).

Для этого нужносначала при каждом п Г 0 найти класс единственности в краевой задачеX"-(2n + l)2Xn = 0,Х„(0) = 0,xgR,z(5.1.8)п > 0.Из общего вида решения такой задачиХп(х) = С1е(2п+1)ж + С1е-(2п+1)ж,х е R, п > 0,(5.1.9)следует, что искомое «условие на +ос» имеет видХп(х) = о(е(2п+1)ж) при х+оо,(5.1.10)тогда как искомым «условием на —ос» будетХп(х) = о(—Д2п+1)ж) при х -д —сю,(5.1.11)Действительно, из (5.1.10) следует, что С\ = 0, тогда как из (5.1.11) следует,что 6*2 = 0, т. е. на пересеченииХп(х) = о(е^2п+1^ж1) при |ж| -д сю(5.1.12)классов (5.1.10) и (5.1.11) однородная краевая задача (5.1.47) имеет толькотривиальное решение. При этом замена о-маленького на О-большое хотя§1.Метод Фурье для классических и слабых решений59бы в одном из условий (5.1.10)—(5.1.11) приводит к потере единственно­сти, в чем легко убедиться, положив сначала {Ci = 1, 6*2 = 0}, а затем{Ci = 0, С*2 = 1} в представлении (5.1.36), и получив в итоге два линейнонезависимых решения одной и той же однородной задачи (5.1.47).

Такимобразом, условие (5.1.50) определяет класс единственности решений длякраевой задачи (5.1.47).В силу определения коэффициентов Фурье (5.1.44) классом единственно­сти для краевой задачи (5.1.39) будет пересечение всех классов (5.1.50). Этоозначает, что искомый класс единственности для краевой задачи (5.1.39)имеет види(хуу) = о(е!‘г’1) при хос равномерно по у Е [0,7г/2],(5.1.13)где при замене «о-маленького» на «О-большое», как и требуется, получаемпримеры двух линейно независимых решений {u = ex’sin7/, и = е~х siny}одной и той же однородной краевой задачи (5.1.39), т.е.

задачи (5.1.39) снулевой правой частью.Осталось выписать решение неоднородного уравненияX" — (2п + 1)2ХП =/п(ж),х Е R, п0.(5.1.14)в уже найденном классе единственности (5.1.38). Чтобы получить представ­ление решения дифференциального уравнения (5.1.34), не используя явноговида правой части fn, нужно либо построить функцию Грина для задачи(5.1.34), либо использовать преобразование Фурье+оо<£>(£;) = F [у?(ж)] = У <£>(ж)е_^жФг,—00применив которое к дифференциальному уравнению (5.1.34), получим про­стое алгебраическое уравнение60Глава 5.Эллиптические краевые задачиоткуда сразу же находимХп =ш(2 + (2n + I)2’а тогда по теореме о свертке для преобразования Фурве получаем инте­гральное представление коэффициентов Фурье искомого решения(5.1.15)где интегральное ядро+001Г1 /'е'Хс2л J £2 + (2п + 1)2^142 + (2п + 1)2.—00легко вычисляется с помощью теории вычетов и леммы Жордана.

Болеекороткий путь использует простоту вычисления преобразования Фурье экс­поненты е-(2п+1)1ж1. Точнее,2(2n + 1)£2 + (2n + I)21Г1-£2 + (2n + I)2-е-(2п+1)|х|—---------- = Кп(х),2(2n + l)v 7где первое равенство почти очевидно. Таким образом, для краевой задачи(5.1.39) искомое решение имеет вид1002 п=0+ооsin(2n + 1)ж Г2n + 1J 6(5.1.16)—ооТребования следующих двух теорем значительно завышены ради упро­щения доказательств.Теорема 5.1.1. Пусть f G (7(11) и найдется такое 5 G (0,1), чтоsup(eп1/)1) < °°-(5.1.17)Для существования классического решения и G (72(П) задачи (5.1.39) вклассе единственности (5.1.38) достаточно, чтобы число ненулевы.х ко­эффициентов Фурье fn было конечным.п§1.Метод Фурье для классических и слабых решений61Теорема 5.1.2. Пусть f,fyy G С(П) и найдется такое 6 Е (0,1), чтоsup[e ф|(|/(ж,?/)| + \fyy(x,y)\)] < ос.п(5.1.18)Тогда существовует классическое решение и Е С2(П) задачи (5.1.39), при­надлежащее классу единственности (5.1.38).Для доказательства теорем достаточно заметить, что найдется постоян­ная АД > 0 такая, что выполняется неравенствоl/MUfc*1V(.i-,y)en(5.1.19)в первой теореме, или неравенствоf&y}\ + \fyy{x,y)\ < МИЖ|\/(ж,'г/) G П(5.1.20)во второй теореме.

