Учебное пособие - УМФ - Боговский, страница 10

При этом в задаче Штурма-Лиувилля (5.2.3) собственными функциями оператора L, соответствующи­ми собственным числам Ап = —п(п + 1), будут тригонометрические много­члены wn(0) = P„(cos#) с многочленами Лежандра Рп = Рп(£)- Собствен­ные функции оператора Лапласа-Бельтрами называют сферическими гар­мониками, и поэтому собственные функции зональной составляющей (5.2.2)оператора Лапласа-Бельтрами естественно назвать зональными сфериче­скими гармониками.В вещественном пространстве Z/2(—1,1) кваратично интегрируемых поРиману функций со скалярным произведением191(5.2.4)=-1процесс ортогонализации Грама-Шмидта, при подходящем выборе норми­ровки превращает систему степеней {ф7}Хо в систему многочленов Ле­жандра. {Рп(<О}^Л0, что означает полноту последней в L?( — 1,1) ввиду пол­ноты в С[—1,1] системы {ф?}^Ро согласно теореме Вейерштра.сса.

Полнаяортогональная система. {Pn(£)}^to образует в L^—1,1) ортогональный ба­зис. Принятое для ортогональных многочленов условие стандартизацииPn(l) = 1, п > 0, означает, в частности, что1цщ|2=у\р^\2<ч =оОбозначим через p2,sm6»(0,7г) вещественное пространство квадратичноинтегрируемых по Риману функций с весом sin#, наделенное веовым ска­19По определению, пространство Lo(—1,1) состоит из классов эквивалентности, т. е. классов функ­ций, попарно отличающихся только на множествах меры Жордана ноль. Нулем для Щ( —1,1) служиткласс функций эквивалентных нулю. При таком определении £ч( —Ц1) Для билинейной формы (5.2.4)выполнены все акиомы скалярного произведения, а для функционала ||F|| = y/(F, F) — все аксиомынормы.§2.Зональные сферические гарсмоники79лярным произведением и весовой нормой7Г(/,p)sin0 = y f(0)g(0)sm0d0,оСистема зональных гармоник {Pn(cos^)}^=0 образует в весовом простран­стве I/2,sin6>(0,7г) ортогональный базис.

При этомVn > 0.Ряд Фурье по ортогональному базису из сферических гармоник иногда на­зывают рядом Лапласа. В частности всякую функцию f G L‘2,sin6»(0,7г) мож­но разложить в ряд по зональным гармоникам00/(#) = 52 cnPn(cos 6>),(5.2.5)п=0сходящийся в Z/2,sin0(0,7г), что по умолчанию означает сходимость в нормеp2,sin6>(0,7г).

Коэффициенты сп ортогонального разложения (5.2.5) опреде­ляются как коэффициенты Фурье(/,Pn(cosfl))sin^||Pn(cos^)||;in0n >0.(5.2.6)Таким образом, имеются все предпосылки для реализации стандартной схе­мы метода Фурье при решении краевых задач для уравнения (5.2.1) в такихобластях со сферическими границами, как шар, внешность шара и сфери­ческий концентрический слой20 с любым из трех типов краевых условийна каждой из граничных сфер.Займемся теперь вопросами реализация метода Фурье для уравненияПуассона с использованием зональных гармоник. Заметим, что дифферен­циальный оператор L вида (5.2.2), рассматриваемый какL- Dl — С2[0,7г]С T2?sin6»(0, 7г)20Чаще используется сокращенное название:-лсферический слой.-T2;sin0(O,7r)Глава 5.80Эллиптические краевые задачиявляется симметричным оператором.

Действительно,7Г(sin 6v'(6))'w(0) d0 = sin$P($)w($)|o — sin$'t’(6))w,(#)|o +(Lv, w)Sin6» =o7Г+ У v(0) (sin 0w\0)YdO = (v, Lw)SinоVv,w E С2[0,7г]оПусть I — конечный или полубесконечный открытый интервал какоголибо одного из трех возможных видов: I = (Р^Рз) или I = (О, Р), I =(R,oo)снекоторыми положительными заданными Ri, R2, R.

Классическоерешение и = и(г, 0) уравнения (5.2.1) попадает в область определения Dl =С2 [0,7г] при любых значениях переменной г Е I, поэтому его коэффициентыФурье2т1 -|- 1 /*(5.2.7)ип(г) = —-— / u(r, 0)Pn(cos в) sin в d0, п 0,опо ортогональному базису {Pn(cos $)}£Д0, имея гладкость un Е С2(Г), удо­влетворяют в силу (5.2.1) уравнениям2tz -I- 1(Rtu'n)'+—-—(Lw,Pn(cos6>))sin0 = Wn(r), г 6/, n > 0,(5.2.8)где через fn = fn(r) обозначены коэффициенты Фурьеправой части f = f(r,O) уравнения (5.2.1). А так как оператор L симмет­ричен иLPn(cos0) = A„.P„(cos0) = —n(n + l)Pn(cos6>), n0,то в силу (5.2.7) уравнение (5.2.8) превращается в неоднородное обыкновен­ное дифференциальное уравнение ЭйлераRtu'n + 2ггф — n(n + 1)гщ = Rtfn(r), г Е /, п R 0.§2.Зональные сферические гарсмоники81Рассмотрим простейший частный случай степенной правой части fn(r) =гф т.

е. уравнение ЭйлераRtu'n + 2rv!n — п(п + l)ttn = гм+2, г G I.(5.2.9)Замечая, что любая степенная функция будет собственной функцией опе­ратора Эйлеразаключаем, что степенная собственная функция с нулевым собственнымчислом будет решением однородного уравнения Эйлера. Для каждого п > Отакими решениями будут -г" ии для целых п эти решения линейнонезависимы.

Поэтому общее решение однородного уравнения Эйлера+ 2г'0' — п(п + 1)0 = 0,г Е I,имеет видb-0(r) = arn + рП+1 ’г G I,с произвольными постоянными а, Ь.В случае, когда степень гм+2 не явяляется решением однородного урав­нения Эйлера, частное решение неоднородного уравнения (5.2.9) ищется ввиде ф(г) = сгА‘+2, т.е. имеет вид(д + 2)(д + 3) - п(п + 1)’А в случае, когда степень гм+2 будет решением однородного уравнения Эй­лера, вспоминая, что замена переменной г = eJ преобразует уравнение Эй­лера в уравнение с постоянными коэффициентами, и при этом правая частьоказывается экспоненциальным решением однородного уравнения второгопорядка, т.

е. частное решение ищется в виде все того же экспоненциаль­ного решения, но умноженного на t. Это означает, что в рассматриваемомслучае частное решение следует искать в виде сгм+21пг.825.3.Глава 5.Эллиптические уравненияСвойства решений уравнений Лапласа и ПуассонаОдним из наиболее важных свойств решений уравнения Лапласа являетсяпринцип максимума, который выполняется как в слабой, так и в сильнойформе (слабый и строгий принципы максимума).

Начнем со слабого прин­ципа максимума для ограниченной области.Определение 5.3.1. Функцию и G С1 (О.) называют гармонической в об­ласти Q сп У 2, если она удовлетворяет в Q уравнению ЛапласаAw = 0.5.3.1. Слабый принцип максимумаДля ограниченной области без каких бы то ни было требований к гладкостиграницы справедлив так называемый слабый принцип максимумаюТеорема 5.3.1 (слабый принцип максимума). Для любой ограниченной об­ласти Q С77, Л 2, гармоническая в Q функция и G С (Гб) не принимаетво внутренних точках Q значений как больших ее наибольшего значенияна границе, так и меньших ее наименьшего значения на, границе, т.е.,min и < и (х) < max и Эх G Q.апапДоказательство.