При этом неравенство (5.1.19) обеспечивает принадлеж­ность решения к классу единственности в обеих теоремах, что легко уста­навливается с помощью оценкиНеравенство (5.1.20) используется только во второй теореме, чтобы дока­зать принадлежность суммы бесконечного ряда и Е С2(П), тогда как впервой теореме классическая гладкость решения гарантирована всего лишьпринадлежностью правой части f Е С2(П), поскольку ряд Фурье в первойтеореме содержит не более чем конечное число ненулевых членов.62Глава 5.5.1.2.Эллиптические краевые задачиМетод Фурье решения краевых задач для оператора Ла­пласа в полуполосе.

Условие на бесконечности и классединственности решений.Классическим решением задачи Дирихле для оператора Лапласа в полупо­лосеUxx + Uyy = 0, (х,у) G П+ =f {(х,у) 6 R2: ж > 0, 0 <у < 7г/2};<^1у=0 — ^у|у=7г/2 — 0? жu\x=o = a(y),О,0<?/<7г/2;(5.1.21)называют функцию u G С2(П+) П СУ1(П+), удовлетворяющую уравнению икраевым условиям (5.1.39).

Требуется также, чтобы классическое решениеудовлетворяло еще и некоторому условию на бесконечности, которое огра­ничивает поведение решения при х -Д ос, гарантируя единственность реше­ния. Чем сильнее такое ограничение, тем «лучше» для единственности, но«хуже» для разрешимости, так как усиление ограничения может привестик потере существования решения. Корректная постановка краевой задачитребует отыскания некоторого идеального баланса требований к решению,гарантирующих единственность решения, но не препятствующих его суще­ствованию. Именно по этой причине важно найти самый «широкий» класс,гарантирующий единственность.

Такой класс и называют «классом един­ственности». Для эллиптической краевой задачи в неограниченной области,помимо уравнения и краевых условий, искомый класс единственности зави­сит, как правило, еще и от геометрии области в окрестности бесконечности.В краевых задачах вида (5.1.39) условия на бесконечности проще всегозадаются в терминах символов Ландау «о-маленькое» и «О-большое» при|ж| —> ос. А именно, для краевой задачи (5.1.39) классом единственностибудем называть самый широкий класс вида{и: и(х,у) = о((Дж)) при |ж| —> ос равномерно по у G [0,7г/2]},(5.1.22)в котором линейная краевая задача (5.1.39) имеет единственное решение.§1.Метод Фурье для классических и слабых решенийПри этом по определению под самым, широким классом подразумеваетсятот из всех гарантирующих единственность вариантов выбора функции рв (5.1.40), при котором замена «о-маленького» на «О-большое» приводитк потере единственности, что тут же подтверждается примером нетриви­ального решения однородной задачи.

Принятие такого определения классаединственности однозначно решает проблему наилучшего выбора функциир в условии (5.1.40) для краевой задачи (5.1.39), что означает корректностьпринятого определения класса единственности.Обозначим через Д>(^) вещественное пространство квадратично инте­грируемых по Риману функций со скалярным произведением(щж) = У uvdxdy,Qкоторое порождает нормуДля положительных г > 0 обозначим через Пг прямугольникПг =f {(ж,?/) G R2: 0 < х < г, 0 < у < 7г/2}с П+.Для краевой задачи (5.1.39) слабым решением класса ZO будем называтьфункциюи G £2(ПГ) Vr > 0, удовлетворяющую интегральному тождествутг/2У u(x,y)Av(x,y)dxdy = У a(y)vx(Q,y) dyп+оУже C°°(R2): ж|ж=0 = 0, 0 < у « тг/2;ж|у=0= жу|у=7г/2 = 0, ж > 0.(5.1.23)Лемма 5.1.1. Если слабое решение класса £2 краевой задачи (5.1.39), име­ет классическую гладкость, т.е.