Введем обозначения для минимума и максимума по гра­нице ЭЭ,:т = min?/, М = тахм.апапПредположим, что найдется такая точка хд G Q, чтои(х6) = М + 5с некоторым положительным б. Вводя параметрту однопараметрическую функцию вида(5.3.1)(5.3.2)еЕ (0, 5), обозначим черезУравнения Лапласа и Пуассона§3.83и заметим, что р£ G C^R) для каждого значения параметраеG (0, <5),при этом функция т/£(и) будет финитной21 в области Q в силу определения(5.3.1) числа М.Умножив равенство Ди = 0 на Т]£(и), после интегрировавания по Q спомощью формулы Грина получим0=/ rj£(u)/\udx = У T]£(uт)'£ (п(ж)) | Х7п(ж) 12dx,EldElElгде n — единичная внешняя нормаль к <9Q, а интеграл по ЭП равен нулюввиду финитности функции т]£(и) в области Q приУ 77((п(ж)) | Х7п(ж)|2Уж = 0еЕ (0,5). ПоэтомуVs Е (0,5),(5.3.4)ооткуда находимту'(п(ж)) | Х7п(ж)|2 = 0 Уж G Q Vs Е (0,5),так как ту' > 0.

А умножая последнее равенство на ту' получаемту((п(ж)) \7и(ж)|2 = 0 Уж G Q Vs G (0,5),что эквивалентно равенству|Ур£(и(х)) |2 = 0Уж Е Q Vs Е (0, 5),которое означает существование для каждого значения s Е (0,5) такой по­стоянной С£, что ту£(п(ж)) = С£Vж Е Q, откуда в силу непрерывностифункции /у (// ) в замыкании Q и ее финитности в области Q следует равен­ствоту£(тфж))=О Уж Е Q Vs Е (0,5).(5.3.5)На основании тождества (5.3.5) и явного вида (5.3.3) функции ту£ заклю­чаем, что гармоническая функция удовлетворяет неравенствуп(ж) < М + s Уж G Q Vs Е (0, 5),функцию f € C(Q) называют финитной в области Q, если21Напомним, что/ = О вне некоторогокомпакта К С Q С R".

Поскольку, по определению, компакт — это ограниченное замкнутое множество,а область — это открытое связное множество, то dist(K, <9Q) > 0 и поэтому каждая финитная в областиQ функция тождественно равна нулю в некоторой окрестности границы ЭЕ1.84Глава 5.Эллиптические уравнениячто противоречит предположению (5.3.12). Таким образом, неравенствоu(x) < maxu Vх Е Qш(5.3.6)7доказано. Для доказательства неравенстваmin и <w(t)Vх Е Q(5.3.7)достаточно заметить, что справедливость неравенства (5.3.7) вытекает изуже доказанного неравенства (5.3.6) при замене и на —и.

Теорема доказана.□Замечание 1. Для неограниченных областей Q теорема, вообще говоря,неверна. Так, для области Q =Дирихле Aw = 0,w|Xjj=o= {ж Е R”: хп > 0}, пример задачи= 0 с решением и(х) = хп показывает, что нера­венство (5.3.6) не выполняется ни в одной точке области Q.Из доказанной теоремы вытекают три следствия.Следствие 5.3.1. Гармоническая в ограниченной области Q функция и =w(t)удовлетворяет неравенствуmax Ы < max Ы(5.3.8)Следствие 5.3.2.

Гармоническая функция, непрерывная вплоть до грани­цы и равная нулю на границе ограниченной области Q, тождественно равнанулю во всей области.Следствие 5.3.3. Классическое решение и Е С2(Q)nC(Q) задачи Дирихледля уравнения ПуассонаAw = /,х Е Q,и\эа =единственно в любой ограниченной области Q G Rn, п > 2 без каких бы тони было предположений о гладкости границы 3Q.§3.Уравнения Лапласа и ПуассонаДоказательство. Пусть имеется два решения гр и U2- Тогда их разностьv = щ —U2 есть гармоническая функция с нулевыми условиями на границе:Ап = 0,х G Q,v\dQ = 0.Следовательно, v = 0 в Q, т. е.